初中数学辅助线技巧(含练习

1、初中数学辅助线技巧（含练习一、补成三角形1 .补成三角形例1.如图1已知E为梯形ABCD的腰CD的中点;证明：4ABE的面积等于梯形 ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于 一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助 线添法之一。略证：2 .补成等腰三角形例2如图2.已知/ A = 90/1 = /2, CEXBD,求证:分析：因为角是轴对称图形，角平分线 是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不 难发现CF = 2CE,再证BD = CF即可c略证：3 .补成直角三角形例3.如图3,在梯形ABCD中，AD IIBC, / B+/ C=90 F、G 分别是 AD、

2、 BC 的中点，若 BC = 18, AD = 8,求 FG 的长。图分析：从/ B、/C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA 、 CD ，要求 FG ，需求 PF、 PG略解：4 .补成等边三角形例4.图4, A ABC是等边三角形，延长BC至D,延 长 BA 至 E,使 AE = BD ,连结 CE、ED。证明：EC = ED分析：要证明EC = ED,通常要证/ ECD = /EDC, 但难以实现。 这样可采用补形法即延长BD 到 F ， 使 BF= BE,连结 EFo略证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例 5.如图 5，四边形ABCD 中， E 、 F 、 G、 H

3、分别是AB 、 CD 、 AC 、 BD 的中点，并且E、 F、 G、 H 不在同一条直线上，求证： EF 和 GH 互相平分。第 3 页 共 10 页分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形 GEHF是平行四边形 略证：2 .补成矩形例6.如图6,四边形ABCD中，/ A = 60°, /B = /D = 90, AB = 200m, CD = 100m,求 AD、BC 的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧 妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角 形，于是一些四边形中较难的计算题不难获 解。略解：图3 .补成菱形例7.如图7,凸五边形ABCDE中，/ A=/

4、 B=120EA=AB = BC = 25 CD = DE = 4,第4页共10页图求其面积分析：延长EA、CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形。略解：4 .补成正方形例8.如图8,在4ABC中，ADXBC于D, /BAC=45 BD = 3, DC = 2。求 ABC的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此 三角形的面积确实有些困难，如果从题设 /BAC=45 ADXBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立 即可以获解。略解：5 .补成梯形例9.如图9,已知： G是4ABC中 BC边上的中线的中点，L是4ABC外的 一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，第

5、4页共10页图1垂足分别为 Ai、Bi、Ci、Gio 求证：GGi=Z (2AAi + BB1 + CC1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点， 联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DDiXL于Di,则DDi既是梯形BBiCiC的中位线，又 是梯形DDiAiA的一条底边，因而，可想到运用梯形中 位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使 问题快速获证。略证：三、练习I、在4ABC中，AC=BC , D是AC上一 点，且AE垂直BD的延长线于E,又AE.BD,求证: BE 平分/ ABC。P分别 分别 求C2、如图，已知：在 ABC内， BAC=60 ) /ACB=4

6、0 ) P、Q 在BC、CA上，并且AP、BQ 是/ BAC、/ABC的角平分线，第5页共I0页证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：/ BAC=90 , AB=AC , AD=DC , AELBD, 求证：/ADB=/CDE第6页共10页为2, M 边上的 和最小 的值。4、设正三角形 ABC的边长 是AB边上的中点，P是BC 任意一点，PA+PM的最大值 值分别记为S和，求：S2 t2口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中

7、两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画