2020届高三复习经典教案：等差数列及其前n项和

1、第二节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式.3.能在具体的问题 情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.知识全通关夯实基础,扫除盲点1 .等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列.用符号表示为母士=an = d(nC N*, d为常数).(2)等差中项：数列a, A, b成等差数列的充要条件是 A=.a2b,其中A叫做a, b的等差中项.2 .等差数列的通项公式与前 n项和公式(1)通项公式：a

2、n = ai+ (n 1)d.(2)前 n 项和公式：Sn = na1 + nn=1d= na12 an-j3 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an= am+(n- m)d(n, mW N*).(2)右an为等差数列，且 k + l = m+n(k, l, m, nW N ),则 ak+ a a_m+ an.若an是等差数列，公差为d,则a2n和a2n+1也是等差痴匚WlH2d.(4)若an, bn是等差数列，则pan+qbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d,则ak, ak+m, ak:+ 2m,(k, mCN*)是公差为md的等差数列.(6)数列Sm, S2mSm,

3、S3m-S2m,也是等差数列.(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系常用结论1.等差数列前n项和的最值在等差数列an中，若a1>0, dvo,则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若 a1<0, d>0,则 Sn有最小值，即所有负项之和最小.一 aS2n 12.两个等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,则有引=7.bn I 2n-13.等差数列an的前n项和为Sn,则数列 导)也是等差数列.基础自测1 .(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打"x”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nCN*,都有2an+1=an+an+2.(

4、)(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为 0的二次函数.()答案(1)，(2)，(3)X (4)X2 .(教材改编)等差数列11,8,5,，中一49是它的第几项()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项C 由题意知 an= 11 + (n-1)x(-3)=-3n+14,令一3n+14= 49 得 n= 21,故选 C.3 .在等差数列an中，若a2=4, %=2,则a6等于()A.1B. 0C. 1D. 6B a2, a4, a6成等差数列，则a6= 0,故选B.4 .小

5、于20的所有正奇数的和为 .100 小于20的正奇数组成首项为1,末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和 Sio= 10f1 + 19一100.5 .（教材改编）设&为等差数列an的前n项和，S2=S6, a4 = 1,则as=.1由 S2=S6得 23+04+25+26=0,即 为 + 25 = 0,又 a4=1,则 a5= 1.课堂题型全突破考点全面方法简洁K E 丁区N叼I题型1|等差数列基本量的运算1 .已知等差数列an的前n项和为Sn, 06+018=54, §9 = 437,则02 018的值是（）A. 4 039 B. 4 038 C. 2 019 D.

6、 2 038A 设等差数列an的公差为d,由题意可知2a1 + 22d=54,&=5,解得，,1901+171d=437,、d=2,所以 02 018 = 5+2017X2=4 039,故选 A.2 . （2019武汉模拟）已知数列0n是等差数列，01 + 07= 8, 02=2,则数列0n的公差d等于（）A. - 1B. -2C. 3 D, -4由题意知01 + 07 = 201 + 6d = - 8, 、02 = 01 + d = 2.d= - 3,解得3故选C.a = 5,3 .张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈. 其意思为今有一女子

7、擅长织布，且从第 2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5尺布, 现在一个月（按30天计）共织390尺布.则该女子最后一天织布的尺数为 （ ）A. 18B. 20C. 21 D. 25C 用0n表示第n天织布的尺数，由题意知，数列0n是首项为5,项数为30的等差数列.工 30101 + 030）所以 j"2'= 390,即3052 030 L 390,解得 030=21,故选 C.4 .设Sn为等差数列0n的前n项和，012 = 8, &=9,则S16=72 设等差数列0n的首项为01,公差为d,012= 01 + 11d= - 8,由已知，得99X 8解得

8、O9_12'9 = 一 1.八 16 15、，. .$16=16X3+2 X（ 1）= 72.规律方法等差数列运算问题的通性通法（1筲差数列运算问题的一般求法是设出首项01和公差d,然后由通项公式或前 n项和公式转化为方程（组上解.20ai, an, d, n, S,知其中三个就能求另(2芦差数列的通项公式及前 n项和公式，共涉及五个量 外两个，体现了用方程的思想解决问题 .I题型2|一一 一，、一3例1 已知数列an中，a1=. an = 2 5等差数列的判定与证明an 1(n>2, nW N*),数列bn满足 bn =口”N ). an(1)求证：数列bn是等差数列；求数列a

9、n中的最大项和最小项，并说明理由.解证明：因为an = 2-二(G2,), bn =(),所以 bn+ 1 bn= ;an+ 11an 11an 1an=1.又b1 =a1 1所以数列bn是以一5为首项，1为公差的等差数列.,-7(2)由(1)知 bn=n2,贝!j an = 1 + = 1 + -.bn2n 7，2设 f(x)= 1+,2X 7则f(x)在区间7oo '2”马，+ 00杷为减函数所以当n=3时，an取得最小值一1, 当n = 4时，an取得最大值3.拓展探究本例中，若将条件变为 a1 = 3, nan+1= (n + 1)an+n(n+1),试求数列an的通项公式.5

10、解由已知可得an+ 1n+ 1an1，即'a上一an=1,又 a1 = 3, n+1 n '5ann 一, , an =Ian促以 + 5为首项，1为公差的等差数列, 7+ (n-1) 1 = n-,55n2-2n.5规律方法等差数列的四个判定方法(1曰义法：证明对任意正整数 n都有an+1 an等于同一个常数.(2再差中项法：证明对任意正整数 n都有2an + 1 = an + an+2后，可递推得出an+2an+1 = an+1 an = an- an 1 =an 1-an 2=- = a2-a1 ,根据定义得出数列 an为等差数列.(3两项公式法：得出an=pn+q后，得

11、an+1 an=p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an 为等差数列.(4 jU n项和公式法：得出Sn = An2+Bn后，根据S, %的关系，得出an,再使用定义法证明数列 an为等差数列二.跟踪练习 (2019贵州模拟)已知数列an满足a1 = 1,且nan+1一(n1)an= 2n2+ 2n.(1)求 a2, a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式.解(1)由已得 a2 2a1=4,则 a2 = 2a1 + 4,又 a1=1,所以 a2=6.由 2a33a2= 12,得 2a3=12+3a2,所以 a3=15.(2)由已知 nan+1 (n+1)an=2n(n+1),得

12、an+1OKnan+1 (n + 1 anRnv匚=2,即n n+ 1所以数列 年是首项为牛=1,公差d = 2的等差数列.则三=1 + 2(n1) = 2n1,所以 an = 2n n.1题型3|等差数列性质的应用?考法1等差数列项的性质的应用【例 2】(1)(2019 长沙模拟)数列an满足 2an= an-1 + an+i(n > 2),且 az + a4+a6=12,则 a3+a + a5等于()A. 9B. 10C. 11D. 12(2)(2019银川模拟)已知等差数列an的公差为d(dw0),且a3 + a6 + a0+如=32,若am= 8,则m 的值为()A. 8B. 1

13、2C. 6 D. 4(1)D (2)A (1)数列an满足2an=an 1+an+1(n>2),则数列an是等差数列，利用等差数列的性 质可知，a3 + a4 + a5= a2 + a4 + a6= 12.(2)由 a3 +a6+a10+ a13 = 32 得 4a8= 32,即 a8= 8.又dw0,所以等差数列4是单调数列，由am=8,知m= 8,故选A.?考法2等差数列前n项和的性质【例3】(1)设等差数列an的前n项和为G,若S3=9, &=36,则27+23+29等于()A. 63B. 45C. 36 D. 27(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1 = 2 0

14、14,黑言一黑8=6,则S2 019=.2 0 14 2 008(1)B (2)8076 (1)由an是等差数列，得S3, S6S3, Sg4为等差数列.即 2(S6 S3) = S3+ (S9- Ss),得到 S9-S6=2S6-3S3=45/ IP a7+a8+a9=45,故选 B.(2)由等差数列的性质可得 春池为等差数列.、儿 _=p 八 S S s. IrTH S2 014 S2 008 ci c .1 4设其公差为 d,则o cm o6d= 6, - d= 1.2 0 14 2 008故2=卓+2 018d=- 2 014+2 018= 4,S2 019=8 076.规律方法应用等

15、差数列的性质应注意两点(1 卉等差数列an中，右 m+ n= p + q = 2k(m> n、p、q、kC N 则 am+ an= ap+aq = 2ak 是常用的性质.(2同握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的 值的特征，这是解题的突破口 .跟踪练习(1)已知等差数列a的前n项和为Sn.且Sio = 10. S2o=30.则&.=(2)等差数列an的前n项和为Sn,若am=10, S2m 1 = 110,则m=.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若 = 1三，则.In 2n 十 1b7(1)60 (2)6 (3)27 (1

16、)由题意知，“ &0 So, S30S20成等差数列.则 2($0 &°) = S° + (S30S20),即 40= 10+(00 30),解得&0= 60.(2)= 12m|2 22m21am=11°,解得 m = 6.1337_207_ a+a13 _ 5a1+a13/彳br枭37Sn 3X 132 37jIB94I等差数列的前n项和及其最值【例4】(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a = 13, S3=Sn,当Sn最大时，n的值是()A. 5B. 6C. 7 D. 8C (1)法一：由S3 = S1,得a4+a5+为1 = 0

17、,根据等差数列的性质，可得 a7 + a8 = 0.根据首项 等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0, a8<0,故n=7时，&最大.法二：由 S3=S11,可得 3a1 + 3d= 11a1 + 55d,把 a1=13 代入，得 d = 2,故 Sn= 13n- n(n-1) =n2 + 14n.根据二次函数的性质，知当 n=7时&最大.法三：根据a=13, S3=Sn,知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减.根 据公差不为零的等差数列的前 n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n3+11,-=；一=7时，Sn取得最大

18、值.(2)已知等差数列an的前三项和为一3,前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；若a2, a3, a1成等比数列,求数列|an|的前n项和Tn. 解设等差数列an的公差为d,则 a2 = a + d, a3 = a1 + 2d.3a1 + 3d= - 3,由题意得 ，c匕1团+d fa1 + 2d户8,解得：a1 = 2, b= 3所以由等差数列通项公式可得an = 2 3(n 1) = 3n+5 或 an = 4+ 3(n 1) = 3n 7.故 an= 3n+ 5 或 an= 3n 7.当an=3n + 5时，a2, a3, a1分别为一1, 4,2,不成等比数列；当an = 3n

19、7时，a2, a3, a1分别为一1,2, 4,成等比数列，满足条件.2,"3n+ 7, n = 1 故 |an|= |3n-7|= 3n7, n>3.记数列3 n7的前 n项和为 Sn,则 S = '=2门2 ?n.、”一一,3 2 11当 n&2 时，Tn= |a1|+|a21+ |aj= (ai+a2 +an) = n +2n,，.-3 2 11.3211/n +n , n< 2,综上知:当 n>3 时，Tn= |a|+ 庇|+忸3|+ 十 |an|= (a+a2)十 (a3+ %+ + an) = Sn 2&=9胃,+ 10,Tn-&

20、#39;3 2 1112n 万n+ 10, n>3.规律方法求等差数列前n项和&最值的两种方法（1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式 Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最 值的方法求解.（2）邻项变号法：am > 0,当aI>0, d<0时，满足，的项数m使得Sn取得最大值为Sm；gm +1 & 0am & 0,当a1<0, d>0时，满足，的项数m使得Sn取得最小值为Sm.gm + 1>0跟练习（1）在等差数列an中，a + a3+a5 = 105, a2+a4+a6=99,以Sn表木an的前n项和, 则

21、使Sn达到最大值的n是（）A. 21B. 20C. 19 D. 18(2)设数列an的通项公式为 an=2n-10(n N*),则 |a1|+咫| + + |a5|=.(1)B(2) 130(1)因为a+a3+a5= 3a3=105,a?+a4 + a6=3%=99,所以a3=35, %=33,所以41 .d = 2, a1 = 39.由 an=a+(n1)d=39 2(n1)=41 2n>0,解得 n<y,所以当 n = 20 时 Sn达到最 大值，故选B.(2)由an = 2n-10(n N )知an是以一8为首项，2为公差的等差数列，又由an=2n10>0得n>5

22、, 所以 n<5 时，an<0,当 n>5 时,an>0,所以 |a1|+咫|+ |a5|= 一 (a+a2+23+a4+25)+(ae+ a15) = S15-2S5= 130.真题自主验效果近年考题，感悟规律ZHEN T I ，1.（2017全国卷I）记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5= 24, S6=48,则an的公差为（A. 1B. 2C. 4D. 8C 设an的公差为d,则包+a5=24,S=48,伸1 + 3d 4(a1 +4d 尸24,得 l6a1 + 6y5d = 48,2解得d= 4.故选C.2.（2015全国卷I）已知an是公差为1的等差数

23、列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4,则a10 = （17A. £19B.万C. 10 D. 12B 1.公差为1,.c c . 8X/8-1- c ic ,，八 - S8= 8a1 +2 及 1 = 8a1 + 28, S4=4a1 + 6.1- S8 = 4S4, . 8a + 28 = 4(4a1 + 6),解得 a1 = 2,一.1 - 19. . a0= a+ 9d = 2 + 9 = 2.故选 B.3. (2015全国卷n )设Sn是等差数列an的前n项和，若aI+a3 + a5 = 3,则S5=()A. 5B. 7C. 9 D. 11., c cc , c 5fa1

24、+a5) _A a1 + a3+a5= 3a3= 3? a3= 1, Ss=2'= 5a3 = 5.15.4. （2018全国卷n ）记&为等差数列an的前n项和，已知a = 7, S3=- （1）求 an的通项公式；2.扫马<«»求Sn,并求&的最小值.解 设an的公差为d,由题意得3ai+3d = 15.由a1 = 7得d= 所以an的通项公式为an=2n 9.由得 Sn=n2_ 8n = （n 4）2 16.所以& n=4时，&取得最小值，最小值为一16.课后限时集训（二十九）（建议用时：60分钟） A组基础达标 一、选择

25、题1.在等差数列an中，若前10项的和A. 4B. -4C. 510a1+45d=60,C 法一：由题意得a +6d = 7,S10=60,且 a7=7,则 a4=()D. 5a1 = 3,解得 V 2：a4=a1 + 3d=5,故选 C.F=3，10a1+a10一法:由等差数列的性质有a + a0= a7+a4, - Sio=?=60, . . a+ a0= 12.又. a7=7,：a4 = 5,故选 C.2,设等差数列an的前n项和为Sn,且a2 + a7+a2 = 24,则S3 = ()A. 52B. 78C. 104 D. 208C 由 a2 + a7+a2= 24 得 3a7 = 2

26、4, 即 a7 = 8,-13 a + a3 - S13=2 13a7= 13x 8= 104,故选 C.3.在数列an中，若a=1, a2= 9, 1"=:+'一（nCN）,则该数列的通项为（）2 an+1 an an+2B.an=C.2 an=奇1%,知高r是首项为1， 11a1=1，公差为工1=21211_ 1111A 由已知式01=£十二可得010?就-OnZ=1的等差数列，所以L=n,即an = 1. annJ4.设等差数列an的前 n 项和为Sn,若Sm-1 = -2,Sm=0,Sm+1 = 3,m>2,mWN*,则 m=()A. 3B. 4C.

27、5 D. 6C , an是等差数列，Sm-1=-2, Sm= 0,am = Sm Sm 1 = 2.又 Sm+1 = 3,am+1 = Sm+1 Sm = 3, ： d= am+1 am= 1.又Sm=：a1 = 2,am = 2+(m1) 1 = 2, m= 5.5. (2019银川模拟)我国古代数学著作 九章算术有如下问题：“今有金第，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？ ”意思是：“现有一根金笨，长五尺，一头粗，一 头细，在粗的一端截下 1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？ ” 根据上述的已知条件，若金笨由粗到细是均匀变化的，问第二

28、尺与第四尺的重量之和为()A. 6 斤B. 9 斤C. 9.5 斤 D. 12 斤A 依题意，金 革由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1 = 4,则a5 = 2,由等差数列的性质得a2+a4=a + a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.故选A.二、填空题6. 在等差数列an中，首项 a1 = 0,公差 dw0,若 ak= a +a?+a3+，+ a?,则 k =.22 ak=a1 + (k1)d = (k1)d, a1+ a2+a3+a7 = 7a4= 7a1+21d = 21d,所以 k1 = 21,得 k = 22.17. 在等差数列an中，公差d = 2,刖100项的

29、和S100 = 45,则a1 + 23 +a5+ a99 =.10 az + a4 + a6+ a00= (a + a3+a5+ a99)+ 25,由 Si00= 45 得 a1 + a3 + a§+ + a99= 10.a1 a28. (2019青岛模拟)若xwv，数列x, a1，a2, y和x, b1，b2, b3, y各自成等差数列，则-一，=40x yx y 、一a2 4鼻 由就息信 a1 a2= Q , b1 b2= 4 , 所以 ，=%334b 1 一。2 3三、解答题9. 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且&=110.(1)求a及k的值；

30、设数列bn的通项bn = Sn,证明：数列bn是等差数列，并求其前 n项和Tn. 解(1)设该等差数列为an,则a = a, a2=4, a3 = 3a,由已知有 a+3a = 8,得 a1=a=2,公差 d = 42=2, k(k一1 )k(k一1 )2所以 Sk=ka1 + -L21 d = 2k+-L-21x 2=k2+k.由 Sk= 110,得 k2+k- 110= 0,解得 k=10 或 k=11(舍去)，故 a=2, k= 10.n(2 2n(2)证明：由(1)得& = 2f= n(n + 1),则 bn = Sn1= n+ 1,故 bn+1 bn= (n+2) (n+1)

31、 = 1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列，所以Tn =n(2+ n+ 1 L n(n+ 3 )10. (2019长春模拟)已知等差数列an的公差不为零，a=25,且a1，an, a13成等比数歹U.(1)求 an的通项公式；(2)求 a1 + a4+ a7+ a3n-2.解(1)设an的公差为d.由题意，得a11 - a1a13,即(a1+ 10d)2=a1(a1+ 12d).于是 d(2ai + 25d)= 0.又a = 25,所以d = 0(舍去)或d=- 2.故 an= 2n+27.(2)令 & = a十a4+a?+a3n-2.由(1)知a3n-2=6n + 31,故a

32、3n-2是首项为25,公差为一6的等差数列.从而 Sn=2(ai + a3n 2)n. 一=2( 6n+ 56)=- 3n2 + 28n.B组能力提升1 .若an是公差为1的等差数列，则a2n-1 +2a20是()A ,公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D .公差为9的等差数列C an=n + a1 一 1,.二 a?n-1= 2n + a1 一 2, a2n= 2n + a1 一 1,.二 a?n 1 + 2a2n= 6n + 3a1 4.因此数列a2n-1 +2a2n是公差为6的等差数列，故选 C.2 .在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与弩

33、马发长安至齐，齐去长 安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里；良马 先至齐，复还迎弩马，二马相逢，问：几日相逢？ ()A. 9 日B. 8 日C. 16 日D. 12 日A 根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a=103,公差d1=13的等差数列，前n天共跑的里程为 S= na1 + nn2d1= 103n+123n(n1)=6.5n2+96.5n；弩马每日行程也构成一个首项 b=97, 公差d2=0.5的等差数列，前 n天共跑的里程为 S= nb1+nn2工2=97n05n(n 1) = 0.25n2+ 97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回.

34、设其第n天相逢，则有6.5n2 +96.5n0.25n2+97.25n= 1 125X2, 解得n=9,即它们第9天相遇，故选A.3,设等差数列an的前n项和为Sn, Sm-1 = -2, Sm=0, Sm+尸3,则正整数m的值为. 5 由题意知 am=Sm Sm-1=2, am+ 1 = Sm+ 1 Sm = 3 ,则公差 d= am + 1 am= 1.由 Sm= 0 得m.、_mJ= 0,解得 a1 = am = - 2,则 am=2+(m1)x 1 = 2,解得 m=5.4. (2019 武汉性叫)已知数列an满足 a =2, n(an+1 n1) = (n+1)(an+n)(n C

35、N*).(1)求证：数列jan髭等差数列，并求其通项公式；(2)设bn = >/2或一15,求数列|bn|的前n项和Tn.解(1)证明：: n(an+1 n 1) = (n+ 1)(an+ n)(nC N*), ，. ,、_ , . ,、. an+1an - nan+1 (n + 1)an=2n(n+1), .十1n = 2，:数列an是等差数列，其公差为2,首项为2,2+2(n-1) = 2n.(2)由(1)知 an=2n2, ：bn=反一15 = 2n15, n( 13+2n 15)2则数列bn的前n项和Sn =2= n214n.令 bn = 2n15<0, nCN*,解得 n

36、<7.n& 7 时，数列| bn|的前 n 项和 Tn = bi b2一bn= Sn= n + 14n.n > 8 时，数列| bn|的前 n 项和 Tn= bi b2一b7+b8+ bn= 2S7 + Sn= - 2X (72 14X7) 22+ n 14n = n 14n+98.114n n2, n<7,n2 14n + 98, n > 8.第二节等差数列及其前n项和n项和公式.3.能在具体的问题.4.了解等差数列与一次函数夯实基础,扫除盲点考纲传真1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决

37、相应的问题 的关系.知识全通关1.等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差郁等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列.用符号表示为 an+1an = d(nC N*, d为常数).(2)等差中项：数列a, A, b成等差数列的充要条件是2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an= a1+ (n 1)d.A=亨，其中A叫做a, b的等差中项.前n项和公式：Sn = nai +3.等差数列的常用性质n(n 1 dn(ai+ an)(1)通项公式的推广：an=am+(n- m)d(n, mW N*).(2)若an为等差数列，且 k + l =

38、m+n(k, l, m, nW N),贝 ak土旦产 am+ an.若an是等差数列，公差为d,则a2n和a2n+l也是等差数列，公差为 2d.(4)若an, bn是等差数列，则pan+qbn也是等差数列.(5)右an是等差数列，公差为d,则ak, ak+m, ak+ 2m,(k, mCN )是公差为(6)数列Sm, S2mSm, S3mS2m,也是等差数列.(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系md的等差数歹U.常用结论1.等差数列前n项和的最值在等差数列an中，若ai>0, dv0,则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若 Sn有最小值，即所有负项之和最小.ai<0, d>

39、;0,则2.两个等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,则有*=12口.bn I 2n-13,等差数列an的前n项和为G,则数列 春池是等差数列.基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打"X”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nCN*,都有2an+1=an+an+2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为 0的二次函数.()2.(教材改编)等差数列11,8,5,，中一49是它的第几项()A.第19项B.第20项C.第21项D

40、.第22项3.在等差数列an中，若a2=4, a4=2,则a6等于()A.1B. 0C. 1D. 64 .小于20的所有正奇数的和为 5.(教材改编)设S为等差数列an的前n项和，82=0,a4 = 1,则 a5=课堂题型全突破考点全面方法简洁等差数列基本量的运算1 .已知等差数列an的前n项和为Sn, a6+ai8=54, S9 = 437,则a2 018的值是()A. 4 039 B. 4 038 C. 2 019 D. 2 0382 . (2019武汉模拟)已知数列an是等差数列，ai + a7= 8, a2=2,则数列an的公差d等于()A. - 1B. 2C, -3 D, -43 .

41、张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.” 其意思为今有一女子擅长织布，且从第 2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女子最后一天织布的尺数为 ( )A. 18B. 20C. 21 D. 254 .设Sn为等差数列an的前n项和，a12 = 8, &=9,则$6=规律方法等差数列运算问题的通性通法(1件差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前 n项和公式转化为方程(组内解.(2%差数列的通项公式及前 n项和公式，共涉及五个量 a1，不，d, n, Sn,知其中

42、三个就能求另 外两个，体现了用方程的思想解决问题 .|题型21等差数列的判定与证明【例 1】已知数列an中，a1 = 3,an = 2-(n>2,nCN*),数列bn满足bn =7；(n CN*).5an 1an - 1(1)求证：数列bn是等差数列；求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.拓展探究本例中，若将条件变为 a1 = 3, nan+1= (n + 1)an+n(n+1),试求数列an的通项公式. 5规律方法等差数列的四个判定方法（1声义法：证明对任意正整数n都有an+i an等于同一个常数.（2件差中项法：证明对任意正整数n都有2an + i = an + an+2后，可递

43、推得出an+2an+l= an+1 an =an- an 1 =an 1-an 2 = >" = a2-ai,根据定义得出数列an为等差数列.（3型项公式法：得出an=pn+q后，得an+i an= p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an 为等差数列.（4 W n项和公式法：得出Sn = An2+Bn后，根据S, %的关系，得出an,再使用定义法证明数列 an为等差数列.跟踪练习 （2019贵州模拟）已知数列an满足ai = 1,且nan+i（n + 1）an= 2n2+ 2n.求a2, a3；1（2）证明数列，On 混等差数列，并求an的通项公式.1题型3等差数列性质的

44、应用?考法1等差数列项的性质的应用【例 2】（1）（2019 长沙模拟）数列an满足 2an= an-1 + an+1（n> 2）,且 az + a4+a6=12,则 a3+a4 + a5等于（）A. 9B, 10C. 11D. 12（2）（2019银川模拟）已知等差数列an的公差为d（dw0）,且a3 + a6 + ao+a3 = 32,若am= 8,则m 的值为（）A. 8B. 12C. 6 D. 4?考法2等差数列前n项和的性质【例3】（1）设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9, S6=36,则a7+ag+a9等于（）A. 63B. 45C. 36 D. 27（2）已知&am

45、p;是等差数列an的前n项和，若a1 = -2 014, 20喜一2瑞=6,则S2 019=规律方法应用等差数列的性质应注意两点(1 向等差数列an中，若 m+n= p + q = 2k(m、n、p、q、kC N *> 则 am+ an= ap+aq = 2ak 是常用 的性质.(2淤握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的 值的特征，这是解题的突破口 .跟踪练习(1)已知等差数列4的前n项和为Sn.且Sio = 10. S2o=30,则&o=.(2)等差数列an的前n项和为Sn,若am=10, S2m 1 = 110,则m=.等差数列an

46、与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若Tn = 3nU，则热1题型4|等差数列的前n项和及其最值【例4】(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1 = 13, 8=&1,当Sn最大时，n的值是()A. 5B. 6C. 7 D. 8(2)已知等差数列an的前三项和为一3,前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；若a2, a3, a1成等比数列,求数列|an|的前n项和Tn.规律方法求等差数列前n项和&最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式 Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最 值的方法求解.(2)邻项变号法：am'0，八H 口、，当a»0, d<0时，满足， 八 的项数m使得Sn取得最大值为Sm；qm + 1&0一 .一 4工0, 一 ， 当a1<0, d>0时，满足，的项数m使得Sn取得最小值为Sm.L.am + 1 ) 0跟踪练习(1)在等差数列an中，a1+a3+a5= 105, az+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和, 则使Sn达到最大值的n是()A. 21B. 20C. 19 D. 18(2)设数列an的通项公式为an=2n-10(n N*),则冏|+园+闭51=.真题自主验效果近年考题，感悟规律Z bl E N T I1.(全国卷I)记Sn为等差数列an