人教版高中数学选修22教学案23数学归纳法教师版

1、数学归纳法_1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.1、 数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命

2、题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明132333n3= n2（

3、n1）2证明： 当n=1时，左边=13=1，右边=，故等式成立 假设n=k（，且k1）时等式成立。即132333k 3=k2(k+1)2成立则当n=k1时，132333k 3(k+1)3= =即当n=k1 时等式也成立综合，对一切，等式都成立 题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明（n1，且）证明： n=2时，左边=右边，不等式成立. 假设n=k（， k2）时不等式成立，即成立则当 n=k1时，=（）（）（）（）=即当n=k1时不等式也成立综合，对一切大于1的自然数n，不等式都成立题型三、用数学归纳法证明几何问题例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,

4、求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n28 n9能被64整除证明： 当n=1时，322819=64 显然能被64整除，命题成立 假设n=k（ k1，）时命题成立即32k28k9能被64整除则当n=k1时，32（k1）28（k1）9=932k28 k89=9（32k28 k9）64 k64 32k28 k9与64均能被64整除， 32（k1）28（ k1）9能被64整除 即当n=k1时命题也成立综合，对一切，32n28n9能被64整除题型五 归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。分析：可先把

5、条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组：解得下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有：（1）当时，式成立（2）假设成立，即：那么当时故当时式成立。综上，可知当时，等式成立。一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1n22”这一命题，证明过程中应验证()An1时命题成立Bn1，n2时命题成立Cn3时命题成立Dn1，n2，n3时命题成立答案D解析假设nk时不等式成立，即2kk22，当nk1时2k122k2(k22)由2(k22)(k1)24k22k30(k1)(k3)0k3，因此需要验证n1,

6、2,3时命题成立故应选D.8已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30B26C36D6答案C解析因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A.B.C.D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2anan1an(n2)当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2a3a2，a4a3.由

7、a11，a2，a3，a4猜想an，故选B.10对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即k1，则nk1时，(n2)证明当n2时，左0右，不等式成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立即成立那么nk1时，当nk1时，不等式成立据可知，不等式对一切nN*且n2时成立17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时

8、，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18 试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到2n2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论解答本题的关键是先利用特殊值猜想解析当n1时，2124n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(

9、nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边(2)假设nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2k2.那么nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何nN*都成立_基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边232