2020春浙教版八年级数学下册同步练习：微专题六与平行四边形的判定有关的证明

1、微专题六与平行四边形的判定有关的证明（教材P97作业题第3题）已知： 如图1,在？ABCD中，/ BAD和/ BCD的平分线AF, CE分别与对角 线BD交于点F, E.求证：四边形AFCE是平行四边形.图1教材母题答图证明：如答图，连结AC,交BD于点O.在？ABCD 中，AB CD, . / ABF= / CDE.又AF, CE 分别是/BAD 与/BCD 的平分线，/BAD=/BCD, . / BAF=/ DCE,/ABF=/CDE, 在 AAFB 和 ACED 中，AB=CD,l/BAF=/DCE,.AFBACED(ASA), . BF=DE.又. OA=OC, OB = OD,. O

2、F= OE,四边形AFCE是平行四边形.【思想方法】平行四边形的判定主要从三个方面看：（1）从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（2）从角看：两组对角分别相等的四边形变形是平行四边形.（3）从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图 2,点 B, E, C, F 在一条直线上，AB=DF, AC=DE, BE= FC.(1)求证： ABCADFE;（2）连结AF, BD,求证：四边形ABDF是平行四边形.图2解：（1）证明：V BE=FC, ；BC=FE,在4ABC与4DFE中，'AB=D

3、F,A AC=DE, 【BC=FE, .ABC0ZDFE(SSS;(2).AABCADFE, ./ABC=/DFE, .AB/DF.变形又= AB= DF，.二四边形ABDF是平行四边形.2018嘉兴秀洲中学月考如图3,在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE的延长线与AB的延长线相交于点F.(1)求证： CDEABFE;(2)试连结BD, CF,判断四边形CDBF的形状，并证明你的结论.D变形2答图解：(1)证明：二四边形ABCD是平行四边形,AB/ CD, ./F=/CDE,丁点E是边BC的中点，. .BE = CE,f/F=/CDE,在 4BFE 和 4CDE 中，/BEF=/C

4、ED,BE=CE,.-.CDEABFE(AAS)； (2)四边形CDBF是平行四边形.证明：如答图，vacdeabfe, .de=ef,又= BE= CE,四边形CDBF是平行四边形.变形3| 2018道外区一模如图4,在 ABC中，D是BC边的中点，分别过 点B, C作射线AD的垂线，垂足分别为E, F,连结BF, CE.(1)求证：四边形BECF是平行四边形；若AF=FD,在不添加辅助线的条件下，直接写出与 ABD面积相等的所有 三角形.图4解：(1)证明：:D是BC中点，；BD = CD,v BEXAE, CFXAE, ./ BED= /CFD = 90°,/BED= /CFD

5、,在 ABED 与 ACFD 中，/BDE=/CDF,LBD = CD,.-.BEDACFD(AAS), .ED=FD, .BD = CD,四边形BECF是平行四边形;变形(2)与AABD 面积相等的三角形有 AACD, ACEF, ABEF, ABEC, ABFC.如图5,在?ABCD中，过点A作AMLBC于点M ,交BD于点E,过点C作CNXAD于点N,交BD于点F,连结AF, CE.求证：四边形AECF为平 行四边形.图5证明：在？ABCD 中，ABCD, /ABC=/ADC, ./ABD= /CDB.X - AMIBC, CNXAD, ./AMB=/CND = 90°, ./

6、 BAM = 90 /ABM = 90 /CDN=/DCN,'/ABE=/CDF,在 AABE 和 ACDF 中，AB=CD, l/BAE=/DCF, .ABE0 ACDF(ASA). .AE= CF, /AEB=/CFD, ./AEF=/CFE, .AE/CF, 四边形AECF为平行四边形.变形12019香坊区模拟如图6,将?ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连结CE, F是BC边的中点，连结FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形;(2)若 AB = 2, AD = 3, / A= 60°,求 CE 的长.B FA- CD E变形5答图解：(1)证明：二四边形

7、ABCD是平行四边形,1 . AD=BC, AD/ BC,2 .DE=2aD, F是BC边的中点,DE=FC, DE/ FC,四边形CEDF是平行四边形;(2)如答图，过点D作DNLBC于点N, 四边形ABCD是平行四边形，/ A= 60°, ./ BCD=/A=60°, . AB= 2, AD = 3,31 .FC = 2，NC=2DC = 1, dn = V3,fn = 2,则 ce=df = dn2+fn2=挈.变形图7变形6答图如图7,已知 ABC是等边三角形，点D, F分别在线段BC, AB上, /EFB=60°, DC=EF.(1)求证：四边形EFCD

8、是平行四边形;(2)若 BF = EF,求证：AE = AD.证明：(TABC是等边三角形，/B = 60°./EFB=60°, ./B=/EFB,.EF/BC,; DC= EF,.四边形EFCD是平行四边形；(2)如答图，连结BE. BF=EF, /EFB = 60°, .EFB是等边三角形， .EB= EF, /EBF = 60°. DC=EF, .EB=DC.ABC是等边三角形， ACB=60°, AB=AC, EB=DC,在 AAEB 和 AADC 中，/EBA=/DCA,AB=AC, .AEB0 ADC (SAS),.AE = AD.变形7| 2019九江期末如图8,四边形ABCD是平行四边形，/EAD=/DBC, / AED=90°.(1)求证：AE/BD;过点C作CFLBD于点F,连结EF,求证：四边形EFCD是平行四边形.图8证明：（1），.四边形ABCD是平行四边形, .AD/BC, ./ADB=/DBC,EAD= ZDBC, ./ EAD= /ADB,AE/ BD;(2)VAE/BD,AED+/BDE = 180°,/AED=90°, . ./B