从梯子的倾斜程谈起西王庄中学刘美慧

1、课 时第一章第一节第一课时课 题从梯子的倾斜程度谈起课 型新授课时 间2012年11月28日周三节 次 第5节授 课 人刘美慧 教学目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.重点从现实情境中理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义.难点理解正切的意义，并用它来表示表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.教法、学法指导引导与探究法相互结合即：这节课我通过设置“观察实践讨论”等活动，来引导学生理解正切的概念，探

2、索正切的应用，引导学生在问题的探究中形成能力.在教学中，我创造一种学生积极参与的学习环境，充分利用学生的想法和语言，来纳入本课时的教学，使学生更投入的学习课前准备教具准备：多媒体课件、三角板知识储备：三角形相似的判定方法及性质教学过程：一、创设情境 引入课题师：在RtABC中,C=90°，A=30°，A的对边长度为3厘米，你能求出其它的边和角吗?生：（根据题意画出图形并计算）如图，B=60°，AB=6厘米，AC=厘米.师：在直角三角形中,若知道一边和任一个锐角,你能求出其它的边和角吗?生：（思考后）我能求出其它的角，但其它的边不一定能求出.师：利用现有的知识我们不

3、不一定能求出其它的边，学完第一章：直角三角形的边角关系就能解决这类问题.（板书课题：第一章 直角三角形的边角关系）（设计意图：设置2个有关联的问题情境，对于第1个问题学生能轻松解决，对于第2个问题，学生能求出其它的角，但其它的边不一定能求出，在学生发生认知冲突时，接着我告诉他们学完第一章直角三角形的边角关系就能解决这类问题，从而学生带着问题和好奇心进入第一章的学习.）师：接着借助课件播放几组生活情境：如师：在图片中，梯子、墙与地面构成了直角三角形，在这里有几个概念需要大家明确.我们把梯子的顶端与地面的距离称为铅直高度，把梯子与地面的夹角叫倾斜角，把梯子的底端到墙角的距离叫水平宽度.如果我们将梯

4、子慢慢儿的扶起，那么，梯子的倾斜程度有没有发生变化？铅直高度水平宽度倾斜角生：有，梯子变陡了师：梯子的倾斜程度和什么有关系？这节课我们就从梯子的倾斜程度谈起，（教师板书课题：1.1从梯子的倾斜程度谈起.）(设计意图：通过生活中熟悉的物体（梯子）谈起，不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备.)二、合作交流 探究新知探究1、梯子的倾斜程度和哪些量有关系？活动1：生活问题数学化师：（利用课件播放梯子被慢慢儿扶起的动画过程）铅直高度水平宽度生：认真观察梯子在上升变陡过程中，哪些量发生了变化？生1：倾斜角发生了变化.生2：铅直高度及水平宽度都发生了变化.生3：铅直高度与水平

5、宽度的比也发生了变化.师：大家观察的很仔细，梯子在上升变陡过程中，他们分别发生了怎样的变化？生：梯子在上升变陡过程中，倾斜角越来越大，铅直高度越来越大，水平宽度越来越小.师：铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？生：铅直高度与水平宽度的比也越来越大.师：通过探索你能总结一下，梯子的倾斜程度和哪些量有关系？有什么关系？生1：梯子的倾斜程度和倾斜角有关系，倾斜角越大，梯子就越陡.生2：梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡.师：这两位同学总结的很准确，利用你们的发现来解决下面的问题.（设计意图：通过一个实际生活问题，让学生经历发现、提出、分析并解决数学

6、问题的过程，从而培养学生将生活问题数学化的能力.）活动2：理论应用于实践 （课件展示）实例1:如图1，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？图1生：（学生分组讨论）师：（学生讨论时，教师参与其中，并及时帮助较薄弱的小组，然后各组派代表回答.）1组：梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角，发现ABC>EFD，根据倾斜角越大，梯子就越陡.所以梯子AB较陡.师：哪组还有不同的判定方法？2组：我们也是认为梯子AB较陡.我们组是计算AC与BC的比，ED与FD的比，发现前者的比值大，根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡.3组：我们组的方法和1组的大致相同，借助倾斜角来判断

7、，不过不是测量，我们是过E做EGAB交FD于G，就可以清晰比较ABC与EFD的大小了.4组：我们组发现这两架梯子的高度相同，只要水平宽度越小，梯子就越陡.所以我们也是认为梯子AB较陡.师：看来大家是八仙过海，各显神通啊，虽然方法不同，但结论是相同的.看来这个题难不倒大家，那么下面再看一个题.（课件展示）实例2:如图2，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？图2生：（受刚才那个题的启发，学生此时可以独立完成这个问题.）生1：梯子EF较陡，因为EFD>ABC，根据倾斜角越大，梯子就越陡.生2：梯子EF较陡，因为,根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡.师：这两位学生对此理解的很好，在日

8、常的生活中，我们去判断哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的倾斜角大小，或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断. 可是小明和小亮，在判断梯子AB1的倾斜程度时发生了矛盾，我们来看一看.（设计意图： 让学生把总结的理论应用于实践，体会到数学的价值所在.）探究2：直角三角形的边与角的关系（课件展示）想一想：如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? AC1C2B2B1 (1) RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系? （3） 如果改变B2在梯子上的位置呢?由

9、此你能得出什么结论?师：第1问如何解决？生1:B2AC2=B1AC1, B2C2A=B1C1A=90°, RtAB1C1RtAB2C2师：第2问？生2：由（1）知RtAB1C1RtAB2C2 生：（学生思考后第1、2问能独立解决，但第3问在学生独立思考的基础上，组织学生讨论交流.）生3：改变B2在梯子上的位置，铅直高度与水平宽度的比始终相等.师：你又能得出什么结论呢?生：A的对边与邻边的比只与A的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.师：也就是说无论B2在梯子的什么位置(A除外)，A的对边与邻边的比值是不

10、会改变的.师：（教师及时总结提升，得出正切的概念） 在这个RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做A的正切(tangent). 记作:tanA , 即 tanA=师：正切的概念有几点需要大家注意的地方： 1.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”. 2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比.3.初中阶段，我们只学习直角三角形中，tanA表示锐角A的正切.生：（学生识记正切的概念及注意事项）(设计意图：利用这个梯子模型进行探究活动，可以帮助学生直观理解正切的概念.通过课件展示，让学生亲眼目睹数学过程形象而

11、生动的性质，亲身体验如何“做数学”，促使学生乐于学习.同时，让学生在讨论过程中学会与他人交流，养成良好的学习品质.）师：了解正切的概念，下面考考大家对这个概念理解如何，请完成下面问题.随堂练习：1、在RtABC中,C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _.2、如图, ACB=90°，CDAB，则tanACD= ，tanB= = = 3、在RtABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A、扩大100倍 B、缩小100倍 C、不变 D、不能确定（设计意图：通过这组练习，既复习了正切的定义，达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广了学生的思维，

12、同时为以后学习三角函数埋下了伏笔.)探究3：正切的应用师：我们学习数学就是为了更好地应用数学.正切在日常生活中的应用很广泛.应用1：正切可以判断梯子的倾斜程度.议一议：如图,梯子的倾斜程度与tanA有关吗?A生：（学生讨论后找一生回答），与tanA有关；TanA的值越大,梯子越陡.师：我们探究出利用倾斜角的正切可以判断梯子的倾斜程度.利用它可以解决生活中的一些问题，如：例1、下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 6m乙8m5m 甲13m生：（学生先尝试解决）师：等学生回答后教师展示规范的解题过程.解:甲梯中，；乙梯中，>，乙梯子较陡.应用2：正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡

13、度. 师：坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.例如，如图,有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m,100m 60m i那么山坡的坡度i(即tan) 就是:生：了解坡度i(或坡比)的概念.（设计意图： 正切在日常生活中的应用很广泛，如建筑、工程技术等.通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义，密切数学与生活的联系，使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学，为生活服务.）三、课堂总结 整理反思 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么没有得到解决的问题愿意摆出来与大家共享吗? （学生分组小结，各组代表发言交流，教师及时给予

14、肯定、赞扬.）生1：正切的定义.生2：梯子的倾斜程度与tanA的关系. 生3：tanA也可用来描述山坡的坡度. 师：在活动中教师应重点关注:不同层次学生对本节知识的掌握情况及学生对本节课不同方面的感受.（设计意图：让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯.）4、 达标检测 形成技能（课件展示）1、如图，在RtABC中，C=90°，AB=15，tanA= 求AC和BC.2、如下图,ABC是等腰三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗?4ABCD1.53、如下图:在ABC中，求tanC=( ) (A) 1 (B) ( C) B556CA4、一

15、个直角三角形的两边长分别为3，4，则较小的锐角的正切值是_.（设计意图：这些习题适合各档次的学生，也是考试常涉及的题型，借此向学生渗透，在解题时会遇到有一些试题，要通过添加辅助线构造直角三角形来求解.在练习时教师要多关注学生对知识的应用拓展能力及数形结合能力.）布置作业 A类：课本P6知识与技能1 B类：在梯形ABCD中,AD/BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.求:tanB. C类：在在RtABC中，C=90°，tanA与tanB有什么关系？板书设计： 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起1、当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的概念： 在RtABC中，锐角A确定，那么A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做A的正切，记作tanA，即tanA3、 正切的应用应用1：正切可以判断梯子的倾斜程度.TanA的值越大,梯子越陡.例1、例题讲解 (略)应用2：正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.坡度等于坡角的正切.4、达标检测B556CA学生练习：教学反思：在本节课的教学中，我感觉较好的地方有：1、 本节课由于是第一章第一节，