2019年全国I卷理科数学高考真题

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 .已知集合 M =x -4<x <2, N =xx2-x-6<0,则 M Pl N =A. xYcx<3B. x-4&

2、lt;x<-2 C. x-2cx<2D. x 2 < x <312 .设复数z满足z-i =1, z在复平面内对应的点为(x, y),则2222_2222A. (x+1) +y =1 B. (x-1) +y =1 C. x +(y1) =1 D. x +(y+1) =10 20 33,已知 a=log20.2, b=2 , c =0.2 ,则A. a <b <cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，5二1 （近二1 -0.618,22称为

3、黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长脐的长度之比也是 5二！ .若某人满足上述两个黄金分割比例, 2度为26 cm,则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsinx 二 x5.函数f(x)=2在-n，n的图像大致为cosx xC.-IT6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“一 一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻 的概率是D.5A.1167.已知非零向

4、量a,b满足| a |=2| b| ,且(a -b) 1b,则a与b的夹角为冗A.一61图中空白框中应填入的程序框图,8.如图是求J2 - 211B. 一3221 C.32D.B.一3D.A.1116C.5兀62兀3B.D.A=1 2A1A. A=2 AB. A=2+ A1C. A=1 2A9.已知椭圆 C的焦点为F1( -1,0)F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若 | AF2 |= 2 | F2B |,|ABR BF1 |,则C的方程为2x 2/A. + y =122xB. +32匕=1222xy/C.+L=143D.2Li10.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0

5、, a5=5,则f(x)在区间(3，兀)单调递增2f(x)的最大值为2C.D.:,PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E, F的体积为C. 2j6nD,相212cA.an=2n5B.an=3n10C.Sn=2n 8n d, S=n -2n211 .关于函数f (x) =sin | x|+|sin x |有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在T,国有4个零点其中所有正确结论的编号是A.B.12 .已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 O的球面 分别是PA, AB的中点，/ CEF=90° ,则球 OA. 8指五B. 476n二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20

6、分13 .曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为1214 .记Sn为等比数列an的刖n项和.右a1 =-，a4 =a6,则S5= 315 .甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4： 1获胜的I率是 . . x2 y216 .已知双曲线C： 一7-7 =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为 F1，F2,过F1的直线与C的两条渐近线 a b分别交于A, B两点.若F1A =

7、AB, FBF2B=0,则C的离心率为1721题为必考题，每个试题考生三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17 . (12 分)2. 2 _ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,设(sin Bsin C) =sin A sinBsinC.(1)求 A；(2)若.12a b =2c ,求 slnC.18 . (12 分)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA=4, AB=2, Z BAD =60° , E, M, N分别是BC,B

8、B1, A1D的中点.(1)证明：MN/平面 CiDE；(2)求二面角A- MA1- N的正弦值.19 . (12 分)已知抛物线C: y2=3x的焦点为F,斜率为目的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.2(1)若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程；(2)若 AP =3PB,求 |AB|.20 . (12 分)已知函数f (x) =sinxln(1+x), f'(x)为f (x)的导数.证明:3T1 1) f (x)在区间(1,1)存在唯一极大值点;2 2) f(x)有且仅有2个零点.21 . ( 12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，

9、为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和3, 一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p&qu

10、ot;i =0,14|,8)表示甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 Po=0, P8 =1 , Pi =ap+bR+cpi书(i =1,2,|,7),其中a = P(X=1), b = P(X=0), c=P(X =1).假设 口 =0.5, P=0.8 .(i)证明： Pt Pi (i =0,1,2,|,7)为等比数列；(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)1-t1 t24t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程

11、为11 t(t为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 Pcos日+ J3Psin日+11 = 0 .(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23 .选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1 .证明：(1)w a2 +b2 +c2 . (a b)3 (b - c)3 (c a)3 -24.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案一、选择题1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C 12. D二、填空题13.

12、 y=3x14. 12115. 0.1816. 23三、解答题. .一 .222222.17.解：(1)由已知得 sin B+sin Csin A=sinBsinC,故由正弦定理得 b +c -a =bc.222由余弦定理得八 b c -a 1cos A =2bc 2因为 0o<Ac1801所以 A = 601(2)由(1)知 B=120'C ,由题设及正弦定理得 ，2sin A + sin(120°C )=2sinC ,即 «+acosC +1sinC =2sin C ,可得 cos(C +60,)=- 22222由于 0 <C <120 所以

13、sin (C +60 )=,故2sinC =sin C 60 -60= sin C 60 cos60 -cos C 60 sin606；2418.解：(1)连结 BiC, ME .因为M, E分别为BBi, BC的中点,所以 ME/B1C,且 ME = BiC.21又因为N为AiD的中点，所以ND= -A1D.2由题设知 A1B1 U DC ,可得 B1C U A1D,故 ME N ND,因此四边形MNDE为平行四边形， MN / ED.又MN式平面EDC1，所以MN /平面C1DE.(2)由已知可得 DELDA.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

14、则AA = (0,0,4),A(2,0,0) , Ai(2, 0, 4), M (1,73,2), N(1,0,2),AN=(i,0,2), mN= (0,-g0).m AM =0设m =(x, y,z)为平面Aima的法向量，则 T jm A1A = 0所以:可取m=g»,、n MN =0,设n =(p,q,r)为平面AiMN的法向量，则 一n AN = 0所以-3q = 0V * 可取 n = (2,0, 1).-p -2r =0.8smn海产二等*| ml I n | 2 ；55所以二面角A - MA1 - N的正弦值为 叵 .5319.解：设直线 l: y =2x+t, A(

15、x，y ), B(x2,y2)., 一一 f3)(1)由题设得F ,0 , 14 J35故 | AF | +|BF |=x1+x2+万，由题设可得 Xi+x2=.3,y =-x t2由«2 ，可得9x22-y = 3x212(t -1)+12(t -1)x+4t2 =0 ,则 Xi +X2 =-912(t -1)从而-二-937所以l的方程为y=-x28r T AP =3PB可得 y1 = 3y2.3, y = x t2由 «丫 2，可得 y2 2y +2t =0 .y2 = 3x所以 y1 + y2 = 2 .从而 一3 y2 + y2 = 2 ,故 y2 = 1, y1

16、 = 3.1代入C的方程得x1 =3,x2 =.3,4 13故 | AB | 二31120.解：(1)设 g(x) = f'(x),则 g(x) =cosx73 , g'(x) = -sinx + 2 . 1 x(1 x)JII 1,2,g'(x)单调递减，而 g'(0)A0,g'(一) M0,可得 g'(x)在 11,一22有唯一零点,设为:.则当 xw(1,a)时，g'(x) A0;当 xw fa-i时，g'(x)<0.,2所以g(x)在(-1，口)单调递增，在L- j单调递减，故g(x)在匚1, I存在唯一极大值点，.

17、2.2即f'(x)在1 -i,- i存在唯一极大值点. ,2(2) f(x)的定义域为(-1,收).(i)当 xw(iq 时，由(1)知，f'(x)在(-1,0)单调递增,而 f'(0)=0,所以当 x"1,0) 时，f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减，又f(0)=0,从而x = 0是f(x)在(-1,0的唯一 零点.(ii)当x“0-l时，由(1)知，f'(x)在(0,a)单调递增，在单调递减，而f'(0)=0 12I 2)，f'I<0,所以存在，使得 f'(B)=0,且当 xW(0,BW,f

18、'(x)A03xBI 2jI 2J时，f'(x) <0.故f(x)在(0,P)单调递增，在fp,- 1单调递减.2又 f (0)=0, f q=1ln，1十3>0 ,所以当 xw10-l时，f(x)>0.从而，f(x)在'012.2. 2. 2没有零点.(iii)当x w仁3时，f' (x) <0 ,所以f (x)在化兀单调递减.而f化)>0 , f (町< 0 ,222所以f(x)在它，/有唯一零点. 2(iv)当xw3收)时，ln(x+1)>1 ,所以f(x)<0,从而f (x)在(江,收)没有零点.综上，f

19、(x)有且仅有2个零点.21.解：X的所有可能取值为 1,0,1.P(X =_1)=(1-cc)P,P(X =0)=：-(1 -： )(1- -),P(X =1) =- (1- J,所以X的分布列为K I -I01P (I a)/? °d *(_£)(_/) a1/)(i)由(1)得 a =0.4, b=0.5, c = 0.1.因此 «=0.4口+0.5 Pi+0.1 Pt，故 0.1( 口中R )=0.4( p p一),即Pi 1 - Pi = 4 Pi - Pi.又因为Pi P0 =P1 二0,所以r书P(i =0,1,2,|H，7)为公比为4,首项为P1的等比数歹U.(ii)由(i)可得841P8= P8-P7. P7 -P6IHP1- P0P0=P8-P7P7- P6 Hl P1 一P0=P1 .3 一一由于P8=1 ,故Pi =-8一,所以4 -144 -1257在甲药治愈率为0.5,乙药治P4 =P4-P3P3 - P2P2- P1P1-P0=工P13P4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结