椭圆定义及其标准方程

1、行星运行轨迹行星运行轨迹 1.定义定义2. 标准标准方程方程用一条固定长度为2a的线绳，再打双，用笔把绳子拉紧，在纸板上慢慢移动，画出一个圆。把绳子的两端分开并固定在两个定点处(两定点的距离要小于绳长)，再用 笔把绳子拉紧,在纸上慢慢移动一周，将画出一个什么样的图形呢？F1F2M1 1、在画图过程中，绳子长度变化了吗？在画图过程中，绳子长度变化了吗？2 2、你所画出的曲线上的点到、你所画出的曲线上的点到F F1 1、F F2 2两点的距离和两点的距离和始终是什么关系？始终是什么关系？思考：没有相等 v平面内到两定点平面内到两定点F1、F2的距离之和等于的距离之和等于常数常数(大于大于|F1F2

2、|)的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆v这两个定点叫做椭圆的焦点，这两个定点叫做椭圆的焦点，v两焦点的距离叫做焦距两焦点的距离叫做焦距1.椭圆的定义椭圆的定义F1F2M练习一练习一 （2）探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM 以以F1，F2所在直所在直线为线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，建立直角坐标系建立直角坐标系xOy，则则F1，F2的坐标分别的坐标分别为为(c，0)，(c，0)步骤一：建

3、立直角坐标系步骤一：建立直角坐标系xyOMF1F2设椭圆上任意一点设椭圆上任意一点M的坐标为的坐标为(x，y) 步骤三：列等式步骤三：列等式根据椭圆定义知根据椭圆定义知MF1MF22a 代入坐标代入坐标aycxycx2)()(2222 即：即： 步骤二：设动点坐标步骤二：设动点坐标步骤五：化简方程步骤五：化简方程两边再平方得：两边再平方得： a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2整理得整理得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)2222)(2)(ycxaycx 移项得：移项得： ，2222222)()(44)(ycxycxaaycx 两边平方得：两边平方得： 222)(y

4、cxacxa 整理得：整理得： 步骤五：化简方程步骤五：化简方程因为因为a2(a2c2) 0，所以两边同除以，所以两边同除以a2(a2c2)得：得： ，122222 cayax又因为又因为a2c20，所以可设，所以可设a2c2b2(b0)，于是得：，于是得： ) 0( 12222 babyax) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(2222

5、1 12 2yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM这两个标准方程的相这两个标准方程的相同点与不同点同点与不同点想一想共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同

6、点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.11625)2(22yx11)4(2222mymx11616)1(22yx0225259)3(22yx练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？ 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？ 练习练习练习练习2. 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且CF1=2,

7、则则CF2=_. 1162522yx5436(-3,0)、(3,0)8露一小手露一小手练习练习3.3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；6(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点； (4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在

8、的坐标轴；定量：求定量：求a, b的值的值.相信我能行！相信我能行！课堂小结课堂小结1 。椭圆的定义及焦点，焦距的概念；椭圆的定义及焦点，焦距的概念；2。椭圆椭圆 的标准方程：的标准方程：（1）当焦点在当焦点在X轴上时，轴上时， （2）当焦点在当焦点在Y轴上时，轴上时， 3。椭圆标准方程中的椭圆标准方程中的a, b ,c 的关系：的关系：4。如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：看标准方程中看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。 5。求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置,然后确定标准方程的类型，最后求出然后确定标准方程的类型，最后求出 a , b .221(0)22xya bab 221(0)22yxabab 222bac22,xy问题问题1：将