随机变量及其分布

1、2.1随机变量及其分布(二)连续随机变量的概率密度函数(Probability Density of Continuous Random Variable)连续随机变量的一切可能取值充满某个区间(a,b)，在这个区间内有无穷不可列个实数，因此，描述连续随机变量的概率分布不能再用分布列的形式表示，而是改用概率密 度函数表示。定义设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在实数轴上的一个非负可积函 数p(x)，使得对任意x R，有xF( x> 一 p( t) d t则称X为连续随机变量，F(x)为连续分布，p(x)为X的概率密度函数，简称密度函数c密度函数的基本性质(1) 非负性:(2) 正则

2、性:P(x) _0bep(x)dx =1。以上两条是判定一个函数P(x)是否为某个随机变量的密度函数的充要条件2.1.4.2 (绝对)连续分布函数的基本性质(1) F(x)在整个实数域上都连续。因为对任意点x的增量LIx，相应的分布函数的增 量有-X LxLf =F(x _x)F x ) P x(dxp0"x(2) 在F(x)的导数存在的点上，有F ( x)= p( x)(至多有一个Lebesgue零测集除外)F(x)是(累积)概率函数，其导数F(x)是概率密度函数，由此称p(x)为概率密度 函数。(3) F(x)对应的密度函数不唯一。因为在若干点上改变密度函数 p(x)的值并不影响

3、 分布函数F(x)的值。例当随机变量X的密度函数分别为下面两个函数时0.51x 空1;盼0其他。0. 5p2(x0-1 x :其他。1；有 PP1(X)= P2(x) =P(X =T) P(X =1) =0可见两函数P1(x), P2(x)在概率意义上是无差别的，在此称函数P1(x), P2(x)是“几乎处处相等”，其含义是：它们不相等处的点组成的集合的概率为零。连续随机变量的性质(1) 连续随机变量X在(-：，：)上任意一点a的概率恒为零，即P(X =a) =P(X ma) P(X : a) =F(a) F(a0) =0、a或 P(X 二 a) = a P(x)dx = 0(2) -a,b

4、R 且 a b，有P(a : x : b)二 P(a 乞 x :b:b)二 P(a ： x 乞 b)二 P(a 乞 x 乞 b)二 a p(x)dx分布函数的分类(了解)根据实变函数论知识，定义在 R上的有届非降函数，除了阶梯函数，绝对连续函数之外，还有一类所谓的奇异连续函数。由Lebesgue分解理论知，任何一个一元分布函数F (x)都具有如下形式的分解式：F( x)= ! a! R X 2 直 F )X3 a( F) x其中，Fdx),F2(x),F3(x)分别为阶梯函数，绝对连续函数，奇异连续函数，a： 0, (i =1,2,3)， 且印a2 a3 =1。当ai |i =1,2,3中至少

5、有两个不为零时，称F(x)为混合分布函数。 故分布函数有四类：阶梯函数，绝对连续函数，奇异连续函数，混合分布函数。例(课堂练习)判定下面的函数F(x)是不是某个随机变量的分布函数0J +x F(x) =x：0;0 乞 x ： 1 ;x_1.解 函数F(x)的图形如右图，很明显的可以 看出F (x)在实数域R上，既不是阶梯函数也不是 连续函数，所以它是既不离散也不连续得分布。例已知随机变量X的密度函数为x 0 一 x ： 1 ; p(x 戸 2x"v 2 ;.0 其他。试求X的分布函数F(x)。x解 (1)当 x ： 0 时，F(x) p(t)dt = 02rxxx(2)当 0_x ：

6、1 时，F(x) p(t)dt tdt = o2(3)当 x : 2 时,x1xF (x) p(t)dt tdt i (2 - t)dt =2x 1(4)当 x_2时,x12F(x)p(t)dt 二 0tdt (2-t)dt; =10I所以，随机变量X的分布函数为x ： 0 ;F(x)=2x -1这个分布被称为辛普森分布或三角分布，其密度函数p（x）和分布函数F（x）的图形如下所示:例某型号电子元件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度函数1000p(x) = < x2x 1000;其他。现有一大批此种元件（各元件工作相互独立），问（1）任取1只，其寿命大于1500小时的概率是多少？（

7、2）任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？（3）任取4只，4只中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？（4） 若已知已知元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大于 2000小时的概 率是多少？(1) P(X 1500)二二 10001500 x223（2） P（“四只元件的寿命都大于1500”)= P(X 1500)4 遼)4 書(3) P(“四只中至少有一只元件的寿命大于1500”)=1 一 p(“四只元件的寿命都不大于1500”) =1 -P(X <1500)4(4) P(X 20001X 1500)f 址 ®00dx P(X2000)2000 x21

8、 23P(X 1500) 一 "000dx 一 2 3 一 41500 x2例向区间(0, a)上任意投点，用X表示这个点的坐标。设这个点落在(0,a)中 任意小区间的概率与这个区间的长度成正比，而与小区间的位置无关，求随机变量X的分布函数F(x)和密度函数p(x)。解(1)当x：0时，由于X空x是不可能事件，所以.->例 2.1.10 6«F(x) =P(X 乞x) =0(2) 当 0 沁：a 时，F(x)=P(X 乞 x):例 2 1 10(#) 二 P(0 _X _x)二 kx" 屏 f # 八0a例(3) 当 x _a 时，F(x)= P(X 沁)=

9、1所以，随机变量X的分布函数为0x :： 0;F (x)二 kx a 乞 x ： a;1x _ a.由连续分布函数的性质知：1 = F (a) = F (a - 0) = lim kx = ka 二xsa 故X的分布函数为0 x ： 0;lx F (x)a - x : a;|a 1 x - a.所以 (1) x : 0 或 x a 时，p(x) =F (x) =01(2) 0 ： x a 时，p(x) = F (x)=a(3) x =0和x =a处，p(x)可以取任意值，一般就就近取值,这样不会影响概率的计算,因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是，随机变量f JtX的密度函数为10*a;P(x) = a0 其他。这个分布就是区间(0, a)上的均匀分布(Uniform distribution)，记为 U (0, a).例设连续随机变量X的密度函数为14x3 0 ： x ： 1;P(x)二J 0 其他。(1)已知P(X ：a) = P(X a)，试求常数(2)已知P(X .b) =0.05，试求常数b解 因为X是连续随机变量，所以P(X =a) =0故 p( x： a r x. a= 1又因为 P(X : a) =P(X -a)，所