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文档简介

1、第三章 中值定理与导数的应用1. 设在上连续，在(0,1)内可导，,求证：存在使.证明：令，则在上连续，在(0,1)内可导，.由连续函数的介值定理，又根据罗尔定理，即.2. 求证：若在上可导，则对介于与之间的任意值，有，使.（导函数的介值定理）证明：无妨设，令，则，.在上可导，必连续，因此有最小值，否则矛盾！；，否则矛盾！因此.由Fermat定理，即.3. 设在上连续，在内可导，在上不恒为常数.求证：，使，.证明：在上连续，因此有最大值，最小值.由题意，因为，所以，或.无妨设，由Lagrange中值定理可知，；，.4. 设，证明：，使.证明：令，在上连续，在内可导且.由Cauchy中值定理，使

2、，即.5. 讨论方程的实根个数.解：令，在连续，故至少有三个实根，若有多于三个的实根，则由罗尔定理，有实零点，而，因此恰有三个实根.6. 设在上二阶可导，.求证：，使.证明：设，则，.根据Taylor 公式，使；，即，.时，；时，.7. 求解：8. 求解： 9. 求解：10. 求解：11. 求解：时，；12. 讨论方程的实根个数。解： 令 ，由 得 ，是函数的单减区间，是函数的单增区间，极小值为。由于 所以的图形与轴有两个交点，原方程有两个实根。13. 求证：证明：令，在上连续，在内可导且，所以在上单增. ，所以，从而14. 比较和的大小.解：令，在上连续，在内可导且，所以在上单减. ，所以，

3、即，.15. 设，求该数列中的最大项.解：令，时， ，在连续，因此在单增；时， ，在连续，因此在单减，；，经比较，所以该数列的最大项是.16. 设，求的极值与拐点.解：，有极大值. ，有两个拐点：和.17. 设，求证：.证明：令，在上连续，时，在内的驻点为，所以在上的最大值是1，最小值是，原不等式得证.18. 求椭圆上的点，使得椭圆在该点的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小.解：先在第一象限内求这样的点.椭圆在点处的切线方程为，切线与坐标轴的交点为与，依题意，要求在内的最小值点，也就是的最大值点.，令，得在内的唯一驻点，时，；时，因此既是在内的唯一驻点，也是的极大值点，所以是在内的最大值点（由初等数学的知识也可得

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