三角函数恒等变换含问题详解及高考题

1、实用标准文案精彩文档三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换：特别是用"1"的代换，如1=cos20+sin 2 0 =tanx - cotx=tan45 °等。(2)项的分拆与角的配7零。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin 2x+cos2x)+cos 2x=1+cos2x;配凑角：a = (ac、 c c a+P a - P _+ 3)-3, 3 =-等。2 2(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。(4)引入辅助角。asin 0 +bcos 0 =Ja2 +b2 sin(。+中)，这里辅助角 中所在象限由a、b的符号确 b .7E,邛角的值由tan

2、邛=确7£。a1 .已知 tan x=2,求 sin x, cosx 的值.sin x -22解： 因为 tan x = 2 ,又 sin x+ cos x=1,cosx联立得sin x = 2 cos x，. 2,2,sin x +cos x =1解这个方程组得2<5 sinx =5、.5cosx =52i/5 sin x = -55cosx = 52 求 tan(-120)cos(210)sin(480)的值 tan(-690 ) sin(-150 ) cos(330 )解：原式tan(-120 180 )cos(180 30 )sin(-360 -120)rro-tan(

3、-720 30°)sin(-150 )cos(360 -30 )tan60 (cos30 )(-sin120 ) a tan30 (-sin150 )cos30c 什 sinx-cosx 小 o3/士3 .右=2,求 sin xcosx 的值.sin x cosx解：法一：因为 sinx-cosx=2, sin x -cosx所以 sin x cosx=2(sin x+ cosx),得到sin x=- 3cosx,又sin 2x+cos2x=1,联立方程组，解得3.10sinx =10-而cosx = -0-3 J0sinx = - 10而， cosx =而.3所以 sin xcos

4、x =10法二：因为 sinx -00sx =2, sin x cosx所以 sin x cosx=2(sin x+ cosx),所以(sin x-cosx)2=4(sin x+cosx)：所以 1 2sin xcosx=4+8sin xcosx,.3所以有 sin xcosx =-104 . 求证：tan 2x sin 2x=tan 2x sin 2x.证明： 法一： 右边= tan 2x sin 2x=tan2x(tan 2x - cos2x)=tan 2x(1 cos2x)=tan 2x - sin 2x, 问题得证.法二：左边 =tan 2x - sin 2x=tan 2x(1 cos

5、 2x)=tan 2x tan 2x - cos2x=tan 2x sin 2x, 问题得证.，、一、.，. . x 兀、.5 .求函数y=2sin(-+-)在区间0 , 2上的值域.2 6解：因为0WxW2兀，所以0w)w兀+-<7-，由正弦函数的图象，26 2 66得到 sin(x g ,1, 262所以 yC -1, 2.6.求下列函数的值域.(1) y=sin 2xcosx+2;(2) y=2sin xcosx (sin x+cosx).解：(1) y=sin 2x cosx+ 2= 1 cos2x cosx+ 2=(cos 2x+ cosx) + 3,21 2131213令 t

6、=cosx,则 t w 1,1, y = (t+t)+3 = (t+ )+= _(t + ) +,242413利用二次函数的图象得到y 1, l3.4(2) y= 2sin xcosx (sin x+cosx)=(sin x + cosx) 2 1 (sin x+cosx), 令 t =sin x+cosx = 2 ,sin(x十)，则tw后,J2则，y =t2 t1,利用二次函数的图象得到yw勺,1+J2.447.若函数y=Asin( wx+()( w >0,巾>0)的图象的一个最高点为(2, J2),它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6, 0),求这个函数的一个解析式.1

7、解：由最高点为(2, J2),得到A =应，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是 一4个周期，这样求得T =4 , T=16,所以=上，48又由22 =V2sin(-父2 +中)，得到可以取 邛=y = J2sin( - x+ -).84848. 已知函数 f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin 4x.，、一，,一 ，一一，一 工(I )求f(x)的最小正周期；(11)若*'=0,3,求£”)的最大值、最小值.1 一 sin x 4 数y =的值域.3 - cosx解：(I )因为 f (x)=cos 4x 2sin xcosxsin4 x=

8、(cos 2xsin 2x)(cos 2x + sin 2x) sin2 x,2.2、- .八二.，兀八、匚. 兀、二 (cos x-sin x) sin 2x =cos2x-sin 2x =、. 2sin(12x) = - . 2 sin(2x-)44所以最小正周期为兀.(n)若xW0,4，则(2x -)W135,所以当x=0时，f(x)取最大值为 -4 2 sin(一 )=1;当 x =红时,244 448f(x)取最小值为JZ1.已知 tanQ = 22，求(1) cos_sin" ； (2) sin26 sine.cos0十2cos20 的值. cos二-sin 二解:一、

9、cost ： sin (1cosi sin 二sin1cos1 sin11 tani1 一 tani1 + 血=-3-2/2 ；1-2cosi(2). 2 sin. c2s - sin【cos 1 2cos. 2 . . C 2 .sin 1 - sin c cos n 2cos12 2. 2 .2-sin 【cos 1.2 .sin 二 sin 二cos2 1 cos?_2 2 2 = 42sin2 >一 2 1-321cos 1,进行弦、切互化，就会使解题过说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)程简化。2 .求函数 y =1+sin x+cosx+(sin x+

10、cosx)2 的值域。解：设 t =sinx+cosx = J2sin(x +)w_j2,J2则原函数可化为4y =t2 +t +1 =(t+l)2 +3 ,因为 tWJ2,J2,所以 24当 t = -2ymax =3 ,.2 ,当 t = g 时，ymin=4，所以，函数的值域为yW3,3 + J2。43 .已知函数 f(x) =4sin2x+2sin2x2, xR。(D求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合;(2)证明：函数f(x)的图像关于直线x =-对称。8解：f (x) =4sin2 x 2sin 2x。2 = 2sin x-2(1 -2sin2 x)=2sin

11、 2x -2cos 2x =2、2sin(2x -)4 所以f (x)的最小正周期T =冗，因为xw R,所以，当2x - =2女冗+工，即x = k冗+鱼时，f(x)最大值为2匹； 428、一.一一、.一 一、“， 一. 一 一.八、.一 一 .，、TT._(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x =-对称，只要证明对任意x=R,有8f (- -x )= f (- +x 成立，88因为 f (工-x) =2五sin2( - -x) -=2j5sin( - - 2x) = 272cos2x , 8842f(T +x) =272sin2(+ x) ： =2V2sin(+ 2x) = 272

12、cos2x , 一， Tt 、 一， Tt 、所以f (x) = f(-+x)成立，从而函数一 7t.f(x)的图像关于直线 x =对称。8884. 已知函数y= cos2x+2, 3 .sinx - cosx+1 2(xC R),(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合;1. .3 , + (2sinx cosx) +1=-cos2x+ sin2x+41. gsin(2x+2)+所以y取最大值时，只需5 1 ,=(cos2x - sin +sin2xji2x+- =- +2k 兀,(kJ),即x=所以当函数y取最大值时，自变量 xJicosf+E64一+k 兀，6的集合为x|x= -+k

13、Tt ,k C Z(kC Z)。(2)该函数的图像可由y=sinx(x C R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解：(1) y= cos 2x+ -3- sinx cosx+1= (2cos 2x 1)+22")的图像;6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:(i )把函数y=sinx的图像向左平移”,得到函数y=sin(x+")的图像;6(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+2图像;(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)1 一：,得到函数 y= sin(2x+ 一)的.一 . . . 一

14、 .5 一(iv )把得到的图像向上平移5个单位长度，得到函数4y= sin(2x+2一. 5、)+ 5的图像。综上得到 y= cos2x+ -3- sinxcosx+1 的图像。历年高考综合题一，选择题1. （08 全国一 6） y = （sin xcosx）2 1 是A.最小正周期为2冗的偶函数B.最小正周期为2冗的奇函数C.最小正周期为 冗的偶函数D.最小正周期为 冗的奇函数2. （08全国一 9）为得到函数y=coslx+：的图象，只需将函数 y = sinx的图像（I 3JA.向左平移/个长度单位B.向右平移1个长度单位C.向左平移 5?个长度单位D.向右平移 5?个长度单位3.(0

15、8 全国二 1)若 sina<0 且 tan a > 0 是，则 o(是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4. （08全国二10）.函数f （x） = sin xcosx的最大值为A. 15. （08安徽卷8）函数y =sin（2x+2）图像的对称轴方程可能是（）3.冗冗兀HA. x = -B, x =C. x=- D, x= 6126126. （08福建卷7）函数y=cosx（x C R）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象,2则g（x）的解析式为A.-sin x B.sinx C.-cosD.cos7. (08 广东卷 5)已知函数 f (x

16、) = (1 + cos2x)sin 2 x,x w R ,则 f(x)是A、最小正周期为 冗的奇函数B 、最小正周期为-的奇函数2nC、最小正周期为 冗的偶函数D 、最小正周期为一的偶函数28. （ 08海南卷11）函数f （x） =cos2x+2sin x的最小值和最大值分别为（）A. -3, 1B. -2, 2 C. -3, 3D. -2,-229. （08湖北卷7）将函数y =sin（x-8）的图象F向右平移7r个单位长度彳#到图象 F',若3F'的一条对称轴是直线x=色，则日的一个可能取值是（）1A;B.5n12C.11兀12D.11n1210 . (08江西卷6)函

17、数sin x 曰f(x)=是xsin x 2sin 一 2A.以4n为周期的偶函数.以2n为周期的奇函数C.以2n为周期的偶函数.以4n为周期的奇函数11 .若动直线x = a与函数f(x) = sinx和g(x) = cosx的图像分别交于M, N两点，则MN的最大值为12.0 08山东卷10)已知cos fa = I 6)sin 工=7冗sin I的值是(A.2 3B. 5D.13.(08陕西卷1)sin 330中 等于A.14.(08四川卷4)2tan x cot x cos x 二A. tan xB . sin xcosxD. cot x15. (08天津卷6)把函数y =sin x(

18、x w R)的图象上所有的点向左平行移动工个单位长度,3再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是3T = sin 2x- I xw R3=sinC.= sin , 2x + ； I, x R R=sin2x + 316.一 5二(08天津卷9)设a = sin 7b = cos,c = tan ，则77A.a : b : cB. a : c :二 bC. b : c : aD. b : a :二 c17. (08浙江卷2)函数y = (sin x+cosx)2+1的最小正周期是()A. - B .二 C.18. (08浙江卷7)在同一平面直角坐标系中，函

19、数1 直线y = _的交点个数是2A.0B.1C.2D.4D. 2 二x 3二、，y = cos( +)(x 0,2n)的图象和( )19. (08北京卷9)若角0的终边经过点 P(1,-2),则tan 2a的值为JI,其中0 A 0 ,则8=520. (08江苏卷1) f (x )= cos ：cox-工1的最小正周期为. _ 2sin x 121. (08辽宁卷16)设xW 10,- I,则函数y-2Sin x 1的最小值为2sin 2x3.22. (08 浙江卷 12)若 sin( + 日)=,贝U cos2H =。2523. (08上海卷6)函数f(x) = >/3sin x +

20、sin( 2+x)的最大值是 三，解答题24. (08四川卷17)求函数y =74sin xcosx+4cos2 x 4cos4x的最大值与最小值。25. (08 北京卷 15)已知函数 f (x) = sin2 cox + J3sin xsin 8 x + I (切>0)的最小2正周期为%. (i)求切的值；(n)求函数f (x)在区间0,上的取值范围.一 326. (08 天津卷 17)已知函数 f(x) =2cos20x + 2sin 切xcosx+1 (xWR,coa0)的最小值正周期是.(I)求6的值； 2(n)求函数f (x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.J

21、I31TC27. (08安徽卷 17)已知函数 f(x)=cos(2x)+2sin(x)sin(x + )344(I)求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程n Ji(n)求函数f(x)在区间，上的值域 12 228.08陕西卷17)已知函数f (x) = 2sinx xcos44-2,3"嗯(I)求函数f (x)的最小正周期及最值;(n)令g(x) = f，+ - i,判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由. 31 .D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A2 1.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C19

22、. 420.10 21.3322.- 723 2325'24.解：y =74sin xcosx+4cos2x4cos4x2/2=7 -2sin 2x 4cos x 1 - cos x2.2=7 -2sin 2x 4cos xsin x2 .=7 -2sin 2x sin 2x2=1 - sin 2x)6由于函数z=(u -1 2+6在-1,1中的最大值为2Zmax = -1 -16 =10最小值为2Zmin = 1 _16=6故当sin2x = -1时y取得最大值10,当sin2x = 1时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破

23、】：利用倍角公式降哥，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25.解：(I) f(x)=1-cos2c°x + jZ3 sin 2« x = sin 2« x -1 cos 2® x + -22222(Q, 1= sin . 2x 一+ I6)2因为函数f (x)的最小正周期为 花，且0 A 0 ,2冗所以=冗，解得0=1.2 (n)由(I)得 f (x)=冗sin I2x 所以 一 2x-,1 /所以 一 < sin 2x - 2因此 0 0 sin 1 2x - l+ 03 一 3 ,即f (x)的取值范围为226.解:f x

24、 =21 cos2 x sin 2 x 1=sin 2 x cos2 x 222 sin2wx冗冗)cos cos2 xsin24= V2sin 2wx + 1+2< 4)由题设，函数f(x )的最小正周期是可得(n)由(i)知， f x = 2sin4x, n k当 4x + = +2kn ,即42二 k 二r ,x =一 十 kZ 时,162sin4x +1取得最大值1,所以函数4f(x )的最大值是2 + J2,此时x的集合为x | x = ,k Z162 *3TTEJI27.解：(1) , f (x)=cos(2x)+2sin( x )sin( x+)3441 c 3 .=-co

25、s2x sin 2x (sin x - cosx)(sin x cosx) 221-c -cos2x23.-.22sin 2x sin x - cos x21二- cos23 .2x sin2x-cos2x2= sin(2x -")6/ c、，,r 二二 rc"：r 二5二r(2)+ x -一，一, 2x - -,122636因为f(x)=sin(2x-)在区间三，工上单调递增，在区间£, 三上单调递减, 612 33 2所以 当x = 1时，f(x)取最大值1 31 f(-) =- <122二 152，冗:当 x = -时,12f (x)取最小值所以函数f

26、(x)在区间三,马上的值域为3,1 12 2228.解：(I) 7 f (x) =sin- + 73cos- =2sin + I.222 3二f(x)的最小正周期T=2P = 4几.12当sin? +=_1时，f (x)取得最小值2 ;当sin i'个+- i=1时，f(x)取得最大值2.2 32 3(n )由(i)知 f (x) = 2sin 1 +卜又 g (x) = f 1 x + l -2 3.3g(x) =2sin - lx - - _233= 2sin 1 - +12 2；=2 cos-2xx , 、二 g (-x) =2cos I - J = 2cos - = g(x).

27、二函数g(x)是偶函数.常用三角恒等变换技巧1 “角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已 知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。2e- 53 n 133兀7nqSin2x+2sinx 右击例 1 已知 cos x + = , < x < , 求的值。4 15441 - tan x【分析】考虑到“已知角”是 x + ",而“未知角”是x和2x ,注意到x =（x + i-, 414）4可直接运用相关公式求出 sin x和cosx。37二【间斛】因为一 n < x < - n 所以x <

28、x + < 2n , 4443 n)3-,3冗，n八 .4 n) 4又因为 cos x + i= - > 0,所以 < x + < 2n , sin x + i= 一一I 4 J 52414 J 5IY777n'n7/2sin x =sin |i x + i- i = sin x + icos cos x + isin= -I4) 4<4 J 4I4j 410“2, 一从而 cosx = ,tan x = 7 .10c c 2cc2sin xcosx 2 sin x 28原式二二-1 -tan x752.（2）本题【反思】（1）若先计算出cosx ,则在计

29、算sin x时，要注意符号的选取;10的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出sinx和cosx .但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2x =2 +x运用诱导公式和倍角公式求出sin 2x 。sin 2上. 卜1sin 21-1例2 已知tan(a+B)=九tan(a - P),其中九#1 ,求证:【分析】所给条件中出现的“已知角”是 口十日与口-0，涉及的“未知角”是 23与2P ,将三个角比较分析发现 2口 = （a + F） + （ct P ） , 2P = （a + F） （a P ）,把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，

30、然后用相关公式求解。sin 2： sin三一；iT：£Isin 2 - sin-I_ sin（ "：'）cos（i；'） , cos（二 "：'）sin（ / ,-'）sin（-： "）cos（；： ：）-cosG "）sin（；： 一 ：）tan(;x 7'；) tan(：£) tan(;<T ) tan(;<-l： )1tan("，F) -tanQ.t1) tan(;<I') -tan(".l：,)生 一1【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换

31、技巧以外，还用到了 “弦化切”技巧 .；(2)本 题也可由已知直接求出 tan 口与tan P的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有 效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：a =(a +P )-P , a =(a - P )+P ,2a +P =2(a +P )-P , 2ct -P = 2(a - P)+P ,-+a =-(-a) , 75° = 45°+30°等.2 “名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如

32、已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例 3 已知向量 a =(1 tan x,1) , b = (1+sin 2x+cos2x,0),求 f(x) = ab 的定义域和 值域；【分析】易知f (x) = (1 -tanx)(1 +sin 2x + cos2x),这是一个“切弦共存"且“单、倍 角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函 数式更简明。【简解】f(x) = (1-tan x)(1 sin 2x cos2x)sin x % ,小.，c 2(、=1 H

33、+2sin xcosx + 2cos x 1 )< cosx)= 2cosx - sinx cosx sin x=2 cos2x由 cosx。0得，x¥kn+J,kwZ, 2cos2x#2 2所以，f (x) =2cos2x.的定义域是：xx#kn+：,kw Z 3值域是(2,2】.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解例4 已知o(,P都是锐角，且tan .二sinCt cos,求 一sn的值。sin 工" cos 二 sin : - cos-【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化 切”，

34、另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近 .sin :.1【简解1】显然cos a 0 0时，tan P = cosctsin :)1cos 二tan: - tan 4, 冗1 tan： tan4=tan a <4 J所以,sin :sin :【简解2】由-cos：2sin a 一一 i14 J.22sin 二 一cos： /口得,sin，二 cos。：sin :cos -sin : - cos， sin s cos工sin ： - cos：sin.工 + cos：=A,则sin2 :cos2 : = A2 '-sin - -cos：2 + (sina + cosa

35、 2 1所以，2A2 =1 , A ，即2sin :sin cos 上.22因为a, P都是锐角，所以P =ct【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元3 “常数变换”技巧以利于完善式子在三角恒等变形过程中， 有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式,0 n结构，运用相关公式求解，如 1 =sin2 x+cos2 x , 1= tan45 , V3 = tan等.3例5 （1）求证:661 -sin x - cos x1 -sin4 x - cos x3一；(2)化间：sin2x +<3cos2x .

36、2【分析】第（1）小题运用1 = (sin2 x + cos2 xf 和 1 = (sin2x + cos2 x2把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的y = Asin侬x +呼）的形式,有利于系统研究函数的图象与性质2 2 3 6 6 _ _（1）左边=(sin x cos x) -sin x - cos x222_ 44(sin x cos x) -sin x-cos x_ 3sin2 xcos2 x(sin2 x cos2 x) _ 3一22一 二2sin xcos x2re(2)原式=sin 2x+tan ' cos2x

37、 3JIHTLsinsin2xcoscos2xsin 一= sin 2x +3cos2x= 33=2sin 2x + 33<3 Jcoscos33【反思】“ 1 ”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了 221 =sin x+cos x把整式化成分式后进行的，又如例 4中，也是利用了 1=tan45 ,把分 式变成了整式.4 “边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例 6 在 AABC 中，a、b、c分别为角 A B、C 的对边，且 2a sin A = (2 b+c) si

38、nB+(2c+b)sin C,(1)求角A的大小；(2)若sin B +sin C =1 ,证明AABC是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。a b c【简解】(1)(角化边)由正弦定理 =得，sin A sin Bsin C2a2 = (2b + c)b +(2c +b)c,整理得，a2 = b2 + c2 +bc ,所以222 b c -acos A =2bc12 二,因为0 < A <兀，所以A = 23(2)法一：(边化角)由已知和正弦定理得,2sin

39、2 A = (2sinB sinC)sin B (2sinC sinB)sinC即 2sin2 A = 2(sin B +sin C)2 -2sin BsinC ,从而 sin BsinC =11又 sin B +sin C = 1,所以 sin B = sin C = .2所以B = C , AABC是等腰三角形.法二：由(1)知 B+C=±, C=Z B,代入 sin B +sinC =1 得， 333_1_.sin B + cosB -sin B =1 ,所以 sin . + B 尸 1 ,+ B =22332所以B =二，CMBC是等腰三角形.66【反思】第(1)小题“化角为

40、边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第(2)小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件 sin B + sinC=1化为边的关系，而把条件2asin A = (2b+c)sin B+(2c + b)sin C转化为边的关系却很容易；法 二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程5 “升降哥变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升塞公式去根号，当所给条件出现正、 余弦的平方时，常用“降2一，一.一 ，.，、，., x x 19 x帚 技巧， 吊见的公式有：1 ±sinx = sin 士cos i , 1 +cosx = 2cos , 22121 -

41、cosx =2sin2 x ,可以看出，从左至右是“哥升角变半”，而从右至左则是“备降角变2倍”.例 7 化简：Ji +sin6 + Ji - sin 6【分析】含有根号，需“升哥”去根号 .【简解】原式=sin23 cos2 3 2sin3 cos3.sin23 cos2 3-2sin 3cos3=sin3 + cos3| + sin3 - cos33n因为<3，所以 sin3 + cos3 = V2sin 3 + i<0, sin3-cos3>0,4<4J所以，原式=-(sin 2 cos3) (sin 3 - cos3) - -2cos3 .例8求函数f(x)=2

42、sin2 1 +xl-6cos2x, x£，二1的最大值与最小值. ,4.4 2【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降哥”后“角变倍” ，与第二项的角一致【简解】< f(x)= |1 -cos1 +2x J -73cos2x =1 + sin2x-V3cos2x _2=1 +2sin 2x 一I 3；-I冗冗I x ，一Il4 2冗一c冗一2冗 rr JI冗')-< 2x-< 一，即 20 1+2sin . 2x -尸 3,633.3f(x)max =3, f(x)min=2.【反思】以上两例表明，“升降哥技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地

43、整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了 “辅助角”变换技巧.6 “公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如 sin ct = sn 2a , cosa = sn 2a ,2 cos-2 sin：tan® ± tan P = tanW ± P11不tan tan P痔，实际上，“常数变换”技巧与“升降哥”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧例 9 求值：(1) cos20 5cos40°cos60 os80 ° ； tan70°tan100 j3tan70Kan10n。【分析】第（1）小题中，

44、除60 口是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为 60°,而J3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。sin160 sin160 12sin80 16sin2016sin 40 sin 80”【间 斛】(1) 原式=cos602sin20 2sin40(2)原式=tan(70。-10/1+tan70口tan10)-J3tan70%an10" Gn .sin 2 .二 *【反思】第（1）小题的一般性结论是：cosucos20fcos2n%（=半一（nW N ）.tannxn otanx差角公式中出现了两2 sin ;例 10 求证：ta

45、n xtan 2x+tan2xtan3x +tan n-1)xkan nx =【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、角正切的积，可尝试.【简证】 因为 tan x = tan kx - (k - 1 x 】=-tankx-tank_1)x , k = 2,3,4，n 1 tan kxtan(k - 1)xtan kx - tan(k-1)x d所以 tan(k 1)xtankx='_1,tan xtan2xTanxtan3xTan2x tan4xTan3xtannx Tan(n 7)x左边=- - ,- ntan xtan nx ntanxtanxtan xta

46、n x【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的 一种常见技巧.7 "辅助角变换”技巧通常把asinx+bcosx = Ja2 + b2 sin（x +中）叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为y = Asin（cox +邛）的形式，来研究其图象与性质.尤其f是当 a = ±1, 士 J3, ± b3时，要熟记其变换式，如 sin x - cosx = . 2（sinx”4v.3sin x-cosx =2(sin x一 等 I 6 J1 sin x例11 求函数y =的值域.3 cosx【分析】

47、初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了asinx + bcosx,然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.【简解】由 y = 1 + sin x 得 3y 十 y cosx =1 +sin x ,所以 sin x ycosx = 3y 1 , 3 cosx从而 Ji + y2 sin(x +邛)=3y -1 ,其中辅助角中由sin中=_ , y , c0stp = f 1 决定.1 y2.1 y2所以，由 sin （x + 邛）=3y 1 < 1 解得 0 m y w 3 .11y24【反思】（1）解答本题的方法很多， 比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果.事实上，asin x +bcosx = a sin x十bcosx i,可设= tan邛， k a 1a再进行“切化弦”变换，就得到了 “化一公式”.8 “换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现sinx+cosx （或sin x cosx）与sin xcosx ,这时，可设22t -1 一 .1-t 、t =sin x +cosx (或 t =sin x cosx),贝U sinxcosx = (或 sin xcosx =),22把三角函数转化为熟悉的函数来求