专题2.10变化率与导数、导数的计算(解析版)

1、第二篇函数、导数及其应用专题2.10变化率与导数、导数的计算【考纲要求】1 . 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.12 .能根据导数的定义求函数 y = c(c为常数)，y=x, y=X，y=x2的导数.3 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数【命题趋势】1 .导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质.2 .导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范 围，以及与切线有关的计算、证明问题.【核心素养】本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养【素养清单？基础知识】1 .导

2、数的概念(1)函数y=f(x)在x= xo处的导数：函数y= f(x)在x= xo处的瞬时变化率 lim Ax=电f xO)或 yx=xo,即 f x0) = Jim x= x > 0x >0f(x0 +x) f (x°)?为函数y=f(x)在*= XO处的导数，记作 Lxlim f(xo x) - f (xo) x > 0x。函数y=f(x)的导数f' x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f'刈反映了 变化的快慢，|f'x)|越大，曲线在这点处的切线越陡”.(2)导数的几何意义：函数f(x)在x = x

3、o处的导数f xO)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(xo, yo)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为 y-yo=f/ x0)(x-xo).?曲线y=f(x)在点P(xO, yo)处的切线是指P为切点，斜率为k= f'xO)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f(x)的导函数：称函数f (xo：x) - f (xo)为f(x)的导函数.(4)f' x)是一个函数,f'xG)是函数f'x)在xo处的函数值(常数)，f xG)上o.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) = xn(nC Q*)fzx) =

4、n xn 1f(x)= sin xf' x)= cos xf(x) = cos xf' x)= sin xf(x) = ax(a>0,且 aw 1)f x) = axln af(x) = exf'x)=exf(x)= logax(a> 0,且 aw 1)1 f x)= xln af(x)= ln x1 f x) = x3.导数的运算法则f(x)力(x) = f'x)力'x)；(2)f(x) g(x) = f' x)g(x)+f(x)g'x)；(g(x)丰 0)f(x) I f' (x)g(x) f (x)g'(

5、x)2|g(x) 一g(x)4.复合函数的导数复合函数y= f(g(x)的导数和函数y=f(u), u= g(x)的导数间的关系为 v；= yu'ux，即y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积.【素养清单？常用结论】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.熟记以下结论:11=x2；(2)(ln| x|) = x；(f(x)丰 0)i - JKxL一一2-f(x) f(x)2(4) af(x) =bg(x) = af' x) =bg' x).【真题体验】1 .【2019年高考全国出卷理数】已知曲线了二+ 在点(1, ae

6、)处的切线方程为 y=2x+b,则()A.a = EjB= -1B. a= e, b=1C a = i = 1D .以二 丁、方二一1【答案】D【解析】切线的斜率上二二靛+1 = 2, , a = 将（1,1）代入了二21+占，得2 +b -1#=T . 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b的等式，从而求解，属于常考题型._ 一 . fx3-2ax-2af x<"*2 . 2019年高考天津理数】已知白£R ,设函数/ W =若关于X的不等式了之。彳一仪1口工X >1.在R上恒成立，则4的取值范围为（）A OflB.

7、 0,2c. 0,ed.设【答案】C【解析】当工二1时， = 1 - 2。+勿=10恒成立；当工<1时，/8 =1*-2口工+ 2（2 >O2a>恒成立，x-1令 ga）= J，x-1E _ (1*1)2(1)? 2(1-工)+1占-4二。,1- 1一1 1一1( 1=-1-X+-2 <- 2j(l-x)I1-1 ) V41A当1一工二，即工二。时取等号， 1-x2a2g(戏加眦=。，贝u4>。.x当工>1时，/（X）二I-aMxNO,即口值成立,In x令询二;-，则二空，In x（In xy当1E时，V。)>。，函数AQ)单调递增， 当时,? &l

8、t;。,函数”单调递减, 则二E时，g)取得最小值 砥)二e,综上可知，a的取值范围是0收.故选c.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题3.【2019年高考浙江】已知口,函数(幻二'工x <01 . 1 -r - -(<2+l)r0若函数 J .；"恰有3个零点，则()B. a< T, b>0C. a> T , b<0D. a> 1 b>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) ax b=x ax b = (1 a) x b= 0,得 x =,则

9、y=f (x) - ax- b最多有一个零点;当 x>0时，y=f (x) - ax- b = x3 ；(a+1)x+ax axb = x3 ；(a+1)x-b,y= 3 (« + l)x,当 a+1wo,即 aw- 1 时，y'再Oy=f(x) - ax - b 在0, +°°)上单调递增，则y=f (x) - ax- b最多有一个零点，不合题意；当a+1 >0,即a> - 1时，令y'>0得xC(a+1, +°°),此时函数单调递增，令y'v 0得x C 0, a+1),此时函数单调递减，则函

10、数最多有2个零点.根据题意，函数y= f(x)-ax-b恰有3个零点？函数y = f(x)- ax - b在(-°0,0)上有一个零点，在 0, +8)上有2个零点,如图:贝U a> -1, b<0.-b<0故选C.【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当 x<0 时，y= f (x) axb = x axb= ( 1 a) xb最多有一个零点；当 x>0时，y=f (x) - ax- b= -x3 一+(a+1) x2-b,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4 .【2019年高考全国I卷理数】曲线1

11、y = 3*+ h)e*在点(0,0)处的切线方程为 【答案】."-II【解析】一 -I：- I所以切线的斜率k二y二产3, 则曲线了 = 3(/+彼在点0)处的切线方程为了二方,即= 0.【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误.求导要 慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.45 .【2019年高考江苏】在平面直角坐标系 xQy中，p是曲线y = x+-G>0)上的一个动点，则点 p到直 线了+7 = 0的距离的最小值是 .【答案】444【解析】由y二工+ 一鼠>0),得y = l - F xx设斜率为_的直线与曲线

12、了二工+ 20>0)切于(砧,七十一 工餐4*+3阕1=4 .群+F上，点F也,3柩 到直线x+y二0的距离最小，最小值为由1一 f = -1得 /，曲线' - x故答案为4【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6 .【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e, -1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .【答案】LJ【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标设点出赤为,则Jo T口孙

13、当X 一时，yf =一, 而则曲线y二lux在点a处的切线为丁一先二一6-),即广将点(-e,T)代入，得一 1-M陶二一一1,即 %ln% = e，考察函数鼠当xe(0|时，灯(4<0,当e(1+oo)时，用工)>0,且的工|=1打工+1,当工1时，/）Q出村单调递增，注意到 H（针二 e ,故而1。/二已存在唯一的实数根 “二J此时 =1，故点工的坐标为（jli.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 同样，直

14、线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点7 .【2019年高考北京理数】设函数 外工二J十髓7 （a为常数）.若f （x）为奇函数，则 a=;若f （x）是R上的增函数，则 a的取值范围是 .【答案】-1（ -00, 0 |【解析】首先由奇函数的定义得到关于Q的恒等式，据此可得 Q的值，然后利用 了（X）20可得a的取值范围.若函数，=i+讹7为奇函数,则一工）二一卜），即已T +二仔+白尸），即1）6+尸）=o对任意的工恒成立，则。+1 二。，得 a二-1.若函数 /m+af是R上的增函数，则 /（为二屋一处T20在r上恒成立，即a4#关在r上恒成立，又例0,则a0，即实数a

15、的取值范围是（t/Q.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性？单调性？利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题 .注重重点知识？基础知识？基本运算能力的考查.【考法拓展？题型解码】考法一导数的运算解题技巧：导数的运算方法(1)连乘形式：先展开，化为多项式的形式，再求导.(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导.(4)根式形式：先化为分数指数哥的形式，再求导.(5)三角形式：先用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.【例1】(1)(20

16、18天津卷)已知函数f(x)=exin x, f'x)为f(x)的导函数，则f (1)值为.2(2)已知函数f(x)的导函数为f'x),且满足关系式f(x) = x+3xf (2) ln x,则f (分.(3)已知函数 f(x) = f G.Sin x+cos x,则 f6J=.9【答案】(1)e (2)-4 (3)-1【解析】(1)因为 f'x) = exin x+exx=exljn x+x),所以 f'(分 e(0+1)=e.2119(2)因为 f(x) = x2+3xf' (2)ln x,所以 f'x)= 2x+3f' 2) + x

17、,所以 f' (2) 4+3f' (2)2= 3f' (2)2,所以 f (2)-94.j国、作3 臼、1_(3)因为 f(x) = f'l6jSin x+ cos x,所以 f'x)=f'l6J cos x- sin x,所以 f'6尸 2 f 16/- 2,所以6)=-(2 + V3)，M 1 电所以 f(x) = (2 + y3)sin x+ cos x, 所以 fRj= - 2(2 + 3)+ 2 =- 1.In x (2)y=T【例2】求下列函数的导数.(1) y = (1 -而)+ 或 J；(3)y= tan x; (4)y=

18、 3xex 2x+ e.【答案】见解析ln x(2)y'= lx )=(ln x)'x - x' ln x21x x ln xx1 21 ln xx2(3)y =(sin x)' cosx -sin x(cos)x'2cos x_ cosxcosx -sin x(-sin)x _ 12=2= cos x.cos x(4)y'= (3xex) - (2x)午 e :(3x) 3x(ex) - (2x) = 3xln 3 ex+ 3xex- 2xin 2 = (In 3 + 1) (3e)x 2xln 2.考法二导数的几何意义解题技巧：导数几何意义的

19、应用类型及求解思路1y i f (xi)(1)若求过点P(xo, yo)的切线方程，可设切点为(xi, yi),由4求解即可.V。- yi = f' (xi)(xo - xi)(2)已知斜率k,求切点A(xi, f(x1)，即解方程f'x«)=k.(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.【例3】(1)(2018全国卷I)设函数f(x)=x3+(a1*+2乂.若«)为奇函数，则曲线 y=f(x)在点(。,。)处的切线方程为()A. y=-2xB . y= xC. y=2xD.

20、y=x【答案】D【解析】由f(x)为奇函数知a-1 = 0,即a=i,所以f(x) = x3+x,所以f'x)=3x2+1, f(0)1,则切线方程为y= x.故选D1(2)设曲线y=ex在点(。,1)处的切线与曲线y=x(x。)上点P处的切线垂直，则点 P的坐标为.【答案】(1,1)【解析】由y'= ex,知曲线y=ex在点(。,1)处的切线斜率ki=e°=1.1111设P(m, n),又y=x(x。)的导数y'= x2，曲线y=x(x。)在点P处的切线斜率k2= - m2.依题意kik2= - 1,所以m = 1,从而n=1,则点P的坐标为(1,1).(3

21、)(2019金陵中学月考)已知f(x)=ln x, g(x) = 2x7 m,设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(xo, yo),则有 xo+ m= 1, yo= xo 1, yo= 2x0+mxo+2，m。，解得 m=+mx+ 2(m0),直线l与函数f(x), g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1, f(1),则m=.【答案】21【解析】因为f'x)=x,所以直线l的斜率k=f' (1)1.又f(1)=0,所以切线l的方程为y=x1.又g'x)=x+2.【易错警示】易错点审题不认真致误【典例】 求曲线S: y = f(x) = 2x x3过点A(1,

22、1)的切线方程.【错解】：易知点 A(1,1)在f(x)=2x x3的图象上，又 f' (x)23x2,所以 f'23=1=k,所以过点A的切线方程为y-1 = - (x-1),即x+ y 2=0.【错因分析】：审题时忽视了曲线在点P处的切线”与曲线 过点P的切线”的不同.【正解】：设切点为(x0, f(x0) .因为f' (x) 23x2,所以切线方程为 y=f' (x0)(xx0)+f(x0),即y=(2 3x0)(x-x0) + 2xO-x3),将点 A 的坐标(1,1)代入得 1 = (23x0)(1x0) +2x0 x0,整理得 2x03x0+1=0,

23、 即 2x02x0x0+1= 0,1 所以(x01)2(2x0 + 1)=0,解得 x0 = 1 或2,75所以 y0=1, f ' (x0) 1 或 y0 = - 8，f ' (x0)4.51所以切线方程为y= x+ 2或y = 4x 4.归纳总结：若已知曲线过点P(xo, yo),求曲线过点P(xo, yo)的切线方程，则需分点P(xo, yo)是切点和不是切点两种情况求解.(1)点P(xo, yo)是切点时，切线方程为yyo=f' x0)(x-xo).(2)点P(xo, yo)不是切点时，可分为以下几步完成：第一步：设出切点坐标 P'x(, f(x1)；第

24、二步：写出过点P'x1, f(x1)的切线方程y-f(x1)=f，x()(x-x1);第三步：将点P的坐标(x°, yo)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)=f/x()(x-x1),由此即可得过点P(xo, yo)的切线方程.【跟踪训练】已知函数f(x) = x3 4x2+5x 4.(1)求曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2)求经过点A(2, 2)的曲线f(x)的切线方程.【答案】见解析【解析】(1)因为f'x)=3x28x+ 5,所以f (2)1,又f(2) = -2,所以曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为

25、y( 2) = x2,即 x y4=0.(2)设切点坐标为(xo, x0-4x2+5xo-4),因为 f'x0)= 3x28xo+5,所以切线方程为 y( 2)= (3x2改。+5) (x 2),又切线过点(, x04x2+5%4),所以 x34x2+5%2=(3x08x0+5)(2),整理得(%2)2(xo1)=0,解得xo = 2或xo= 1 ,所以经过点A(2, 2)的曲线f(x)的切线方程为 xy4=0或y+2 = 0.【递进题组】1.已知y= f(x)是可导函数.如图，直线y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x= 3 处的切线，令 g(x)=xf(x), g'x)

26、是g(x)的导函数，则g' (3)()A . 1B. 0C. 2D. 4【解析】由题意和图可得y= f(x)在x= 3处的切线的斜率等于3,所以 f' (3) 3.因为 g(x)=xf(x),所以 g'x)1= f(x)+xf' x),所以 g'(芬 f(3) + 3f' (3 )由题图知 f(3)=1,所以 g' (3)1 + 3& 3 尸 0.2.求下列函数的导数.(1)y= x4 3x2 5x+ 6 ;(2)y=x tan x；(3)y= (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3);x 1 (4)y=x+ 1.【答案】见解析【解析

27、】(1)y'= (x4) - (3x2) -(5x)午 6'=4x36x 5.(2)y =(xsin x)' cosx -xsin x(cos)x'2cos x，、.2(sin x xcosx)cos x xsin x2cos xsin xcos x+ xcos x(3)因为(x+1)(x+ 2)(x+ 3) = x3 + 6x2 + 11x+ 6,所以 y = (x3 + 6x2+ 11x+6) =3x2+ 12x+ 11.(4)y'=(x-1)'(x 1)-(x-1)(x 1) x 1-(xT)(x 1)2(x 1)22(x 1)2 .3.

28、(2019盐城伍佑中学调研)若函数f(x)=2x2ax+ln x存在垂直于y轴的切线，求实数 a的取值范围.【答案】见解析【解析】因为 f(x) = 2x2- ax+ln x,所以 f'x) = xa+1.因为函数f(x)存在垂直于y轴的切线，所以f'x) = x a+x= 0在区间(0, + 00止有解，即a= x+-在区间(0, xx1十 °°)上有解.因为当x>0时，x+x>z当且仅当x= 1时，等号成立，所以 a>2.故实数a的取值范围是2, +8).4.已知曲线 C: y= 3x42x39x2+4.(1)求曲线C在横坐标为1的点处

29、的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线 C是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由.【答案】见解析【解析】 因为 y'= 12x3-6x2-18x,所以 k=y x=12-6-18=- 12.又由 x=1,得 y= 3-2-9+4= - 4,所以切点的坐标为(1, -4).所求切线的方程为 y+4=12(x 1),即12x+ y8=0.12x+y-8= 0,由 i=3x4_2x3_9x2+4 得 3x4-2x3-9x2+12x-4=0，整理，得(x-1)2(x+ 2)(3x-2)=0,所以x=1或一2或3.所以切线与曲线 C还有其他公共点，由 x= 2,得22y = 3

30、2；由x= 3,得y=0.所以另外两个点的坐标为(2,32), 13, 0/【考卷送检】一、选择题1 ,若 f(x) = 2xf' (1)x2,则 f (0)()A. 2B. 0C. -2D. -4【答案】D【解析】f'x)=2f'(处 2x,令x=1,则 f'(号21(曲 2,得 f'(计一2,所以 f' (0)2f'(由0= 4.1 + cos x (%、'2 .设曲线y= sin x在点5，1.处的切线与直线x-ay+ 1 = 0平行，则实数a等于()1A. 1B. 2D. 2C. -2【答案】A1 cos x兀1【解析】因

31、为y = sin2x ,所以y'x2=- 1,由条件知z= 1,所以a=-i.23.（2019衡水调研）曲线v= 1-X2在点（1， 1）处的切线方程为（）B. y=2x-1D. y= 2x-2A. y=2x+ 1C. y=-2x-3【答案】A2【解析】 因为y=1-xZ2，所以y =22 , y x=|- 1(x 2)=2,所以曲线在点（一1, 1）处的切线斜率为2,所求切线方程为y+1 = 2(x+1),即y=2x+1.4.在等比数列an中，a = 2,a8=4, f(x) = x(xa1)(x a2) x-( a8), f'x)为函数 f(x)的导函数,则 f'

32、(0)()6A. 0B. 2C. 29D. 212【答案】D【解析】因为 f(x) =x(x a1)(x- a2)(x- a3) .x-(as),所以 f' x) = x'x( a1)(x a8) + x(xa), x-(as)二(xa)x-( as)+x(x a)xY as)所以 f' (0) (a)(一a2)-8)+0=aa2 氏 = (a1a8)4 = (2>4)4= (23)4 = 212.5.已知点P在曲线4y= ex+1 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 a的取值范围是（A.。4）兀3兀C. 日 7 1【答案】BB.D.4因为y = ex+ 1,

33、所以y'=-4ex(ex 1)2-4ex(ex)2 2ex - 1-41ex+ex+21首且仅当ex=1ex,即x=0时，等号成立、43jt/又1 <0,所以一 ktan必0.又因为0W“</所以Zw好几. ex+ex+2故选B.6.下面四个图象中，有一个是函数f（x） = 3x3+ax2+（a2-1）x+ 1（aC R）的导函数y=f'x）的图象，则f（-1）=A . 3B . 371 5c. 3d. 3或3【答案】D【解析】 因为f' xO=x2+2ax+a2-1,所以f'x)的图象开口向上，则排除.若f' x)的图象为，此时 a51=0

34、, f( 1)=3；若f x)的图象为，此时 a 1 = 0,又对称轴x= a>0 ,所以a = 1,所以f( 1) = 3.二、填空题7,曲线v= 5ex+3在点(0, 2)处的切线方程为 .【答案】5x+y+2=0【解析】 由y=5ex+ 3得y'= 5ex,所以切线的斜率 k= y'xo=5,所以切线方程为 y+ 2= - 5(x-0),即 5x+y+2=0.8 . (2018全国卷出)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则a=【答案】3【解析】y'= aex+(ax+1)ex= ex(ax+a+1),y'x=|0=e(a+1

35、)=a+ 1= 2,所以 a = 3.2 x19 .已知曲线y=7-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点坐标为 9 ，。【答案】13, 4-3ln 3)x 3 1丘上x3b 12 x=2, 丘口【解析】 因为y'= 2 x，所以12 x 2 解得x= 3.x>0,9故切点坐标为 0, 43ln 3 )三、解答题10 .已知函数 f(x)=x3+x 16.l的方程及切点坐标.(1)求曲线y=f(x)在点(2, 6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线【答案】见解析【解析】(1)可判定点(2, 6)在曲线y = f(x)上.因为f'x)=3x2+1,所以f(x)在点(2, 6)处的切线的斜率 为 k= f' (2) 13.所以切线的方程为 y+6=13(x-2),即 y=13x32.(2)设切点坐标为(xo,yo),则直线l的斜率为f'x6)=3x0+1,yo=x3+xo-16,所以直线l的方程为y=(3x0+1)(x- xo) + x3+xo16.又因为直线 l 过原点(0,0),所以 0= (3x2+1)( xo)+x0+ xo16,整理得 x0=8,所 以 xo = 2,所以 yo=( 2)3+( 2)16= 26,得切点坐标(一2, 26