初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳动点最值基本模型

1、动点最值基本模型原创：向北 向北数学 2018-05-14从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是2018中考第10或14题的热门。本文以瑶海蜀 山庐阳二模卷中最值问题为例对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。一、最值类型1 .饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题 ，利用对称性质将其中一条线段 进行车t换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。（本公众号有解题模型】 将军饮马”）2 .小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段 最短的性质得到结果。3 .穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与 圆

2、的位置关系得到结果。（本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文”）4 .转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或 30。的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。5 .三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三 边求其最大（小）值。6 .结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包?一模20题】【瑶海一模第10 题】、小垂+穿心【如庐阳二模第 10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第 10题】饮马+转换【如 蜀山二模第10题】等二、分类例析一、饮马型例1：如图,在正方形 ABCD中，点E在CD上,CE=

3、3, DE=1,点P在AC上，则PE+PD的最小值 是.解析:如图1例2:如图所示，正方形ABCD的面积为12QABE是等边三角形，点E在正方形 ABCD内,在对角线AC上有一点P使PD+PE的和最小，则这个最小值为解析:如下图、小垂型例3:如图，在RtAABC中，/C= 90 ,AC= 8,BC= 6,点P是AB上的任意一点，作PD,AC于 点D,PE! CB于点E,连接DE则DE的最小值为 .解析:如下图三、穿心型例4:如图，在边长为4的菱形 ABCD中,/ABC=120 ,M是AD边的中点，N是AB边上一动 点,将4AMN沿MN翻折得到 A MN,连接A C,则A C长度的最小值是 .解

4、析:如下图ANB四、转换型例5:如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若/ C=60 ,CD=4则的最 小值为解析：因为P至IJA、B两点的距离相等，所以P在AB的垂直平分线上，又因菱形ABCD中 /C为60 ,所以 ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点 D,如下图由/ ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点P作AD的垂线。如图,即B、P、F三点共线，且BF AD时最短初中数学资料归纳3五、三边型例6:如图，/ MON=90 ,矩形ABCD的顶点A、B分别在边 OM,ON上，当B在边ON上运 动时,A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变 淇中AB=2

5、,BC=1运动过程中，点D到 点O的最大距离为解析:如下图因为AB为定长，所以取其中点 E,则OE为定值在 ODE中,DE为定值，OE为 定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。例7:如图，已知 ABC中，/ACB=90 ,BC=4,AC=8点D在AC上，且AD=6,将线段 AD绕点A 旋转至AD ,F为BD的中点，连结CF则线段CF的取值范围.解析:解法一：瓜豆原理，点F的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。解法二：如下图，取AB的中点M,连接FM,CM,由斜边上的中线等于斜边的一半得CM为定值，由三角形中位线得 FM为定值，所以在 CFM中，三边关系可得到 CF的取值范围.例8:

6、如图，BA=1,BC=2以AC为一边做正方形 AEDC使E,B两点落在直线 AC的两侧，当/ ABC变化时，求BE的最大值.解析:将4AEB以点A中心顺时针旋转90 ,得到 ACB,如下图所示，连接BB,所以B C=BE在ABB C中,BB为定值，BC为定值，三角形三边关系即可得到 B C的最大值，即BE的 值.6.结合型例9:如图，正方形ABCD中,AB=4, E为CD边的中点，F、G为AB、AD边上的点，且AF=2GD, 连接E、DF相交于点P,当AP为最小值时,DG=解析：由 AF=2GD,AD=2DE得 AFDs DGE如下图GEDF,那么线段AP中,A点为定点，P为动点，由/ DPE

7、为直角，所以P的轨迹为一以 DE中点为圆心的一段弧。如下图由一箭穿心可得到AP的最小值为 AEM三点共线，而此时，由 DMPA FAP可得到AP=AF即可得到结果初中数学资料归纳7三、模考分析【庐阳二模第10题】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8)，点C在y轴正半轴上，点D 在x的正半轴上,且CD=6以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F则线段EF的 最大值为 如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8)，点C在y轴正半轴上，点D在x的正 半轴上，且CD=6以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F则线段EF的最大值为解析:线段EF由于半圆的变化而变

8、化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦心距 存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当PQ最小时，EF最大。方法一：穿心+小垂(P点为以O点圆心，OP为半径的弧上)求出OQ的最值，即PQ的最小 值，再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+小垂（三角形OPQ乐出OQ的最值【翻山二模第10窟】如图，在平面直角坐标系中，抛物线3=一/+2内二了二+工二且年工行不上三三二 白r=*由拗吃统句产至，二则。p+Lip的最小值为：2A 三型 b.3c.3D.2V3、皿侬42向北坡宇解析：由抛物线解析式可求出点 A、B的坐标分别为，所以/ OAP=30 ,如下图问题是OP + L/P,转换型最值， 2即过P点作PD_L0A于点D,【饮马+小垂】即。尸 +工乂尸=OP+PD = 8P + PQ 7【瑶海二模第10题】如图，矩形ABCD中,AB=2,AD=3点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2, 点G为EF的中点，点P为BC上一动点.则PA+PG的最小值为（）A.3B.4C.2Vz 5D.5解析：因为G为EF的中点，EF=2所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧，【饮马+ 穿心】即 A ,PG,D 四点共线时，PA+PG