体育单招所有数学公式

1、高考数学常用公式及结论1 元素与集合的关系：xw Au x更CuA, xwCuAu x更A.0? Au A#02 集合ai,a2,|lan的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n 2个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 f (x) =ax2+bx+c(a 00)；(2)顶点式f (x) =a(xh)2+k(a =0)；(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式)(3)零点式f (x) =a(xx1)(xx2)(a *0)；(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),( x2,。)时，设为此式)2 一一(4)切线式：f(x)=a(x x。

2、)十(kx+d), (a # 0)。(当已知抛物线与直线y = kx+ d相切且切点的横坐标为比时，设为此式)4充要条件：(1)、p= q ,则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；(2)、p=q,且qw>p,则P是q的充分不必要条件；(3) 、pw> q,且q=p,则P是q的必要不充分条件；(4)、pw> q，且q w> p,则P是q的既不充分又不必要条件。5函数单调性：增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。、数学符号表述是：设f (x)在xd上有定义，若对任意的 x1,x，D,且为工乙，都有f(x1)<"'2)成立，则就叫f (

3、x)在xD上是增函数。D则就是f (x)的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。(2)、数学符号表述是：设f (x)在xd上有定义，若对任意的x1,x2D,且X1 <义2都有f (x1) >f (x2)成立，则就叫f (x)在x三D上是减函数。D则就是f (x)的递减区间。单调性T质：(1)、增函数+增函数=增函数；(2)、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性:一亩数单调单调性内层函数外层函数复合函数等价关系:设x1

4、,x2 w a,b】,x1 #x2那么(xi-冷)f (xi) - f(X2) >0 u (x1)一(x2) >0 f(x)在 a,b】上是增函数;X - x2(x1x2) f (x1) - f (x2) Im0u f (x1) f (x2) <0 f(x)在 b,b】上是减函数xi - x2(2)设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)A0,则f(x)为增函数；如果 f'(x)<0,则f(x)为减函数.6函数的奇偶性：(注：是奇偶函数的前提圣住建:定义域必须与于原点对称)_.一奇函数：定义：在前提条件下，若有f (x) = f (x)或f

5、 (x) + f (x) = 0,则f (x)就是奇函数。性质：(1)、奇函数的图象关于原点对称；(2)、奇函数在 x>0和x<0上具有 相同的单调区间；(3)、定义在R上的奇函数，有 f (0) =0 .偶函数：定义：在前提条件下，若有f (x) = f (x),则f (x)就是偶函数。性质：(1)、偶函数的图象关于y轴对称；(2)、偶函数在 x>0和x<0上具有 相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函数 =奇函数；(2)、奇函数奇函数 =偶函数;(3)、偶奇函数偶函数=偶函数；(4)、奇函数士奇函数 增函数(也有例外得偶函数的)(5)、偶函数士偶函数=

6、偶函数；(6)、奇函数士偶函数 =非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.7函数的周期性：定义:对函数f(x),若存在T=0,使得f (x+T)=f (x),则就叫f(x)是周期函数，其中， T是f(x)的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1)、f (x+T) = - f (x),此时周期为 2T ;(2)、f (x+m) =f (x+n),此时周期为 2 m n ;，C、1，(3)、 f(x+m)=-，此时周期为 2m of(x)8常见函数的图像：

7、a 一 b9对于函数y = f(x)(xWR), f(x+a)= f(bx)怛成立，则函数f (x)的对称轴是x = f ;两个函数2b - ay = f (x+a)与y = f (bx)的图象关于直线 x=对称.210分数指数募与根式的性质：m(1) an =Vam (a>0,m, nN”,且 n>1).“、弓11.一) a=- =(a)0,m, n=N，且 n>1).m n m n 、a a(3) (n/a')n =a.n a, a - 0(4)当n为奇数时，Va =a；当n为偶数时， Ja =|a|=W.-a,a :二 011指数式与对数式的互化式 ：logaN

8、=bu ab = N (a >0, a=1,N >0).指数性质：-p1，、- 0mn . m、n(1) 1、a =- ；(2)、a =1(a¥0)； (3)、a =(a )pm(4)、ar as =ar 聿(a >0, r,s w Q) ；(5)、a n =nam ；指数函数：(1)、 y =ax(a >1)在定义域内是单调递增函数；(2) 、 y =ax(0 <a <1)在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点(0, 1)对数性质：(1)、 loga M +loga N =loga(MN ) ； (2)、logaM logaN =lo

9、gaM ；N(3)、 log a bm =m log a b ； (4)、 log am bn = log a b ；(5)、 log a 1 = 0m(6)、logaa=1；(7)、 alo*=b对数函数：(1)、y =loga x(a >1)在定义域内是单调递增函数；(2)、y =loga x(0 <a <1)在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点，.1,0).、l o g x > Qaxw (0g 1a x-,+8 ,(4)、logax<0u a w (0,1)则 x w (1,+=c)或 aw (1,)则 xw (0,1)12 对数的换底公式：

10、loga N = log m N ( a >0,且 a#1,mA0,且 mn, N >0). log ma对数恒等式：alogaN = N ( a >0,且 a=1, N >0).推ilog bn = logab( a >0,且a=1, N >0). a m13对数的四则运算法则 ：若a>0, a*1, M>0, N>0,则(1) loga(MN)=logaM logaN ; (2) loga M = loga M - loga N ; N(3) loga M n =nloga M (n w R) ; (4) logam Nn = loga

11、 N(n,me R) o m14平均增长率的问题（负增长时p <0）:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为 p,则对于时间X的总产值y,有y=N(1+p)x.15等差数列：通项公式： (1) an =a1+(n1)d ，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项(2)推广：an=ak+(nk)d(3) an =Sn Sn(n之2)(注：该公式对任意数列都适用)前n项和：(1) Sn =n(ai +an)；其中a1为首项，n为项数，an为末项。2n(n -1) (2) Sn =na1 +-d2(3)Sn = Sn+ an(n之2)(注：该公式对任意数列都适用)(4) Sn+a2 +H

12、I +an(注：该公式对任意数列都适用)常用性质： (1)、若 m+n=p+q ,则有 am+an =ap+aq ；注：若am是an, ap的等差中项，则有 2am=an+apU n、m、p成等差。(2)、若 Qn、为等差数列，则 G 土加为等差数列。(3)、a为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3m S2m也成等差数列(4)、ap =q，aq =P，则 ap4q =0 ；(5) 1+2+3+n= n(n +1)2等比数列：通项公式：(1) an =a1qn"=亘qn(n w N )，其中a1为首项，n为项数，q为公比。 q(2)推广：an =ak -qn”（3）an

13、=Sn-Sni（n>2）（注：该公式对任意数列都适用）前n项和：（1） Sn =SnJL+an（n >2）（注：该公式对任意数列都适用）（2）Sn =ai +a2 +| +an （注：该公式对任意数列都适用）n&（q=1） Sn= ai（1-qn）（q=i）1 _q常用性质：（1）、若 m+n=p+q ,则有 am an =ap ,生；2汪：右am是an, ap的等比中项，则有am =& n、m、p成等比。（2）、若 匕、bn为等比数列，则an bn为等比数列。16分期付款（按揭贷款）：每次还款x = ab（1 nb）元（贷款a元，n次还清，每期利率为b）.（1 b

14、） -117三角不等式：,m n、.（1）右 x = （0, ），则 sinx <x <tanx .2（2）若 xw （0,土），则 1 <sinx + cosx <V2. 2（3） | sin x | | cosx| -1.18同角三角函数的基本关系式：sin2日+cos2 9=1, tan = sin",cos119正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）20和角与差角公式sin（ '工二 P） = sin = cos 匚'二 cos，sin : ; cos（-:） = cos，cos : + sin 工 sin :;tan（&quo

15、t;二 I'1）tan :二 tan :1 + tan tan :asin 工； bcos： =、a2 b2 sin（j, : '）（辅助角邛所在象限由点（a,b）的象限决定，tan邛=-）.a21二倍角公式及降募公式sin2： =sin : cos：=2. 222cos2 ： =cos :-sin =二2cos 二 -1=1-2sin ;21 - tan ;" ；21 tan :tan 2 ：=2tan :221 - tan ;sin 2：1cos2：tan 二：1 cos2-： sin 2上22三角函数的周期公式2 二函数y =sin（cox +中），x6 R及函

16、数y =cos（®x +中），x R（A, 3 ,中为常数，且 A* 0）的周期T = I' I，函数y =tan（cox +邛）,x 十二，k w Z （A, 3 ,邛为常数，且 A* 0）的周期T =.2I 三角函数的图像：a b c23正弦定理？： = = =2R (R为 MBC外接圆的半径)sin A sin B sin C24余弦定理:a2 = b2 c2 -2bccosA; b2 = c2 a2 -2cacosB ; c2 = a2 b2 -2abcosC .25面积定理：1 .1 . .1 .(1) S = aha = bhb =chc ( ha、hb、 222

17、儿分别表示a、b、c边上的高）(2) S = absin C =-bcsin A = casin B . 222(3) sab :；J(iOai iObi)2 (OA OB)2.26三角形内角和定理：在 ABC中，有 A+B+C=nu C=n(A + B)C 二 A B二一二一=2C =2 二-2（A B）.22227实数与向量的积的运算律：设人、心为实数，那么：（1）结合律：入（心a尸（入祖）a;,、一八,、（2）第一分配律：（入+心）a = x a+ii a;八 （3）第二分配律：入（a + b尸入a +人b .彳 . . 28 a与b的数量积（或内积）：a b =| a| b | cos

18、Q29平面向量的坐标运算:设 a = (xi,yi), b =(x2,y2),则 a + b =(x +x2,y +y21设 a = (xi, yi), b =(x2, y2)，则 a- b =(xi -X2, yi y).设 A(xi,yi), B(X2,y2),则 AB = OBOA = (X2 x,y2 yi).设 a = (x, y),九 w R,则九 a 二(九x,九 y).设 a = (x1，yi), b =(x2, y?),则 a b =(x1x2 + yy?).30两向量的夹角公式:平面两点间的距离公式:二 yJ(a = (xi,yi),b=(x2,y2).xi yi 、X2

19、y231dA,B = |= 7(x2 -xi)2 +(Y2 - Yi)2 (A(xi,yi), B(x2,y2).32向量的平行与垂直：设a = (x1，y)，b = (x2, y2),且b * 0 ,则:a | bu b = x a u x1y2-x2yi=0.(交叉相乘差为零)a_Lb(a*0)u a b =ou xix2 + y1y2 =0.(对应相乘和为零)33线段的定比分公式设 Wx,%), P2(x2,y2), P(x,y)是线段的分点，入是实数，且 RP=?uPH，xi”x u则 1 .，=yiy2y _ -i ,OP_OP 5Or 一iu OP=tOPi+(it)OP2(t=)

20、.1 34三角形的重心坐标公式: abc三个顶点的坐标分别为A(xi,y i)> B(x2,y2)、C(x3,y 3),则 abc的重心的坐标是G(x1 ”2x3 Yiy2y3).35三角形五“心”向量形式的充要条件:设。为MBC所在平面上一点，角A, B, C所对边长分别为 a,b,c ,则(i)2O为MBC的外心仁OA(2)O为MBC的重心。=OB =OC .T -OB OC =0.T r t t T(3)O 为 MBC 的垂心 U OA OB = OB OC = OC OA(4)。为 AABC 的内心仁 aOA+bOB+cOC =0.T T T(5)。为 AABC 的/A 的旁心

21、u aOA = bOB+cOC.36常用不等式:2 2(1) a,bwR=a +b 2 2ab (当且仅当 a=b 时取"=号).a - b (2) a,b r R+= -至Tab(当且仅当a = b时取"=号).23. 33(3) a +b +c >3abc(a >0,b >0,c >0).(4)a-b<a+b<|a +|b .2 r2(5) -2ab- < JOb <a_b < a_b_ (当且仅当 a=b 时取一号)a b2-237极值定理：已知x,y都是正数，则有(1)若积xy是定值p ,则当x = y时和x +

22、 y有最小值2 Jp ；1 2(2)右和x十y是te值s ,则当x = y时积xy有最大值一 s2.4(3)已知 a,b,x, y R +,若 ax +by =1 则有1111byax2-十 =(ax +by)(- + )=a+b+ + a+b +2Vab = (Ta +而)。xyxyxya b(4)已知 a,b,x, y w R +,若？ + =1 则有x y22238 一兀一次不等式 ax +bx+c >0(或< 0) (a = 0, = b 4ac a 0),如果a与ax +bx + c同号，则其解2集在两根n外；如果 a与ax+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号

23、两根之外，异号两根之间x1<x<x2u (x为)(xx2) <0(x1 <x2)；x < x1，或x A x2 u (x -x1)(x -x2) > 0(x) < x2).39含有绝对值的不等式：当a> 0时，有.,2.2,x<aux <a 。一a<x<a.223x >au x >a u x >a 或 x < -a .40斜率公式：k = y2 -y1(不，火)、P2J2, y?). V - V41直线的五种方程：(1)点斜式 y_y1=k(xx1)(直线l过点P|(x1, y1),且斜率为k).(

24、2)斜截式 y =kx +b (b为直线l在y轴上的截距).y - y x - x ,(3)两八、式=(yi¥y2 )(P1(xi, yi)、P2( x2 , y2 )(xi¥ x2, yi# y2.y2 - yix2 - xi两点式的推广：(x2x1)(yy1)一(丫2y1)(xx1)=0 (无任何限制条件！)x y(4)截距式 +2=i(a、b分别为直线的横、纵截距，a#R b#0)a b(5) 一般式 Ax+By +C =0 (其中A、B不同时为0).直线Ax+By +C =0的法向量：1 = (A,B),方向向量：1=(B,A)42夹角公式：k2 -ki ,(I)

25、tan« =1|. (li : y = k1x+bi, l2：y=kzx+b2, kR#1)1 k2klA1B2 -A2B1一 八 八(2)tan |-|.(li：Ax Ry C =0儿：A2x B?y C2 =0, A1A2 B1B2 = 0).AA2 BiB22 i 2直线li _Ll2时，直线li与12的夹角是 一.243 l1到l2的角公式：k2 - ki(1) tana =.( li : y =kix+n , I2: y =kzx + b2, k1k2 丰-1)1 k2ki1 2AB2 - A2B1(2) tan =二.(li:AixBiyC=0 J :A2xB?y C2

26、=0, A1A2B1B2=0).A1A2 B1B21 21 2直线l1 _Ll2时，直线li到12的角是-.244点到直线的距离：45圆的四种方程：(1)圆的标准方程(2)圆的一般方程(3)圆的参数方程d = | Ax0 + By0 +C | (点 p(x0,y0)，直线 l : Ax + By+C=0 ).-A2B2(x -a)2 (y -b)2 : r2.x2 + y2 +Dx +Ey + F = 0 ( D2 + E2 -4F >0).Lx = a r cos.y = b r sin -(4)圆的直径式方程(xx1)(xx2)十(y y)(yy2) =0(圆的直径的端点是 A(x,

27、y1)、B(x2，故).46点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(xa)2 +(yb)2 =r2的位置关系有三种：若 d=J(a%) +(b yo)，则dru 点 P 在圆外；d =u点P在圆上；22247直线与圆的位置关系：直线Ax + By+C =0与圆(xa) +(y-b) =的位置关系有三种(dAa Bb C)： <0；d=u 相切 u A= 0；d<ru 相交 u A > 0.48两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 Q, Q,半径分别为1,2,O1O2 =d，则:d A+2 u 外离4条公切线；d =1 +2 u 外切 u3条公切线；1 一2 < d

28、 <1 +2 u相交u 2条公切线；内含相交相离d =1 一2 u1条公切线；441«O d吐1d1+12d d0 < d < r1 - r2u内含u无公切线.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:ab2p -。cx2 y2x = acos49椭圆 )十 '=1(a >b >0)的参数方程是 ia by =bs"a2准线到中心的距离为a-,焦点到对应准线的距离 (焦准距)502PF1 =e(x+2)=a+ex, PF2c2a、 c _=e(-x) = a -ex ； c2F1PFS.F1PF2 =c| yP 尸b tan 251椭圆的

29、的内外部：(1)点P(x0, y°)在椭圆22x y一=十彳 =1(a >b >0)的内部ua2 b222江丛1a2b2(2)点P(x0,y°)在椭圆2 匕2 ab2= 1(a > b > 0)的外部 u22x y椭圆 + 2r=1(a >b >0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 a b52椭圆的切线方程(2)(3)x y椭圆+2=1(a >b>0)上一点P(Xq, yo)处的切线方程是 a bXoX过椭圆 与十当=1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是=十岑=1.a ba b椭圆X y2 22.丁+，

30、=1(a Ab A0)与直线Ax + By+C =0相切的条件是 A a +Bb 一 bX53双曲线三ab2c= 1(a >0,b >0)的离心率 e = - a2a1 +与，准线到中心的距离为焦点到对应准线的b 距离(焦准距)p = b-过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为:a焦半径公式 PF1 =|e(x + )|=|a+ex|, cPF2 Te(a- -x) |=|aex|,两焦半径与焦距构成三角形的面积S fff22 F1PF=b cot54双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 )若双曲线方程为b2=1 =渐近线方程:b2y Jx.a(2)若渐近线方程为x y一土一 =0

31、=双曲线可设为 a b2X2a2 y b2(3)若双曲线与2,2ab=1有公共渐近线，可设为2,2a b2(h>0,焦点在x轴上，九<0,焦点在y轴上).(4)焦点到渐近线的距离总是b55双曲线的切线方程：X(1)双曲线xab2= 1(a A0,b >0)上一点P(Xo,y0)处的切线方程是XoXy°y=1.(2) 过双曲线2y%=1外一点P(Xo, yo)所引两条切线的切点弦方程是 bXqXy°yb2X(3)双曲线2 ab2=1与直线Ax+ By+C =0相切的条件是 A2a2 - B2b256抛物线y2=2pX的焦半径公式：卫2 一抛物线y =2px(

32、p>0)焦半径 CF =x0过焦点弦长 CD = x1 + + x2 + R = x1 + x2 + p . 2257二次函数y = ax2,/ b、2bx c =a(x -) 2a4ac-b2+(a 0)0)的图象是抛物线:4a(1)顶点坐标为(一且,4ac-b)；2a 4a2(3)准线方程是 y = 4acb -1 .4a(2)焦点的坐标为(2.b 4ac-b 1,2a4a .9958直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =q(x1 -x2)2 +(y1 y2)2或 AB = J(1+k2)(x2+x1)24x2 x1 =| x1 - x21 Ji + tan2 a =| y1 - y2

33、1 Ji + co t2 ay ，_ ,、y = kx +b 2. -(弦骑点A(x1, y1), B(x2, y2),由方程1消去y得到ax +bx+c=0F(x,y) = 0 >0, ct为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，|x1 4 |= J(x1 +x2)2 4x1x2 .59证明直线与平面的平行的思考途径：(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.60证明直线与平面垂直的思考途径：(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。61

34、证明平面与平面的垂直的思考途径：(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直；(3)转化为两平面的法向量平行。62向量的直角坐标运算： 、：1 设 a = (a1，a2,a3), b = (b,b2,b3)则:一. l , J 44、(1) a + b = (a1 +bi,a2 +b2, a3 +b3)；(2) a - b = (a1 -b1, a2 -b2, a3 -);入 a =(九a1, ?-a2，九a3)(人 £R);(4) a b = a1b +a2b2 +a3b3；63夹角公式：、门 Ta* Ta1bl a2b2 a3b3及 a = (a1，a2,a3), b

35、=(匕笛2,4),则 cos <W,b >= , 222 .22=. aa2 a3 b2 464异面直线间的距离：|CD n |d=j-4li/2是两异面直线，其公垂向量为n, C、D是li2上任一点，d为112间的距离）.|n|65点B到平面u的距离：d 二 | AB n | （n为平面a的法向量，AWa, AB是a的一条斜线段）.|n|43266球的半径是 R,则其体积 V=nR3,其表面积S=4nR2.367球的组合体：（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长（2） 球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体

36、的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长6（3） 球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为一6 a”的3).a的-12（正四面体高乂6a的1）,外接球的半径为变a（正四面体高34468分类计数原理（加法原理）： N = m1 + m2 +1II + mn.分步计数原理（乘法原理）：N=m|Mm2MiHMmn. m.n!* 一一(n 一 m)!69 排列数公式 ：An = n（n -1）（n -m +1） =.（ n , mcN,且 mWn）.规 m 0! = 1.m! (n - m)!70 组合数公式：Cm = A=n(n1) (n-m + 1)=n(ncN*, mN,且 mMn).组合数的两个性质:(1) Cnm = C；H ;(2)Cm + Cm'= Cm书.规定C0=1.71 二项式定理(a +b)n =C0an +Cnanb +C：an,b2 + +Cnan_rbr + +Cnbn二项展开式的通项公式=Cnan_rbr (r =0,1,2“，n).f (x