初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳四点共圆模型

1、共圆模型初中数学资料归纳11模型1共端点，等线段模型如图，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆.如图，若OA=OB = OC,则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上如图，常见结论有：/ ACB= 1 / AOB,/BAC= 1 ZBOC.22模型分析 .OA=OB = OC. A、B、C三点到点。的距离相等. A、B、C三点在以 O为圆心，OA为半径的圆上./ ACB是AB的圆周角,/ AOB是AB的圆心角, ./ ACB= 1 Z AOB.2同理可证/ BAC=1/BOC.2(1)若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆.(2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题模

2、型实例如图,4ABC和4ACD都是等腰三角形，AB = AC,AC= AD,连接BD.求证：/ 1+Z 2=90° .证明图图证法一：如图,AB=AC=AD. B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的。A 上.，/ABC=/2.在ABAC 中，. / BAC+/ABC+/ 2=180° ,2/1 + 2/2= 180° . . / 1 + / 2 = 90°证法二：如图， AB= AC= AD.1. / BAC = 2Z1. /AB = AC,B、C、D在以A为圆心,AB为半径的。O上.延长BA与圆A相交于E,连接CE.E = / 1.（同弧所对的圆

3、周角相等.）,. AE= AC,.Z E=Z ACE. BE 为。A 的直径，BCE=90° .Z 2+Z ACE = 90° ./1 + /2=90° .小猿热搜AP,点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、1.如图,AABC为等腰三角形，AB= AC,在 ABC的外侧作直线CD,CD与AP交于点E.求证：/1 = /2.证明 A、D关于AP轴对称，AP是BD的垂直平分线 . AD = AB,ED = EB.又 AB= AC.C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上 ED= EB,.1. / EDB = Z EBD. /2 = 2/ EDB.又/ 1 = 2/ C

4、DB. . . / 1 = / 2.2.己知四边形 ABCD,AB/CD,且AB=AC = AD = a,BC=b,且2a>b,求 BD 的长.解答以A为圆心，以a为半径作圆, AB / CD, / CAB=Z DCA： ./ DCA = Z CDA. . DAEAD =ACD,一C，-BA B 一 一延长BA交。A于E点，连接ED.，/DAE = /CDA. AC=AD,=/ CAB.在 CAB 和 DAE 中.4/DAE =ZCABAE = ABCABADAE. .1.ED= BC= b BE 是直径，./ EDB = 90° .在 RtAEDB 中,ED = b,BE=2

5、a,BD= JbE2 -ED2 = J(2a j -b2 =模型2 直角三角形共斜边模型An图一 D模型分析如图、，Rt AABC 和 RtAABD 得：OC=OD=OA=OB,2244a -b .Ii11口上/%产、 ,C /共斜边，取AB中点O,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,可A、B、C、D四点共圆.(1)共斜边的两个直角三角形 ，同侧或异侧，都会得到四点共圆；(2 )四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一.模型实例例1 如图，AD、BE、CF为 ABC的三条高，H为垂线，问：(1)图中有多少组四点共圆？(2 )求证：/ ADF

6、 = / ADE.解答(1 ) 6 组C、D、H、E四点共圆，圆心在 CH的中点处；D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处； C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处.(2 )如图，由B、D、H、F四点共圆，得/ ADF=Z 1. 同理：由A、B、D、E四点共圆，得/ ADE=Z 1 ./ ADF = / ADE.例2 如图，E是正方形 ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交/ ABC的外 角平分线于点F,求证：FE=DE.D解答如图,连接DB、DF

7、.四边形ABCD是正方形，且BF是/ CBA的外角平分线CBF=45°, ZDBC=45°, ./ DBF =90°.又. / DEF=90°, D、E、B、F四点共圆. ./ DFE = /DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）. . DEF是等腰直角三角形.FE=DE.1 .如图，锐角 ABC中,BC.C弱高线,DG± CE于G,EF! BD于F求证：FG BC证明：由于RtBCE与RtA BCD共斜边BC, B、C D、E四点共圆./ DBC=Z DEG,同理，Rt/EDF与RtDGE共斜边 DE, D、E、F G四点共圆.于是

8、 / DEG=Z DFG, 因止匕，/ DBC=Z DFG.于是FG/ BC2 .如图,BE.CF为 ABC的高，且交于点 H,连接AH并延长交于 BC于点D,求证:AD±BC.AD2.证防连接比由于Rt A AFH和RWEH共斜边Aff, 曲本F、H、E四点共圆,拒/k乙上 i于 RlASCF 和 RtAJfC 共斜边 SCt 曲艮C, J广四点共册I,得£1=£3.又, £升£日历卿匕心十工出切=虹乙 AD 1 BC.3.如图，等边 PQR内接于正方形 ABCD其中点PQ,R分别在边AD,AB,DC上,M是QR的中点.求证:不论等边 PQR

9、怎样运动，点M为不动点.3.解答连接尸AM. DM.是酬2的中点,尸是等逆三焦喈." LPUQ = 90ft.又-ZJ540 =对，A Rt州。和RtARW。共斜边中。*. A. Q, M、户四点扶圆;= 产=6（F.（同孤所对的圆周角相等）同理，LMDP=£M"二叱人叫/）是等也三箱形一二点M为不动点.4.如图，已知 ABC中,AH是高,AT是角平分线，且TD，AB,TaAC求证：/AHD=/ AHE.证明：(1) vZ ADTW AHTW AET=90D ,E,H在以AT为直径的圆上, ./AHD=ATD, /AHE= ATE,又AT是角平分线,TD± AB, TEX AC, ./ATDN ATE, ./AHD=AHE.补充:如图.已知 ABC中，AH是高.AT是角平分爱，且TD_LAB, TE±AC.求证：ZAHD=ZAHE； (2)BH CHBD CE证明：（1） ： j ADT= ZAHT= - AET=900, E? H在以AT为直径的圆上,上NAHD=NATO, NAHE=NATE, 又;AT是角平分线：TD