数值分析上机答案computer中科院

1、源程序如下：function x_jac,x_gauss,x_sor,A,b=diedai(n,w,e,N,Ain,bin)if nargin<3 e=1e-5;N=1000;endif nargin<4 N=1000;endif nargin<2 error('²ÎÊý²»¹»');endA=hilb(n);b=A*ones(n,1);if nargin>4 if nargin=5 error('ÇëÊäÈë

2、;b'); else A=Ain; b=bin; endend %Ñſ˱ȵü´údiedai_n=0;x=zeros(n,2);while max(abs(b-A*x(:,2)>e diedai_n=diedai_n+1; if diedai_n>N disp('Ñſ˱ȵü´úδ´ïµ½¾

3、;«¶È'); break; end x(:,1)=x(:,2); for i=1:n if i>1 x(i,2)=(b(i)-A(i,1:(i-1)*x(1:(i-1),1)-A(i,(i+1):n)*x(i+1):n,1)/A(i,i); else x(i,2)=(b(i)-A(i,(i+1):n)*x(i+1):n,1)/A(i,i); end end end x_jac.x=x(:,2);x_jac.n=diedai_n-1;x_jac.error=max(abs(b-A*x(:,2); %¸ß˹&#

4、181;ü´údiedai_n=0;x=zeros(n,2);while max(abs(b-A*x(:,2)>e x(:,1)=x(:,2); diedai_n=diedai_n+1; if diedai_n>N disp('¸ß˹¡ªÈüµÂ¶ûµü´úδ´ïµ½¾«¶È'

5、); break; end for i=1:n if i>1 x(i,2)=(b(i)-A(i,1:(i-1)*x(1:(i-1),2)-A(i,(i+1):n)*x(i+1):n,1)/A(i,i); else x(i,2)=(b(i)-A(i,(i+1):n)*x(i+1):n,1)/A(i,i); end end end x_gauss.x=x(:,2);x_gauss.n=diedai_n-1;x_gauss.error=max(abs(b-A*x(:,2); %SORµü´údiedai_n=0;x=zeros(n,2);while ma

6、x(abs(b-A*x(:,2)>e x(:,1)=x(:,2); diedai_n=diedai_n+1; if diedai_n>N disp('SORµü´úδ´ïµ½¾«¶È'); break; end for i=1:n if i>1 x(i,2)=x(i,1)+w*(b(i)-A(i,1:(i-1)*x(1:(i-1),2)-A(i,i:n)*x(i:n,1)/A(i,i); else x(i,2)=x(i,

7、1)+w*(b(i)-A(i,i:n)*x(i:n,1)/A(i,i); end endend x_sor.x=x(:,2);x_sor.n=diedai_n-1;x_sor.error=max(abs(b-A*x(:,2);end运行结果：由于SOR的松弛因子取1时与高斯-赛德尔迭代相同，故在矩阵n取8,10时省去了SOR迭代松弛因子取1的步骤。结果未显示x的具体值，只将误差显示出来，以备比较，在最后整理成表格显示结果。（1）取n=6，SOR的松弛因子为1，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下：雅克比迭代未达到精度X = x: 6x1 double n: 5

8、00 error: InfY = x: 6x1 double n: 255 error: 9.9717e-05Z = x: 6x1 double n: 255 error: 9.9717e-05A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1

9、111 0.1000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909b = 2.4500 1.5929 1.2179 0.9956 0.84560.7365可以看出yacobi迭代发散，当SOR的松弛因子为1时，SOR和高斯-赛德尔一样。（2）取n=6，SOR的松弛因子为1.25，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下：雅克比迭代未达到精度X = x: 6x1 double n: 500 error: InfY = x: 6x1 double n: 255 error: 9.9717e-05Z = x: 6x1 double

10、n: 264error: 9.9593e-05可以看出，雅克比迭代仍然发散，而高斯-赛德尔迭代略优于SOR迭代。（3）取n=6，SOR的松弛因子为1.5，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下：雅克比迭代未达到精度X = x: 6x1 double n: 500 error: InfY = x: 6x1 double n: 255 error: 9.9717e-05Z = x: 6x1 double n: 257error: 9.9836e-05可以看出，雅克比迭代仍然发散，而高斯-赛德尔迭代略优于SOR迭代，由于松弛因子的变化，SOR迭代在收敛速度上略有提升。

11、（4）取n=8，SOR的松弛因子为1.25，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下：雅克比迭代未达到精度X = x: 8x1 double n: 500 error: InfY = x: 8x1 double n: 245 error: 9.8871e-05Z = x: 8x1 double n: 227 error: 9.9014e-05A = Columns 1 through 6 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.333

12、3 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 Columns 7 through 8 0.1429 0.1250 0.1250 0.1111 0.111

13、1 0.1000 0.1000 0.0909 0.0909 0.0833 0.0833 0.0769 0.0769 0.0714 0.0714 0.0667b = 2.7179 1.8290 1.4290 1.1865 1.0199 0.8968 0.8016 0.7254可以看出当矩阵变大时，同样的精度要求和松弛因子下，SOR迭代优于高斯-赛德尔迭代。（5）取n=8，SOR的松弛因子为1. 5，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下：雅克比迭代未达到精度X = x: 8x1 double n: 500 error: InfY = x: 8x1 double n

14、: 245 error: 9.8871e-05Z = x: 8x1 double n: 211 error: 9.9397e-05当矩阵变大时，松弛因子合适时，SOR迭代较之高斯-赛德尔迭代的优势更加明显。（6）取n=10，SOR的松弛因子为1. 5，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下：雅克比迭代未达到精度X = x: 10x1 double n: 500 error: InfY = x: 10x1 double n: 192 error: 9.8544e-05Z = x: 10x1 double n: 175 error: 9.8830e-05A = 1.

15、0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.2000 0.1667 0.1429 0

16、.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.0625 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.0625 0.0588 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714

17、0.0667 0.0625 0.0588 0.0556 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.0625 0.0588 0.0556 0.0526b = 2.9290 2.0199 1.6032 1.3468 1.1682 1.0349 0.9307 0.8467 0.7773 0.7188（7）取n=10，SOR的松弛因子为1. 5，迭代次数限制为500次，取误差为： ，并取允许误差为1e-4。结果如下雅克比迭代未达到精度X = x: 10x1 double n: 500 error: InfY = x: 10x1 double n: 192

18、error: 9.8544e-05Z = x: 10x1 double n: 163 error: 9.8843e-05各步运算迭代结果：Jacobi高斯赛德尔SORn=6 1.008576975542410.9437340450621531.036931103728841.073658231736221.013985410877010.9165025267574861.008576975542410.9437340450621531.036931103728841.073658231736221.013985410877010.9165025267574861.008090467707960

19、.9482775823856401.029206497973701.075585304743831.011803257888240.9209705891481171.007429010727900.9548961248685611.015616372550441.084921935287981.003273751685160.928503245987874n=81.002062876090491.013394740816570.9120382964059991.037721289525681.077530456712701.050049317082470.9881282173278770.9123694568528491.000951217294591.028783513454010.8648714376929651.079122488509341.076933447578961.050437270700220.9837397800064920.9081413014856100.9998647567708