双曲线及其标准方程

1、双曲线及其标准方程一 教育目标（一） 知识目标 使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。（二） 能力目标 在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程，培养学生分析、归纳、推理等能力。（三） 德育目标 注意发挥类比的作用，与椭圆进行对照，着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，理解并掌握它们之间的区别与联系。（四） 美育目标 通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形的曲线美，建立双曲线方程，选择适当的坐标系，目的就是为了追求数学表达式的简洁美，推导双曲线标准方程引入b2目的就是追求方程形式的对称美，复杂的曲线通过建立适当的坐标系得到简单的曲线方程，无疑会让学生

2、感到数学的奇异美，从而会对学生学习数学产生浓厚的兴趣。二 学法引导 双曲线的定义mMF1MF2=2a，（2aF1F2，a为常数与椭圆类似，应注意类比，找出其共同点与不同点，要注意条件“2aF1F2”，如果2aF1F2，则动点M的轨迹不存在；如果 2a=F1F2，则动点M的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线，要理解“差的绝对值”的含义，即为MF1MF2时表示以F2为焦点的双曲线一支，当MF1MF2时表示以F1为焦点的双曲线的另一支。即椭圆、双曲线的标准方程的推导思路是一致的，在学习过程中要注意类比。三 重点、难点、疑点（一） 重点 双曲线的定义及其标准方程。（通过演示得到双曲线，再设问给出双曲线

3、的定义，通过比较加深对双曲线定义与标准方程的认识）（二） 难点 双曲线标准方程的推导。（引导学生与椭圆标准方程推导类比独立完成）（三） 疑点 双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解。四 教具 直尺、拉链、按钉五 教学步骤（一） 复习提问（1） 先用教具重新演示椭圆轨迹的形成过程，并与同学们一起复习椭圆的定义、焦点、焦距、标准方程的概念。（2） 提问：椭圆标准方程中，字母b与a、c关系如何？（二） 新知探索 1、如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？ 演示取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两条边上一条边选择其端点，另一条边选择中间的一定

4、点，分别固定在F1、F2上，F1到F2的长为2a（a0），把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线。如图： 分析绘图原理：拉链的两条边原来是等长的，即MF1=MF2+F2F，所以拉开或闭拢拉链时， 虽然M点在移动， 但MF1却总是比MF2长出 F2F这段定长2a，所以M点移动的轨迹是满足下面条件的点的集合。即P=MMF1+MF2=2a归纳：上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。提问：这个常数2a能否大于或等于F1F2？请学生回答：当常数大于F1F2时，无轨迹；当常数等于F1F2时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线。先由学生根据绘图原理试述双曲线的定义，教师

5、再根据学生回答的具体情况做补充及修订，给出完整的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。2、双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆，循此步骤推导双曲线的标准方程。建系设点 在回忆椭圆方程推导时如何建立坐标系后，建立起双曲线标准方程推导时的坐标系。 取过焦点F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴建立直角坐标系。设M（x、y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0）则F1（-C，0）、F2（C，0，），又设点

6、M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。（2a2c） 点的集合启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集；P=MMF1MF2=2a 代数方程用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，即：（x+c）2+y2 （x-c）2+y2 =2a 化简方程化方程f（x，y）=0为最简形式。这里的二次根式较复杂，要注意引导学生自己动手练习，教师巡视，请一名较好的学生板演并对有困难的学生个别辅导。得到双曲线的标准方程：x2 y2 = 1 （a0，b0）a2 b2这个方程叫双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在X轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），这里c2=a2+b2。设问：若双曲线的焦

7、点在y轴上，那么此时双曲线的标准方程又是怎样的呢？请同学们自己推导此时的双曲线标准方程：y2 x2 = 1 （a0，b0）a2 b2注意：双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“”号连接；双曲线方程中a0，b0但a不一定大于b；如果x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置；双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2， 不同于椭圆方程中c2=a2b2。（三）例题分析例1 说明：椭圆x2 y2 = 1 与双曲线x215y2=15的焦点相同。25 9分析：分别求出椭圆于双曲线的焦点即可。由

8、学生板演，焦点都是（4，0），（-4，0）。例2 已知两点F1（-5，0）、F2（5，0），求他们的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程。解：按定义，所求点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线。这里a=3，c=5，b2=c2a2=259=16故所求双曲线的方程为：x2 y2 = 1 9 16若将“6”该成“12”，则会如何？若2a=12，则2c=10，则2a2c，所以动点无轨迹。注：本题难度不大，但能起到即时对所学概念进行巩固训练作用。（四）课堂练习1、求适合下列条件的双曲线的标准方程 a=4，b=3 焦点（0，-6），（0，6），经过点（2，-5）2、焦点在y轴上，且过点（3，-4 3 ），（9/4，5）的双曲线的标准方程为 。答案：x2 y2 y2 x2 = 1 或 = 116 916 9y2 x2 y2 x2 = 1 = 120 1616 9（五）总结归纳双曲线定义mMF1MF2=2a （2aF1F2）图形标准方程x2 y2 = 1 (a0,b0)a2 b2y2 x2 = 1 (a0,b0)a2 b2焦点坐标F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）a、b、c关系c2=a2+b2 （ca0，cb0）（六）布置作业 1、习题8.3第1、2、3、4题 x2 y2 2、（选作）求与双曲线 = 1 共焦点，且过点（32，2）的