大学物理复习-量子力学初步

1、11.1.经典粒子经典粒子是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。具有确定的质量具有确定的质量, ,其运动规律遵循牛顿定律。其运动规律遵循牛顿定律。2. .经典波经典波 经典意义下的粒子和波经典意义下的粒子和波给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具有确定的数值。具有确定的数值。对波粒二象性的理解对波粒二象性的理解25 量子力学初步量子力学初步25.1 波函数及其统计解释波函数及其统计解释2怎样理解微观粒子既是粒子又是波怎样理解微观粒

2、子既是粒子又是波?粒子粒子看作是波包看作是波包而而粒子粒子是稳定的是稳定的 。 波是基本的波是基本的波包要扩散、消失，波包要扩散、消失， 波是大量粒子相互作用形成的波是大量粒子相互作用形成的 粒子是基本的粒子是基本的单电子的双缝衍射实验：单电子的双缝衍射实验：（1949前苏联前苏联 费格尔曼）费格尔曼）7个电子个电子100个电子个电子3单个电子具有的波动性，单个电子具有的波动性，而不是电子间相而不是电子间相互作用的结果。互作用的结果。3000个个20000个个70000个个41. .粒子性粒子性p 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或“整体性整体性”。p 但不是经典的粒

3、子！在空间以概率出现。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。 没有没有确定的确定的轨道轨道 应摒弃应摒弃“轨道轨道”的概念！的概念！ 正确理解微观粒子的波粒二象性正确理解微观粒子的波粒二象性2. 波动性波动性p 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”， 有有“干涉干涉”、“衍射衍射”、等现象。、等现象。p 但不是经典的波！因为它但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波不代表实在物理量的波动。动。5单色平面波单色平面波一个沿一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子方向作匀速直线运动的自由粒子( (能量为能量为E, ,动量为动量为px) )由德布罗依关系式由德布罗依关系式xhpEh复数形

4、式复数形式（三维）（三维）自由粒子波函数自由粒子波函数 i()/0( . )=eEtp rr t 0()cos()y x,tyt-kx0=cos()t-kx 0=cos()t-xxpE 25.1.1波函数的引入波函数的引入()/0=exi Etp x k 6由于进行了量子力学的基本研究由于进行了量子力学的基本研究特别是对波函数作出的统计解释特别是对波函数作出的统计解释19541954年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖25.1.2 波函数的统计解释波函数的统计解释7德布罗意波是德布罗意波是概率波概率波玻恩玻恩1926年提出年提出：物质波函数描述了粒子物质波函数描述了粒子在各处出现的概率在各处出

5、现的概率8,r t波函数波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经典波本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方 trtrtr,2r表示表示 t 时刻微观粒子，在空间时刻微观粒子，在空间 点出现的点出现的相对概率密度相对概率密度。式中：式中： 是空间坐标是空间坐标 和时间坐标和时间坐标t的函数，的函数， 是其复共轭。是其复共轭。rtr ,tr ,一个微观客体在时刻一个微观客体在时刻 t 状态状态, 用波函数用波函数 (一般是复函一般是复函数数 ) 完全描述完全描述., , ,x y z t波函数也称为波函数也称为概率幅

6、概率幅9归一化条件归一化条件 根据波函数统计解释，在全空间各点的概率根据波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为总和必须为1 1。2,1r tdV)(全全空空间间 注意注意 波函数可以允许包含一个任意的常数因子波函数可以允许包含一个任意的常数因子 对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布 ,r t,Cr t和和描写同一个概率波描写同一个概率波22112222,Cr tr tCr tr t因为对于空间任意两点来说概率比值相同：因为对于空间任意两点来说概率比值相同：25.1.3 波函数的标准化条件波函数的标准化条件102. 波函数的有限性波函数的有限性粒子在

7、空间某处出现的概率不能无限大粒子在空间某处出现的概率不能无限大1. 波函数的单值性波函数的单值性任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值波函数的标准化条件波函数的标准化条件概率不能在某处发生突变概率不能在某处发生突变3. 波函数的连续性波函数的连续性以上要求称为波函数的标准化条件以上要求称为波函数的标准化条件11ab只打开只打开a11c11111ccP只打开只打开 b22c22222ccP两缝同时打开两缝同时打开2211cc121221212222111122112211)()(ccccccccccccP波函数遵从叠加原理波函数遵从叠加原理: 实验证

8、实实验证实 如果如果 都是体系的可能状态，那么它的线性都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。叠加，也是这个体系的一个可能态。n,21nnnnncccc221125.1.4. 态态叠加原理叠加原理12波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念哥本哈根学派哥本哈根学派-爱因斯坦爱因斯坦 著名论战著名论战量子力学背后隐藏着还没有量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解个规律对量子力学有新的解释。释。上帝不会掷骰子上帝不会掷骰子波函数的概波函数的概率解释是自率解释是自然界的终极然界的终极

9、实质实质玻尔、波恩、海玻尔、波恩、海森伯、费曼等森伯、费曼等还有狄拉克、还有狄拉克、德布罗意等德布罗意等13上帝并不是跟宇宙玩掷骰子游戏。 不确定性是物理实质，这样的主张并不是完全站的住的。将来对物理实在的认识达到一个更深的层次时，我们可能对概率定律和量子力学做出新的解释，即它们是目前我们尚未发现的那些变量的完全确定的数值演化的结果。我们现在开始用来击碎原子核并产生新粒子的强有力的方法可能有一天向我们揭示关于这一更深层次的目前我们还不知道的知识。阻止对量子力学目前的观点作进一步探索的尝试对科学发展来说是非常危险的，科学史告诉我们，已获得的知识常常是暂时的，在这些知识之外，肯定有更广阔的新领域有

10、待探索。 在我看来，我们还没有量子力学的基本定律，目前还在使用的定律需要作重要的修改。当我们作出这样剧烈的修改后，当然，我们用统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被彻底地改变。14海森伯海森伯（W. K. HeisenbergW. K. Heisenberg，1901-19761901-1976） 德国理论物理学家。他于德国理论物理学家。他于19251925年为量子力学的创立作年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于出了最早的贡献，而于2525岁岁时提出的不确定关系则与物时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他量子力学的基础。为此，他于

11、于19321932年获得诺贝尔物理学年获得诺贝尔物理学奖金。奖金。25.2 25.2 不确定关系不确定关系15以电子束单缝衍射为例以电子束单缝衍射为例.121sind只计中央明纹区只计中央明纹区, , 角宽度角宽度一、位置和动量的不确定关系一、位置和动量的不确定关系d1位置不确定量：位置不确定量：xd 不确定量动量xpppypx 160 xp正中1sin沿xpp hpxx不确定量动量xpppypx 1sinxpp d1hhdd 1sind/2xxp 2tE能量与时间不确定关系式能量与时间不确定关系式171smkg2vmp解解 子弹的动量子弹的动量14smkg102%01. 0pp动量的不确定范

12、围动量的不确定范围m103 . 3m1021063. 630434phx位置的不确定量范围位置的不确定量范围 例例 1 一颗质量为一颗质量为10 g 的子弹，具有的子弹，具有 的的速率速率 . 若其动量的不确定范围为动量的若其动量的不确定范围为动量的 (这在这在宏观范围是十分精确的宏观范围是十分精确的 ) , 则该子弹位置的不确定量则该子弹位置的不确定量范围为多大范围为多大?1sm200%01. 0 x ph 18谱线的自然宽度谱线的自然宽度tE2MHz0841.t例：例：若原子处于激发态能级的寿命 ，求光谱光谱线的自然宽度。线的自然宽度。s810t则则eV10338 .hE解：解：2E t

13、19问题的提出：问题的提出：物理讨论会（物理讨论会（1926）薛定谔：你能不能给我们薛定谔：你能不能给我们讲一讲讲一讲De Broglie的那篇的那篇学位论文呢？学位论文呢？瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学 一月以后：薛定谔一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗向大家介绍了德布罗意的论文。意的论文。你这种谈论太幼稚，作为你这种谈论太幼稚，作为索末菲的门徒，都知道：索末菲的门徒，都知道：处理波要有一个波动程方处理波要有一个波动程方才行啦！才行啦！德德拜拜薛薛定定谔谔25.325.3薛定谔方程薛定谔方程20瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学又过了几个星期又过了几个星期原来薛定谔方程是原来薛定谔方程是利用

14、经典物理，用利用经典物理，用类比的办法得到的，类比的办法得到的，或者说开始只不过或者说开始只不过是一个假定，尔后是一个假定，尔后为实验证实。为实验证实。物理讨论会（物理讨论会（1926）trtrUmtrt,2,i2221定态薛定谔方程：定态薛定谔方程： 如果粒子所处的势场如果粒子所处的势场 U( r ) 与时间无关与时间无关(即即 不显含时间不显含时间), 可用分离变量法求解可用分离变量法求解. ,r trft令令 rft 2212ftiUrfttrm ftiEftt2212Urrm除以除以 得得这是两个微分方程这是两个微分方程 1ftiEftt 22122UrErm 2( )( )( )(

15、)( )( )( )2irf trf tU rrf ttm trtrUmtrt,2,i2222(1)的解的解 EtiftCe,( )Etir tr e 1ftiEftt 2222UrErm 对比自由粒子波函数对比自由粒子波函数, 常数常数 E 就是能量就是能量()0( , )iEtpxx te定态薛定谔方程定态薛定谔方程 HrEr 222HU rm 称能量算符或哈密顿算符称能量算符或哈密顿算符H 式称为式称为 的本征方程的本征方程HE 称为称为 的本征值的本征值H r称为称为 的本征函数的本征函数 222()0mrEU rr23 Ux 000,x axxa势阱内势阱内 ax 002dd222m

16、Ex则则0dd222kx其通解其通解势阱外势阱外 axx ,00)( x 2222( )0dmxEU xxdx2mEk 令 sincosxAkxBkxoaxU25.4.1 一维无限深方势阱一维无限深方势阱24式中式中 A,B 为待定系数为待定系数 0, 00, 0 aax 处处在在 1)00anmEk2与本征值与本征值 En 对应本征函数对应本征函数 2)sin0aAka nkaka 0sin aAxxan/2, 1d)320可可求求用用 )0()sin(2axxanaxn本本征征能能量量 222222282mahnmanEEn )sin(xanAxn, 2 , 1 n sincosxAkxB

17、kx,0B 要求25阱外阱外 x 0, x a 0 xn 势阱内势阱内ax0 )sin(2xanaxn 2sinnnxxaa- ()()2212,()2E tnxE tnxiiiE taannx tx eeeax正向波正向波x反向波反向波()()22122n xn xiiaaeea- ()- ()2424122ihnxhihnxhEtEtaaeea()0,iEtp xx te 2cos()2nxaa26一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 x4 x3 x2 x1 )(x 4E3E2E1E0a 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1

18、 n0a/2oa21 2a 323a 24a 27(2) 无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n越大越大, 能级间隔越大。能级间隔越大。基态 22212maE其余称为激发态其余称为激发态(3) 势阱中粒子波函数是驻波势阱中粒子波函数是驻波 基态除基态除 x=-0, x=a 无节点无节点. 第一激发态有一个节点第一激发态有一个节点, k 激发态有激发态有 k=n-1个节点个节点.(4) 概率密度分布不均匀概率密度分布不均匀当当 n n 时时过渡到经典力学过渡到经典力学(1) 无限深方势阱中粒子能量量子化无限深方势阱中粒子能量量子化 n是量

19、子数，是量子数，En称为能级称为能级.22222nnEmaE1E2E3E4a0X( )nx4( )x3( )x2( )x1( )xa0X2( )nx24( )x23( )x22( )x21( )x归纳：归纳：在某些极限条件下在某些极限条件下,量子规量子规律可以转化为经典规律。律可以转化为经典规律。2825.4.2.25.4.2.势垒穿透和隧道效应势垒穿透和隧道效应考虑考虑 EU0 的情况的情况 研究穿透问题研究穿透问题U(x)x0aU00dd121122kxEmk2212 22022220dmE Udx22022mkUE0dd222222kx 02dd32322Emx0dd323322kx21

20、23kk 02dd12122Emx 2222( )0dmxEU xxdx290dd121122kx0dd222222kx0dd323322kx 上述各方程的解上述各方程的解 xkxkBAx11i1i11ee xkxkBAx22ee222 333ik xxA e U(x)x0aU002203311016m UE aE UEA ADeA AU穿透系数穿透系数303131例例: 设粒子在设粒子在一维无限深方势阱一维无限深方势阱中运动中运动,能量的量子数为能量的量子数为n,试试求求:(1)距势阱内壁距势阱内壁四分之一宽度四分之一宽度以内发现粒子的概率以内发现粒子的概率;(2)n为何为何值值时在上述区域

21、内找到粒子的时在上述区域内找到粒子的概率最大概率最大;(3)当当n时该概率时该概率的的极值极值,并说明这一结果的并说明这一结果的物理意义物理意义.解解:无限深方势阱为无限深方势阱为 xU0 0 xa x 0,x a其归一化波函数为其归一化波函数为 axxxaxaxnaxnn, 0, 00,sin2222sinnn xaa概率密度概率密度a/40U(x)ax (x) (x)3a/43232(1)在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为 xx1其中其中 34242sinaan xxdxaa 1xx (2)n=3时上述区域找到粒子的时上述区域找到粒子的概率最大概率

22、最大,其值为其值为: 31213nx(3) 21, 01xnn时与经典结果相同与经典结果相同,在势阱内粒在势阱内粒子在各处出现的概率相等子在各处出现的概率相等,量量子力学过渡到经典力学子力学过渡到经典力学.34422sin24aaxan xana11sin22nn11sin22nn33例例:设粒子处在设粒子处在0,a范围内的一维无限深方势阱中范围内的一维无限深方势阱中,波函数为波函数为 24sincosxxxaaa试求粒子能量的可能测量值及相应的概率试求粒子能量的可能测量值及相应的概率.解解:在一维无限深方势阱中能量本征值在一维无限深方势阱中能量本征值2222,1,2,32nnEnma相应的能

23、量本征函数为相应的能量本征函数为 2sin, 0nn xxxaaa题中所给波函数为本征函数的线性组合题中所给波函数为本征函数的线性组合,做变换如下做变换如下:34测量能量为测量能量为22122Ema223292Ema其概率为其概率为其概率为其概率为2112c2312c 24sincos2xxxaa22sin(1cos)xxaaa22 13()sin(sinsin)2xxxaaaaa1223sinsin2xxaaaa 1133131,2cxcxcc式中352. 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度定的弦中的驻波，

24、因而势阱宽度a必须等于德布罗意波必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。的半波长的整数倍。(1) 试由此求出粒子能量的本征值为：试由此求出粒子能量的本征值为：22222nmaEn (2) 在核在核(线度线度1.010-14m)内的质子和中子可以当成内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？解：解：在势阱中粒子德布罗意波长为在势阱中粒子德布罗意波长为1,

25、2,3,2 n,nan 粒子的动量为：粒子的动量为： anahnhpnn 2362222222nmampEnn 粒子的能量为：粒子的能量为： J10331001106712100512132142723422221 .amEp (2) 由上式，质子的基态能量为由上式，质子的基态能量为(n=1):第一激发态的能量为：第一激发态的能量为： J1021341312 .EEn= 1,2,337从第一激发态转变到基态所放出的能量为：从第一激发态转变到基态所放出的能量为： MeV26J1099J10331021313131312.EE 讨论：讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般实验中观察到的核的

26、两定态之间的能量差一般就是几就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。上述估算和此事实大致相符。 n=1n=2n=338解：解：首先把给定的波函数归一化首先把给定的波函数归一化做积分做积分 12dcosd222222 aAxaxAxx/a/a 得得aA2 1d2xx 3. 设粒子处于由下面波函数描述的状态：设粒子处于由下面波函数描述的状态： ,cos0axAx当当2ax 22axax ,当当A是是正的常数。求粒子在正的常数。求粒子在x轴上分布的概率密度轴上分布的概率密度;粒子在何处出现的概率最大粒子在何处出现的概率最大?39因此，归一化的波函数为因此，归一化的波函数为 ,cos02axax当当2

27、ax 22axax ,当当归一化之后，归一化之后， 就代表概率密度了，即就代表概率密度了，即 2x ,cos0222axaxxW当当2ax 22axax ,当当概率最大处概率最大处:02sin2sincos22dd2 axaaaxaxaxW 即即 x = 02ax 40rU 双原子分子势能曲线双原子分子势能曲线0r双原子分子，晶体中的原子都双原子分子，晶体中的原子都在平衡位置附近作微小振动在平衡位置附近作微小振动 1. 线性谐振子定态薛定谔方程线性谐振子定态薛定谔方程 212U xkx xExxUdxdm2222 xExxmdxdm2222221225.4.3 一维谐振子一维谐振子221,2k

28、mxm41讨论讨论1. 能量量子化能量量子化 能量本征值的零点能能量本征值的零点能21nEn2.波函数波函数 222xnnnxN eHx2!nnNn其中1)(0H2)(1H24)(22Hm 20022xeAx 211222xexAx 2122222)24(xeAxx42线性谐振子的位置概率密度分布线性谐振子的位置概率密度分布线性谐振子的波函数线性谐振子的波函数 222xnnnxN eHx433. 量子力学量子力学n较小时较小时, 位置的概率密度分布与经典完全不同位置的概率密度分布与经典完全不同. 随着随着 n , 如如n=11时量子和经典在平均上比较符合时量子和经典在平均上比较符合.44一、算

29、符的定义一、算符的定义作用在一个函数上得到另一函数的运算作用在一个函数上得到另一函数的运算(变换变换)符号符号F算符算符FxFddF*)(F 算符只是一种运算符号，它单独存在是没有意义算符只是一种运算符号，它单独存在是没有意义的。它作用于波函数上，实现相应的运算才有意义。的。它作用于波函数上，实现相应的运算才有意义。25.5 25.5 力学量的平均值与算符力学量的平均值与算符例如例如45三、三、算符的本征（算符的本征（特征）特征）值方程值方程对于算符对于算符 ，如果，如果F( )( )nnnFrr n 为常数为常数F则称则称 n为为 的本征值。的本征值。( )nrn为与为与 相应的本征函数。相

30、应的本征函数。i()/0=exEtp x=xipx=xipx- =xpix- =pi- =zpiz- =ypiy-46例例. 力学量力学量 经典定义经典定义 算符算符 位置位置 动量动量 角动量角动量 rrp iprLiriLzyxkjizyxmp22222m动能动能 rUmp22 rUm222 总能量总能量xyyxLzxxzLyzzyLzyxiii47五、对易关系五、对易关系经典力学量经典力学量xpxpxx交换律，可对易交换律，可对易量子力学量子力学xxxpx ixppxxx？) (xppxxx)ii(xxxxxx i ixx i i i) (xppxxx0不对易不对易记记ABBABA,算符

31、算符 和和 的对易关系的对易关系 AB0,BA若若算符算符 和和 是对易的是对易的 AB48基本对易关系基本对易关系 , ,0 xyx ypp , ,0yzx px p ,ip , ,x y z ,0pp,0 ,ixxxx pxpp x xLyL,zL,2,LzyxLiLL,xzyLiLL,yxzLiLL,不对易，不能同时具有确定值不对易，不能同时具有确定值49在球极坐标中在球极坐标中22222222111sinsinsinrrrrrrsincosxrsinsinyrcoszr0,2xLL0,2yLL0,2zLL 分别和分别和 对易，因而对易，因而 分别和分别和 同时有确定值，同时有确定值，

32、注意；当注意；当 与与 同时有确定值时，同时有确定值时， 和和 就不确定了。就不确定了。2LxLyL,zL,2L2LxLyL,zL,xLyLzL2，复习：，复习：rxxrxxryyryyrzzrzz利用利用2222zyxrcoszrytgxrzxy50sincoscossinxyzLictgLictgLi 2222211sinsinsinL 可求出可求出22222222111sinsinsinrrrrrr比较；比较；（处理（处理H 原子时用）原子时用）22222211Lrrrrr51例例 粒子在宽度为粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动。求的一维无限深势阱中运动。求：（1 1）粒子处于某一能级上的位置平均值；（）粒子处于某一能级上的位置平均值；（2 2）粒）粒子处于基态时，出现在子处于基态时，出现在0.450.45a0.550.55a区域内的概率。区域内的概率。解：解：(1) (1) 由势阱内本征函数以及平均值求法：由势阱内本征函数