卡尔曼滤波的MATLAB实现

1、卡尔曼滤波的MATLAB 实现一、实验内容一个系统模型为 ( ( 1(, 1, 0, ( ( ( 1(22211k w k x k x k k w k x k x k x +=+=+=+同时有下列条件：（1） 初始条件已知且有T x 0, 0 0(=。（2） (k w 是一个标量零均值白高斯序列，且自相关函数已知为jkk w j w E =( (。另外，我们有下列观测模型，即 1( 1( 1(, 1, 0, 1( 1( 1(222111+=+=+=+k v k x k y k k v k x k y且有下列条件：（3） 1(1+k v 和 1(2+k v 是独立的零均值白高斯序列，且有 , 2

2、, 1, 0, 2( (,( (2211=k k v j v E k v j v E jkjk（4） 对于所有的j 和k ， (k w 与观测噪声过程 1(1+k v 和 1(2+k v 是不相关的，即, 2, 1, 0, , 2, 1, 0, 0( (,0( (21=k j k v j w E k v j w E我们希望得到由观测矢量 1(+k y ，即T k y k y k y 1(, 1( 1(21+=+估计状态矢量T k x k x k x 1(, 1( 1(21+=+的卡尔曼滤波器的公式表示形式，并求解以下问题：（a ） 求出卡尔曼增益矩阵，并得出最优估计 1(+k x 和观测矢量1

3、(,., 2(, 1(+k y y y 之间的递归关系。（b ） 通过一个标量框图（不是矢量框图）表示出状态矢量 1(+k x 中元素1(1+k x 和 1(2+k x 估计值的计算过程。（c ） 用模拟数据确定状态矢量 (k x 的估计值, 10,., 1, 0, (=k k k x 并画出当k 0，1，10时 (1k k x 和 (2k k x 的图。（d ） 通常，状态矢量的真实值是得不到得。但为了用作图来说明问题，表P8.1和P8.2给出来状态矢量元素得值。对于k 0，1，10，在同一幅图中画出真实值和在（c ）中确定的 (1k x 的估计值。对 (2k x 重复这样过程。当k 从1变

4、到10时，对每一个元素i 1，2，计算并画出各自的误差图，即 ( (k k x k x i i -。（e ） 当k 从1变到10时，通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出(21k k E 和(22k k E ，而( ( (111k k x k x k k -=，( ( (222k k x k x k k -=。（f ） 讨论一下（d ）中你计算的误差与（e ）中方差之间的关系。表P8.1 题8.1到题8.3中的观测值时间下标k 观测值 (1k y (2k y 观测值1 23456789103.296919693.387365157.028306419.7121252111.42018315

5、15.9787058322.0693428528.3021278130.4468383138.758755952.101342940.475407973.176888982.498111402.919924246.173076165.425192743.053657415.980511414.51016361表P8.2 题8.1到题8.3中的由模拟得到的实际状态值时间下标k实际状态值(1k x 实际状态值(1k x 0123456789100.00000000001.654287143.503007025.9978529249.1504074012.5087391016.9219259421.

6、3448335225.8933514431.5413533036.936056700.0000000001.654287141.848719882.475522223.171878163.358331704.413186844.422907584.548517925.648001865.394470340二、实验原理1、卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波是解决以均方误差最小为准则的最佳线性滤波问题，它根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值（常常是状态变量的估计值）的形式给出其信号模型是从状态方程和量测方程得到的。卡尔曼过滤中信号和噪声

7、是用状态方程和测量方程来表示的。因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和测量方程。它不需要知道全部过去的数据，采用递推的方法计算，它既可以用于平稳和不平稳的随机过程，同时也可以应用解决非时变和时变系统，因而它比维纳过滤有更广泛的应用。2、卡尔曼滤波的递推公式(11-+=k k k k k k k k x A C y H x A x (11(-+''=k k k k k k k R C P C C P H (211-+='k k k k k Q A P A P (3k k k k P C H I P '-= (43、递推过程的实现 如果初始状态x 的统计特性0x E

8、 及var0x 已知，并令 000=x E x又 var (000000x x x x x E P =-=将P 代入式（3）可求得1P '，将1P '代入式（2）可求得1H ，将此1H 代入式（1）可求得在最小均方误差条件下的1x ，同时将1P '代入式（4）又可求得1P ；由1P 又可求2P '，由2P '又可求得2H ，由2H 又可求得2x ，同时由2H 与2P '又可求得2P ；以此类推，这种递推计算方法用计算机计算十分方便。三、MATLAB 程序%卡尔曼滤波实验程序 clc;y1=3.29691969,3.38736515,7.02830

9、641,9.71212521,11.42018315,15.97870583,22.06934285,28.30212781,30.44683831,38.75875595; %观测值y1(ky2=2.10134294,0.47540797,3.17688898,2.49811140,2.91992424,6.17307616,5.42519274,3.05365741,5.98051141,4.51016361; %观测值y2(k p0=1,0;0,1;p=p0; %均方误差阵赋初值 Ak=1,1;0,1; %转移矩阵Qk=1,0;0,1; %系统噪声矩阵 Ck=1,0;0,1; %量测矩阵

10、Rk=1,0;0,2; %测量噪声矩阵 x0=0,0'xk=x0; %状态矩阵赋初值 for k=1:10Pk=Ak*p*Ak'+Qk; %滤波方程3 Hk=Pk*Ck'*inv(Ck*Pk*Ck'+Rk; %滤波方程2 yk=y1(k;y2(k; %观测值xk=Ak*xk+Hk*(yk-Ck*Ak*xk; %滤波方程1 x1(k=xk(1;x2(k=xk(2; %记录估计值 p=(eye(2-Hk*Ck*Pk; %滤波方程4pk(:,k=p(1,1,p(2,2' %记录状态误差协方差矩阵 endfigure %画图表示状态矢量的估计值 subplot(

11、2,1,1 i=1:10;plot(i,x1(i,'k'h=legend('x1(k的估计值' set(h,'interpreter','none' subplot(2,1,2 i=1:10;plot(i,x2(i,'k'h=legend('x2(k的估计值' set(h,'interpreter','none'X1=0,1.65428714,3.50300702,5.997852924,9.15040740,12.50873910,16.92192594,21.34

12、483352,25.89335144,31.54135330,36.93605670; %由模拟得到的实际状态值X1(kX2=0,1.65428714,1.84871988,2.47552222,3.17187816,3.35833170,4.41318684,4.42290758,4.54851792,5.64800186,5.394470340; %由模拟得到的实际状态值X2(kfigure %在同一幅图中画出状态矢量的估计值与真实值 subplot(2,1,1 i=1:10;plot(i,x1(i,'k',i,X1(i+1,'b'h=legend('

13、;x1(k的估计值','x1(k的真实值' set(h,'interpreter','none' subplot(2,1,2 i=1:10;plot(i,x2(i,'k',i,X2(i+1,'b'h=legend('x2(k的估计值','x2(k的真实值' set(h,'interpreter','none'for i=1:10 %计算x(k的误差 e1(i=X1(i+1-x1(i; e2(i=X2(i+1-x2(i; endfigure %画

14、出误差图 subplot(2,1,1 i=1:10;plot(i,e1(i,'r'h=legend('x1(k的误差' set(h,'interpreter','none' subplot(2,1,2 i=1:10;plot(i,e2(i,'r'h=legend('x2(k的误差' set(h,'interpreter','none'figure %通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出E1(k/k2和E2(k/k2 i=1:10;subplot(2,1,1 pl

15、ot(i,pk(1,i,'r'h= legend('由状态误差协方差矩阵得到的E1(k/k2' set(h,'Interpreter','none' subplot(2,1,2 plot(i,pk(2,i,'r'h= legend('由状态误差协方差矩阵得到的E2(k/k2' set(h,'Interpreter','none'四、实验结果分析（a ）卡尔曼增益矩阵：k k k T T 1H P C (CP C R -=+ 估计值与观测值之间的递归关系为：k k-1k-1k k k k k X A X H (YC A X =+-（b ）状态矢量估计值的计算框图： xk +1 yk +1 + xk +1