分形理论及其研究方法

1、文章编号:0253-2468(2001-增刊-0010-07中图分类号:X1312文献标识码:A分形理论及其研究方法王东升,汤鸿霄,栾兆坤(中国科学院生态环境研究中心环境水化学国家重点试验室,北京100085;E -mail :wgds 摘要:在概括性介绍分形理论的基础上,对分形理论在混凝技术领域中的应用及其基本研究方法进行了较为全面的综述.关键词:混凝;分形理论;研究方法A brief introduction to the fractal theory and methodologyWAN G Dongsheng ,TAN G Hongxiao ,L UAN Zhaokun (SK L E

2、AC ,Research Center forEco 2EnvironmentalSciences ,CAS ,Box 2871,Beijing 100085Abstract :Recently ,rapid progress has been achieved in the field of coagulation.One of the frontier and dey topics is the formation ,structure and property of aggregated flocs.A critical review on the potential applicati

3、on of fractal theory in various aspects of coagula 2tion would be needed.This paper introduces first the basic fractal theory and methodology as well.K eyw ords :coagulation ,fractal theory ,methodology 1前言近几年来,混凝技术领域研究在各方面均取得了较大的成果,呈现出十分活跃的发展趋势,并面临着突破性进展的前沿1-4.虽然对于混凝过程中的各种影响因素渐渐得到明确,综合性的实验研究仍然十分缺乏,

4、制约着人们对混凝过程本质性的深入认识.迄今为止,对于混凝过程中之絮体形成,其溶液化学、水力学、过程化学以及不断扩散聚集的诸实体(混凝过程的各反应产物彼此之间的相互作用关系仍然缺乏足够的认识.其原因之一在于混凝整体过程(集混合、凝聚、絮凝及后续分离流程所具有的纷繁复杂性以及众多连续发生的重要过程与现象中所具有的混沌性(Chaotic Character .而相应地缺乏强有力的手段进行探测分析并予以定量描述,尤其是后者.以往大量的研究均局限于对混凝化学形态分布与转化规律的表征,以及基于著名的Smoluchowski 方程所进行的混凝线性动力学的探索与改进1,5-7.尽管对絮体的复杂结构与行为进行了

5、一定的尝试,提出了若干模式,并且其中现在看来不乏远瞩卓见,但并未得到足够的重视,而且未能抽象归纳出其中所具有的普遍规律性.近年来,非线性科学领域,尤其是混沌学(Chaos 、分形学(Fractals 与耗散结构(Dissipative Structure 研究中所取得的迅猛进展,使人们对自然界中原本扑朔迷离的无序混乱现象和无规形态的认识渐渐有了可能7-16.其中,分形理论(Fractal Theory 的研究与发展揭示了非线性系统中有序与无序的统一,确定性与随机性的统一,使人们探索这极为复杂的现象背后所存在的规律性有了可能.分形理论提供了人们以全新的观念与手段来处理这些难题.因此,将分形理论应

6、用于混凝领域的研究并加以丰富与发展,成为一个显著的前沿热点,并为混凝理论研究提供了一个崭新的生长点.本基金项目:国家自然科学基金项目(50078051作者简介:王东升(1970,男,副研究员(博士第21卷增刊2001年6月环境科学学报ACTA SCIEN TIA E CIRCUMSTAN TIA EVol.21,Suppl J un.,2001文将在概括性介绍分形理论基础上,对分形理论在混凝研究中的应用进行较为全面的综述.首先对若干基本研究方法进行详细的介绍,限于篇幅一些相关研究内容的进展与展望将在后文论述.2分形理论概述混凝过程为典型的多种非线性过程相互混合、 相互作用的复杂过程之一.因此,

7、如何将非线性科学领域中所取得的研究成果合理地应用于混凝研究体系,推动混凝过程的研究逐步向定量化计算与控制发展,成为当前一个较为突出的前沿热点问题.图1混沌奇异吸引子Fig.1The strange attractor of chaos 图2非线性动力学家的相图Fig.2The phase portrait of anonlinear dynamicist图1、图2取自非线性科学研究中著名的混沌奇异吸引子与由混沌学特征曲线描绘出的混沌学家的相图13.对于非线性科学领域中的相关理论在此不作详细介绍,可以参考上述提及的众多文献7-16.本文主要就分形理论以及在混凝研究中的应用进行综合评述与展望,以期

8、起到一定的抛砖引玉的作用.“分形”是由Benoit B.Mandelbrot 在1975年首次提出的9,其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体,这个名词是参考了拉丁文fractus (破碎的后造出来的,它既是英文又是法文,既是名词又是形容词.1977年,他出版了第一本书分形:形态、偶然性和维数(Fractal :Form ,Chance and Dimension ,标志着分形理论的正式诞生9.5年后,他出版了著名的专著自然界的分形几何学(The Fractal G eometry of Nature ,至此,分形理论初步形成10.目前,分形是非线性科学中的一个前沿课题,在不同的文献中,

9、分形被赋予不同的名称,如“分数维集合”、“豪斯道夫测度集合”、“S 集合”、“非规整集合”、以及“具有精细结构集合”等等.一般地可把分形看作大小碎片聚集的状态,是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称.由于在许多学科中的迅速发展,分形已成为一门描述自然界中许多不规则事物及现象的规律性的学科.分形具有的两个重要特征在于自相似性或自仿射性与标度不变性.具有严格自相似性的形体称为有规分形,而只是在统计意义下的自相似性的分形则称为无规分形.分形是非线性系统中通过自组织形成的时空有序结构.分形与混沌关系密不可分,你中有我,我中有你,而含义各不相同.要阐明它们关系的区别是十分困难的,人们常常把它们放在一起

10、加以解释.随着分形理论的产生与发展,逐步地形成了分形几何学,这是近几十年才发展起来的数学11增刊王东升等:分形理论及其研究方法的一个分支,又称为非欧氏几何学,与具有2000多年历史的欧氏几何学相比,它们的差异是十分明显的,如表1所示.表1分形几何学与欧氏几何学的差异Table 1The difference of Fractal G eometry and Euclidian G eometry几何学描述的对象特征长度表达方式维数欧氏几何学人类创造的简单理想标准物体有用数学公式0,1,2,3分形几何学大自然创造的复杂的真实物体无用迭代语言分数包括整数分形几何学的主要内容可以分为两部分:线性分形

11、与非线性分形.线性分形理论的基本观点是维数的变化是连续的,研究对象具有自相似性和非规则性.线性分形又称为自相似分形,它研究的所有方向上以同一比率收缩或扩展一个几何图形的线性变换群下的图形的性质,在一定范围内,由一个分形维数就可以加以描述.线性分形又可分为有规分形和无规分形两类.非线性分形研究在非均匀线性变换群或非线性变换群下的图形的性质,它可以分为三类:自仿射分形(非均匀线性变换群、(自反演分形非线性变换群和自平方分形.另外,按数学性质,分形尚可以分为线分形、面分形与体分形.有关分形几何学以及一些典型数学分形的详细介绍可以参考上述提及的众多文献7-16.值得一提的是,分形理论处于不断发展之中,

12、自然科学领域(如物理、化学、地球物理学及生物学等中的分形学术论文不断增加,社会科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越多.有关分形的国际会议及各种专题讨论会有增无减.国际学术刊物“混沌、孤子和分形(Chaos ,Solitons and Fractals ”和“分形学(Fractals -An Interdis -ciplinary Journal on the comples G eometry of Nature ”先后于1991年和1993年正式创刊.许多问题仍然需要深入的研究14,17,18,诸如如何判断一个对象是分形或多重分形、分形维数的物理意义、分形的动力学机制、分形重构问题、关于J

13、ulia 集和Mandelbrot 集的问题,以及其他如随机多重分形的数学问题、分形曲线的导数问题、分维计算的方法特别是由混沌时序计算分维的可信度问题、多重分形的热力学、相变实质及相变普适性划分判据问题、分形的小波分析及小波变换产生分形的问题、生物膜的分形结构及其与细胞膜病变的关系、原子分子的分形问题包括量子混沌、胖分形(fat fractal 及重正化混沌(renormchaos 问题、自组织临界现象及负幂律问题、图像的分形压缩问题等.总之,上面提到的这些问题对于分形理论的发展至关重要,需要人们深入进行探讨和研究.而分形理论作为非线性科学的一个组成部分,必将在发展中不断完善和走向成熟.3分形

14、理论的应用及其研究方法在自然形成的非规整结构以及在生产实践与科学现象中所涉及的复杂图形中,分形的概念正在得到越来越广泛的应用.分形也即指这些非规则体中的无规程度可以用一非整数维数来加以描述.通过分形结构分析,对这些看起来复杂不规则形态提供了一种数学框从而得以定量描述.而分形结构分析中最具重要性的特征参数即分形维数(简称分维.一般认为,分维对应于分形体的不规则和复杂性或空间填充度量程度.分维不同则反映了聚集体结构所具有的开放程度.311聚集体分形维数的定义自从1977年Mandelbrot 引入分形概念以来,在多种体系与条件下(诸如颗粒聚集与团聚过程中得以广泛应用.分形维数是其中关键的参数,尽管

15、存在着多种不同的定义.对于颗粒物21环境科学学报21卷聚集体而言,分维(d F ,严格来说为质量分维定量描述了聚集体中颗粒物的空间占据规律以及在连结质量(M (R 与粒径(R 之间的关系具有十分重要的决定作用,如下式所示:M (R R d F(1上述方程区别于通常的质量2粒径关系仅仅在于其指数(d F 不再局限于整数.需要指出的是,分维的概念仅仅适用于取一渐近性极限至无穷小的长度.然而对于真实物体而言,其往往存在一定的上限与下限,逾越此范围,并不再属于分形体了.一般的,对于聚集体,其下限为初始颗粒的半径,而上限则取聚集体的半径.需要指出,上述聚集体分维的定义还可以随聚集体性质而改变,如由初始颗

16、粒物所堆积而成的聚集体的密度、颗粒物连接方式的变化,在湍流中的速率分布等,其分维表示方法也将随着改变,如表2所示.表2聚集体分维随聚集体性质而变化的特征20Table 2The change of fractal dimension with property of aggregates性质标度关系固体体积(V V =a v l D 3悬浮体积(Encased Volume V EV E =a e l D 3质量(M M =a m l D 3密度(=a l D 3-3孔隙度(=a l D 3-3沉降速率(U U =a l (D 3+b -D 2/(2-b 另外,分维也可进一步表示为聚集体性质随

17、长度的指数变化规律,记为D n ,其中下标n 指分形体中特体组成的维数19.分维的下标表明相应的指数与聚集体的性质,由此得以与欧氏几何相关联,即P L D 1,A L D 2,V L D 3,N a L D 3.在这里,L 表示聚集体的最大长度,P 为聚集体的周长,A 为聚集体的投影面积,V 为聚集体的体积,N a 则为聚集体中的颗粒数.如果聚集体中的每一颗粒具有相同的质量与密度,那么V 与N a 可以由一常数相关联.值得指出的是,分维的定义与表示方法的多种多样,一方面表明分形结构的复杂性与其形成途径相关;另一方面则在于分形理论自身仍然处于不断丰富与完善过程之中.312聚集体分维的研究方法显而

18、易见,在分形理论的应用过程中,分形维数的测定是其中十分重要的步骤之一.严格数学意义上的分维分析测试方法非常多,诸如:改变观察尺度求维数,根据测度关系求维数,根据相关函数求维数,根据分布函数求维数,根据频谱求维数等.这里不作详细介绍,可以参考相关文献14.通常聚集体的分形维数可以通过两种途径获得:计算机模拟絮体聚集成长过程与实验直接测定.计算机模拟法是基于分形结构的形成机制.而许许多多的实验技术已被应用于分维的测定,如影象分析法、絮体沉降法、光散射法等等,在此作一简单介绍.31211影象分析法影象分析法是应用电子显微镜如透射显微镜(TEM 对聚集体连续快速拍摄进行分析.分形维数可以从所得图象中对

19、聚集体的质量与粒度的关系中获得.聚集体的质量可以从图象中直接测定,将图象中的颗粒数与所测定的具有典型粒径的每个颗粒的质量相乘即得.上述方法曾经较为广泛地应用于分析金溶胶聚集体21、硫酸铝与活性污泥聚集体22,23、针铁矿聚集体24以及最近对有机物聚集体的结构也进行了分析25.该法所具有惟一的较大缺点是拍摄所得的图像属于二维投影而非三维体.并且其基于这31增刊王东升等:分形理论及其研究方法样一个假设,也即如果d F <2,那么从二维投影分析所得的分形维数与实际分形维数相同.对此仅有一些启发式的争论26,而仅当d F 只是略微小于2时将会发生较大的偏差.另外,如果d F >2,那么该法

20、彻底失败.此时所得图像为一密实的二维体,因此分形维数只能是2.上述方法所具有的优点较为明确直观,然而仍属于间接测定.近期发展起来的数字式摄象技术,并应用计算机处理数据的强大功能,使得直接测定成为可能.31212絮体沉降速率(或密度法絮体沉降速率(或密度法是基于沉降速率与特征粒度之间的关系,如下列方程所示:V (R R c(3其中c 常数.对于多孔性聚集体来说,与球形固体由Stokes 定律所得的值2相比,c 较为典型的值为介于0155110之间.相应地得到聚集体的密度为P v /R 2=R c -2.基于此方程,这些悬浮聚集体的质量可以表示为M R c +1.从而可以得到分维为d F =c +

21、1.该法对于较大的聚集体如活性污泥尤为适合.先后曾应用于对硫酸铝絮体与活性污泥的分维的测定22,23,27,乳胶颗粒聚集体的分维的测定28.然而,沉降法应用于分维的测定具有一些明显的缺点.Johnson 等人(1996发现在浆板混合器中,乳胶微颗粒混凝所得聚集体由沉降法所测定的分维往往比Stokes 定律所得的平均大4813倍29.计算过程中采用可穿透或不可穿透球形颗粒聚集体模型(基于颗粒在聚集体中均匀分布对聚集体的穿透性进行限定.假定滞延系数(Drag Coedfficient ,C D 为一恒定值且固定在C D =24/R e ,那么在d F >2时,实验值与理论值较好的吻合.然而,

22、当d F <2时,聚集体孔隙度的评估具有较大的偏差,从而由沉降速率与Stokes 定律所计算出的分维将不再是正确的.31213散射法无规则体系中的散射信息提供了颗粒间的空间连接关系,从而得以应用于推测分形结构.研究发现小角度X 射线散射法和中子散射法特别适合于无规体系包括聚合物、颗粒与溶胶的聚集体的分析测定.这些方法对于粒度处于1200nm 的分形结构与无规形体尤为合适30.如果对小角度的散射光强加以测定,J ung 等人指出静态光散射可以应用于测定后胶体post 2colloidal 即微米级颗粒粒度范围的分形结构31.光散射法对于微观结构体系分维的测定是十分有效的,特别在样品的制备与

23、结果分析方面具有其特殊的优越性.光散射已经被应用于分维的分析,而且由于其仪器装置比小角度X 射线和中子散射法更为简单以及数据分析相对便捷从而显得格外具有吸引力.较早期的工作如Weitz 等人对胶体金溶胶的分形结构的分析21.对于快速聚集过程可以得到d F =1175,这与簇-簇聚集模型模拟相对应.而当发生慢速聚集过程时得到d F =2105,这同样与模型模拟相吻合.类似的光散射法也得以在其他体系中加以应用,如Amal et al .和Zhang &Buffle 的研究24.另外,基于动态光散射(DL S 或光子相关光谱技术(PCS 的方法也得到应用.该法给出了颗粒物或聚集体的扩散系数,

24、并由此得到其水力半径R H .在快速聚集过程中,聚集体水力半径随时间不断发生变化,从而得以推测聚集体的分维.Bolle et al .曾经应用PCS 法来研究乳胶颗粒的聚集过程研究32.然而,PCS 法无法适用于颗粒粒度大于约3m 的范围,因此只能局限于较微细的颗粒物.31214其它方法当光穿过流动的悬浮液时,由于光路中颗粒粒度与数目的随机变化,使透射光强度呈现出脉动现象,也即浊度脉动33,34.这种基于浊度脉动的检测方法可以用来对悬浮液颗粒聚集过程提供十分有用的信息,而得到越来越广泛的应用.通过对聚集体粒度分布与分形聚集体的光散射特征进行适当的简化处理,Gregory &Chung

25、(1995的研究表明浊度脉动法41环境科学学报21卷增刊 王东升等 : 分形理论及其研究方法 15 也可以用来表征聚集体成长过程中的分维变化特征 35 . 只是 , 该法仅仅适用于分维较大的絮 体 ( 通常 d F > 2 . 对于较小分维的絮体 ,该法存在可疑之处 . 另外 ,絮体沉降体积法也得到一定程度的应用 . 悬浮液经过混凝聚集后一个十分显著的效 应在于絮体体积比初始颗粒物所占据的体积明显增大 . 这从絮体沉降高度或体积测量中可以 很容易地看到 . 絮体体积的快速增加显然意味着低密度絮体的形成 . 因此 ,该法多年来曾广泛 应用于经验性地判断混凝效果与最佳投药量 . 然而 ,作为

26、一种用来推导絮体分形本质的方法却 未能得到足够的重视 . 近年来 ,Zrinyi et al . 对此进行了基础性的研究工作 36 . 一些研究表明 , 该法非常适宜于相对高浓度颗粒较为密实的悬浮液的测定 . 另外 ,絮体沉降过程中沉降体积达 到平衡需要一定的时间 ,而此时絮体可能产生一定的压缩 . 参考文献 : 1 汤鸿霄 . 羟基聚合氯化铝的絮凝形态学 J . 环境科学学报 ,1998 ,18 (1 :1 10 2 AWWA Committee Report . Coagulation as an integrated water treat ment processJ . J AWWA

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