项目二点、直线和平面投影的学习与应用

1、2.1 2.1 投影法及三视图投影法及三视图2.2 2.2 点的投影点的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.5 2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置关系直线与平面以及两平面之间的相对位置关系2.6 2.6 投影变换投影变换2.7 2.7 项目案例：模型三视图的绘制项目案例：模型三视图的绘制2.1 投影法及三视图一、投影法一、投影法二、投影法的性质二、投影法的性质三、三视图的形成三、三视图的形成投影法概述投影的概念：（日常生活中的投影现象）投影的概念：（日常生活中的投影现象）有关名词有关名词 光线（光源）光线（光源）投射线（投射中心）投射线（投射

2、中心） 地（墙）面地（墙）面投影面投影面 影影 子子投影投影投影法：投影法：在投影面上获得物体投影的方法。在投影面上获得物体投影的方法。投影法的分类：投影法的分类：中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法 斜投影法斜投影法（斜投影）（斜投影） 正投影法正投影法 （正投影（正投影-投）投）PSABCabc投射中心投射中心投射线投射线投影面投影面投影投影中心投影法中心投影法一、投影法P平行投影法平行投影法SABCabcABCa bcS斜投影法斜投影法正投影法正投影法( (一一) ) 共同性质共同性质1.1.直线的投影一般仍是直线，直线的投影一般仍是直线，sABabc点在直线上则点的投影在直线的投影

3、上。点在直线上则点的投影在直线的投影上。CABabCc中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法从属性从属性二、投影法的性质二、投影法的性质( (一一) ) 共同性质共同性质2.2.当直线与投射线方向一致时当直线与投射线方向一致时, ,其投影积聚为一点。其投影积聚为一点。ABa(b )积聚性积聚性 当当平面上有平面上有直线与投射线方向一致直线与投射线方向一致时时, , 该平面的投影积聚为一直线。该平面的投影积聚为一直线。ABCabc直线、平面的积聚性直线、平面的积聚性aAA1aA2A3( (一一) )共同性质共同性质3.3.空间点在一个投影面上只有唯一一个投影。空间点在一个投影面上只有唯一一个投

4、影。 而点的一个投影不能确定点的空间位置。而点的一个投影不能确定点的空间位置。物体的一个投影不能确定它的整体形状和大小物体的一个投影不能确定它的整体形状和大小( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点1.1.真实性真实性 直线段（或平面）平行于投影面，其投影反映线直线段（或平面）平行于投影面，其投影反映线段的实长（或平面的实形）。段的实长（或平面的实形）。真实性真实性ababcABABCAB = abABC abc( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点2.2.点分线段之比投影后不变。点分线段之比投影后不变。ABabCcAC :CB = ac :cbAB :CB = ab :cb

5、定比性定比性( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点3.3.空间两平行线段，其投影仍然平行，且它们之间长度空间两平行线段，其投影仍然平行，且它们之间长度之比投影后不变。之比投影后不变。ABCD = abcdAB :CD = ab :cd定比性定比性ABCDcd平行性平行性ab( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点4.4.当平面与投射面倾斜时当平面与投射面倾斜时, ,其投影为实形的类似形。其投影为实形的类似形。类似性类似性ABCabc三、三视图的形成三、三视图的形成视图：用正投影法绘制的物体的图形视图：用正投影法绘制的物体的图形当物体的三视图按上图所示的规定位置配置时，可不注视

6、图的名称。当物体的三视图按上图所示的规定位置配置时，可不注视图的名称。 2.2 点的投影1.1.点的三面投影点的三面投影2.2.点的投影规律点的投影规律3.3.点的投影与空间直角坐标的关系点的投影与空间直角坐标的关系4.4.两点的相对位置两点的相对位置5.5.重影点重影点三面投影体系三面投影体系OZXYVV 、H、W 投影面两两相互垂直投影面两两相互垂直正正立投影面立投影面水平水平投影面投影面侧立投影面侧立投影面1.点的三面投影点的三面投影OZXaXaza”9090aYYV点的三面投影点的三面投影投影面展开投影面展开aaAaaa”XZYHYwOaXaYHaYWaZ2)2)aaX =a”Ayw

7、=Aa ( (H 面距离面距离);); aaX =a”aZ =Aa ( (V 面距离面距离);); aaZ =aaYH =Aa” ( (W 面距离面距离) )。1)1)aa OX , , aa” OZ ； aaYH OY , , a” aYWOY ; ;aaa”XZYHYwOaXaYHaYWaZOZAaXaXaZaaYYV9090a”2.2.点的投影规律点的投影规律V 面面 XOZ 坐标面坐标面1 1）. .投影面与坐标面的对应关系投影面与坐标面的对应关系H 面面 XOY 坐标面坐标面W 面面YOZ 坐标面坐标面2 2）. .点的投影与直角坐标的一一对应关系点的投影与直角坐标的一一对应关系V

8、面投影面投影a ( (x，z ) ) W 面投影面投影a” ( (y，z ) )H 面投影面投影a ( (x，y ) )OZAaXaXaZaaYVYa”3.点的投影与空间直角坐标的关系点的两个投影完全确点的两个投影完全确定其在空间的位置定其在空间的位置2 2）. .点的投影与直角坐标的一一对应关系点的投影与直角坐标的一一对应关系aaa”XZYHYwOV 面投影面投影a ( (x，z ) ) W 面投影面投影a” ( (y，z ) )H 面投影面投影a ( (x，y ) )应用：点的投影作图应用：点的投影作图1.1.根据点的空间坐标根据点的空间坐标( (x，y，z ) )，求点的三面投影，求点的

9、三面投影，如如( (a , ,a , ,a ) )。2.2.已知点的两个投影求第三投影。已知点的两个投影求第三投影。例例1 1 已知点已知点A ( (15 , ,10 , ,20 ) )，求作点，求作点A 的三面投影。的三面投影。YHYWOXZ20 mm10mm15 mm10 mmaaa1.1.画坐标轴；画坐标轴；2.2.求作点的投影；求作点的投影；axaYH作图步骤：作图步骤：例例2 2 已知点已知点B 的投影的投影b 、b” ，求点，求点B 的水平投影的水平投影b。YHYWOXZ?用圆规用圆规截取截取Y 相等相等bbbYHYWOXZbbb正方形的各边相等正方形的各边相等45其它作图方法其它

10、作图方法? ?例例2 2 已知点已知点B 的投影的投影b、b” ，求点，求点B 的水平投影的水平投影b 。方法方法1 1：作作45 辅助线辅助线方法方法2 2：作圆弧作圆弧例例2 2 已知点已知点B 的投影的投影b 、b” ，求点，求点B 的水平投影的水平投影b。YHYWOXZ做做4545辅助线辅助线bb45bYHYWOXZbb画圆弧，使画圆弧，使y相等。相等。例例2 2 已知点已知点B 的投影的投影b、b” ，求点，求点B 的水平投影的水平投影b 。b空间两点的相对位置，可以通过两点的同组投影判断其前空间两点的相对位置，可以通过两点的同组投影判断其前后、上下、左右关系。后、上下、左右关系。

11、X 轴方向轴方向 称称 左右左右Y 轴方向轴方向 称称 前后前后Z 轴方向轴方向 称称 上下上下VabAXBbaOa”b”Z Y左左右右前前后后上上下下B 点在点在A 点的左、点的左、前、下方前、下方约定约定: :4.两点的相对位置H 面上：面上：左右，前后左右，前后V 面上：面上：左右，上下左右，上下W 面上：面上：上下，前后上下，前后 在投影图上判断两点的相对位置关系在投影图上判断两点的相对位置关系abXbaOa” b”ZYHYWB 点在点在A 点的点的左、前、下方左、前、下方VA、B 为为H 面上的重影点。面上的重影点。abABa b( )( )a”b”aba b( )( )a”b”XZ

12、YHYW水平投影重影，由正面水平投影重影，由正面( (侧面侧面) )投影判断上下关系。投影判断上下关系。XOZ YO5.重影点VC、D 为为V V面上的重影点。面上的重影点。c d( )( )cdc d ( ( ) )d”XZYHYW正面投影重影，由水平面正面投影重影，由水平面( (侧面侧面) )投影判断前后。投影判断前后。c”d”dcDCc”XOZ YOaba ba”b”XZYHYW小结：小结：重影点的可见性判别重影点的可见性判别水平投影重影水平投影重影 由正面由正面( (侧面侧面) )投影判断投影判断上下：上下： Z 值大在上，可见；值大在上，可见； Z 值小在下，不可见。值小在下，不可见

13、。 投影不可见加括号。投影不可见加括号。（ ）OB 点在点在A 点的下方，不可见。点的下方，不可见。小结：小结：重影点的可见性判别重影点的可见性判别XZYHYW正面投影重影正面投影重影 由水平面由水平面( (侧面侧面) )投影判断投影判断前后：前后： Y 值大在前，可见；值大在前，可见； Y 值小在后，不可见。值小在后，不可见。cdc dd”c”（ ）OD 点在点在C 点的下后方，不可见。点的下后方，不可见。小结：小结：重影点的可见性判别重影点的可见性判别侧面侧面投影重影投影重影 由正面由正面( (水平面水平面) )投影判断投影判断左右：左右： X 值大在左，可见；值大在左，可见； X 值小在

14、右，不可见。值小在右，不可见。侧面侧面投影重影投影重影？二、直线上的点二、直线上的点三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性(一一) 直线投影图的画法直线投影图的画法用线段表示直线。用线段表示直线。abXbaOa”b”ZYHYW一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性（二）直线对投影面的各种相对位置（二）直线对投影面的各种相对位置投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）

15、正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面1).1).水平线水平线V BAabaa” b” b1)1)ab = AB ; ; 2)2)反映反映、实角实角; ;3)3)ab OX 轴，轴，a”b OYW 轴。轴。实长实长XZYabbYWbaZYHOaX实长实长投影特性投影特性1.投影面平行线投影面平行线VabAXBbaOb”Z Ya”XbaOb”ZYHYWa”ba实长实长2).2).正平线正平线1)1)ab

16、= = AB ； 2)2)反映反映 、实角；实角；3)3)ab OX 轴，轴，abOZ 轴。轴。 实长实长投影特性投影特性1.投影面平行线投影面平行线3).3).侧平线侧平线1)1)a” b” = =AB ； 2)2)反映反映、实角；实角；3)3) abOY 轴，轴，abOZ 轴。轴。投影特性投影特性VAXBOZ Y实长实长实长实长 abbaZXbaOb”YHYWa”baa”b”1.投影面平行线投影面平行线1).1).铅垂线铅垂线VabAXB（b）aOb”a”ZYWOXba( (b ) )abZYHYa1)1)ab 积聚为一点；积聚为一点；2)2)ab = = a”b” = = AB ；3)3

17、)ab OX 轴轴, , a”b” OYW 轴。轴。投影特性投影特性积聚性积聚性实长实长2. 投影面垂直线投影面垂直线2).2).正垂线正垂线1)1)ab 积聚为一点；积聚为一点；2)2)ab = =a”b” = =AB ；3)3)abOX 轴，轴，a”b” OZ 轴。轴。aYW YHZbaba(b )XOVXOZ Ya（b）abb” a” AB投影特性投影特性积聚性积聚性实长实长2. 投影面垂直线投影面垂直线VXOZ Y 3).3).侧垂线侧垂线1)1)a”b” 积聚为一点；积聚为一点；2)2)ab = =ab = =AB ；3)3)abOYH 轴轴, , ab OZ 轴。轴。aab( (b

18、”) ) a” bB AHYW YZ(b” )a“ bbaaXO投影特性投影特性积积聚聚性性实长实长实长实长2. 投影面垂直线投影面垂直线VabAXBbaOa”b”zYabXbaOa”b”ZYHYW投影特性：投影特性： 三个投影长都缩短；三个投影长都缩短； 三个投影都倾斜于相应的投影轴。三个投影都倾斜于相应的投影轴。与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线3. 一般位置直线一般位置直线原理分析原理分析1 1V XZ YO ABB0 为直角三角形为直角三角形B0AB0=abBB0=zb-zaB Aaba b实实长长zb-za已知线段已知线段ABAB的的V V面、面、H H面投影，求面投影

19、，求ABAB的实长。的实长。扩展：直角三角形法求一般位置线段的实长扩展：直角三角形法求一般位置线段的实长原理分析原理分析2V XZ YO A A0B 为直角三角形为直角三角形A0 A0B=abAA0=ya-ybB aba b实实长长ya-ybA例例1 1 求线段求线段AB 的实长及的实长及。ab aboX实长实长所得直角三角形的斜边即实长所得直角三角形的斜边即实长AB 。AB 与与a b 的夹角为的夹角为 。1.1.以以ab 为一直角边；为一直角边；2.2.取取zb- za 为另一直角边为另一直角边; ;方法方法zb-zazb-za解题完毕解题完毕V XZ YO B0B Aababzb-za

20、babaX例例2 2 求线段求线段AB 的实长及的实长及。oAB所得直角三角形的斜边即实长所得直角三角形的斜边即实长AB 。AB 与与ab 的夹角为的夹角为。1.1.以以ab 为一直角边；为一直角边；2.2.取取ya - yb 为另一直角边为另一直角边; ;方法方法ya-ybya-ybV XZ YO A0 B ababA思考：思考： 从属性从属性点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上，点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上，且点的投影符合点的投影规律。且点的投影符合点的投影规律。已知直线已知直线AB的点的点C的水平投影的水平投影c ，求另两投影，求另两投影 。二、直线上的点二、直线上的点定

21、比性定比性点分线段之比投影后不变。点分线段之比投影后不变。已知侧平线已知侧平线AB的两投影和直线上点的两投影和直线上点S 的正面投影，求水平投影的正面投影，求水平投影 。方法一方法一 方法二方法二 例例3 3 判断点判断点K 是否在是否在AB 直线上直线上。X O abab k k否否例例4 4 判断点判断点C 是否在是否在AB 直线上直线上。a”b”c”aabbX O YWZ YH cc两种判断方法：两种判断方法：从属性从属性-作侧投影作侧投影:否否定比性定比性-分析比例关系分析比例关系: ac / / cb ac / / cb否否空间两直线可以有三种不同的相对位置空间两直线可以有三种不同的

22、相对位置：平行平行 相交相交 交叉交叉 同面直线同面直线 异面直线异面直线 三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置V XZ Y O 两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行a bcdabcdACBD平行平行O X abbacddc平行平行即若即若ABCD则则abcd ； abcd 。（一）两直线平行例例5 5 过点过点E（e、e）作直线作直线AB。O X eeabba若使若使 EF AB，须须 ef ab ；efab 。ff 分析分析: :作图作图: :解题完毕解题完毕V XZ Y空间两直线相交，其同面投影必相交，且交点的空间两直线相交，其同面投影

23、必相交，且交点的投影符合点的投影规律。投影符合点的投影规律。B CababOADddcckkKOX abbacddckk（二）两直线相交V XZ YD ACBcdbabadc( (2 ) )13( (4 ) )既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。投影图上的交点是投影图上的交点是重影点。重影点。O X abbacddc（2）13（4）4312 不符合投影规律不符合投影规律O （三）两直线交叉（异面）例例6 6 判断判断AB 、CD 两直线的相对位置。两直线的相对位置。交叉交叉O Xabbacddc分析：分析：判断判断方法：方法：方法一作第三投影（略）方法一

24、作第三投影（略）方法二按定比性。（略）方法二按定比性。（略）方法三：方法三： 假定假定AB、CD平行，则平行，则ABCD 共面，共面，AD 和和BC 必相交，必相交，AB、CD 两交叉直线。两交叉直线。结论：结论：平行？平行？ 交叉？交叉？作图：作图：平面的投影二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性三、平面内的点和直线三、平面内的点和直线一、平面的表示方法一、平面的表示方法abcabc不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点abcabc直线及线直线及线外一点外一点abcabcdd两平行直线两平行直线abcabc两相交两相交直线直线abcabc平面平面图形图形ACB用不在一条直线上

25、的三个点表示平面。用不在一条直线上的三个点表示平面。1 1）几何元素表示法）几何元素表示法一、平面的表示法一、平面的表示法2 2）迹线表示法）迹线表示法V X XZ ZY Y迹线：迹线：平面与投影面的交线。平面与投影面的交线。P PP PV VP PH HP PWWP PX XP PY YP PZ Z规定：规定：V V、H H、W W 各面迹线分别用各面迹线分别用P PV V、P PH H、P PW W 表示。表示。 X XZ ZY YH HY YW W O OP PV VP PZ ZP PX XP PH HP PY YH HP PYWYWP PWWO O 平面对于三投影面的位置可分为三类平面

26、对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面侧平面侧平面 水平面水平面二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性三个投影均是三个投影均是投影特点：投影特点：与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜1、一般位置平面、一般位置平面例例 包含包含A（a，a）作一般位置平面。作一般位

27、置平面。任作两相交直线决定一平面任作两相交直线决定一平面. .bcbcaxoa无数解无数解! !V XZY(1).(1).铅垂面铅垂面积聚性积聚性类似性类似性类似性类似性c”b”a”cbacbaYW ZYHXbaCBAcbac” a”投影特点：投影特点：H 投影积聚为投影积聚为- -倾斜线倾斜线；反映反映和和V 投影和投影和 W 投影为投影为类似形类似形。Ocb”O2. 投影面垂直面投影面垂直面V XZY （2 2）. .正垂面正垂面a”b”c”d ”abcdYW ZYHX积聚性积聚性类似形类似形类似形类似形OV 投影积聚为投影积聚为- -倾斜线倾斜线；反映反映和和；H 投影和投影和W 投影为

28、投影为类似形类似形。投影特点：投影特点：ABCDOc ( (b ) )d ( (a ) )2. 投影面垂直面投影面垂直面Y V XZ（3 3）. .侧垂面侧垂面W 投影积聚为投影积聚为- -倾斜线；倾斜线；反映反映和和 ；H 投影和投影和 V 投影为类似形。投影为类似形。YW ZYHX积聚性积聚性类似形类似形类似形类似形投影特点：投影特点：OO2. 投影面垂直面投影面垂直面例例1 1 包含包含A（a，a）作作=30 的正垂面。的正垂面。aaxo30 两相交直线决定平面两相交直线决定平面bcbcdd例例2 2 包含包含AB（ab，ab ）作铅垂面。）作铅垂面。ababXOcc例例3 3 完成侧垂

29、面的水平投影。完成侧垂面的水平投影。123451“2“4“ （3“）5“ （6“）165243侧垂面侧垂面注意：注意： V、H 投影的投影的“类似性类似性”。投影分析：投影分析：XOZYHYW6V XZYo（1 1）. .水平面水平面CABabca”b”c”abc投影特点：投影特点：H 投影反映实形；投影反映实形；V 投影和投影和 W 投影积聚为直线；投影积聚为直线；积聚投影垂直于积聚投影垂直于OZ 轴。轴。YW YHXZabcabca”b”c”实形实形O3. 投影面平行面投影面平行面V XZYo（2 2）. .正平面正平面投影特点：投影特点：V 投影反映实形；投影反映实形；H 投影和投影和

30、W 投影积聚为直线；投影积聚为直线；积聚投影积聚投影都垂直于都垂直于OY 轴。轴。YW YHXZ实形实形O3. 投影面平行面投影面平行面V XZY o（3 3）. .侧平面侧平面投影特点：投影特点：W 投影反映实形；投影反映实形；H 投影和投影和 V 投影积聚为直线；投影积聚为直线；积聚投影垂直于积聚投影垂直于OX 轴。轴。XZYHYW实形实形O3. 投影面平行面投影面平行面例例 包含点包含点A（a，a）作正平面。作正平面。aaxo 正平面的水平投影为一条正平面的水平投影为一条OX 轴的直线。轴的直线。bcbc1. 平面上的点平面上的点 点在平面内的条件是：点在平面内的条件是：点在该平面内的一

31、条线上。点在该平面内的一条线上。 xo 三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线例例1 1 已知点已知点K 在平面在平面ABCD 内内，据据k 求求k。作图分析：作图分析： 在平面内取一条过在平面内取一条过K 点点的直线，如的直线，如AI I 。使。使k 在在a 1上，则上，则K 在平面内。在平面内。ka b c cadOXd bk11作图：作图：解题完毕解题完毕从属性从属性例例2 2 完成平面四边形完成平面四边形ABCD 的水平投影。的水平投影。作图分析：作图分析：平面平面四边形四边形ABCD 的的对角线必相交。对角线必相交。kcXa b c adOd bk作图：作图：解题完毕解题完毕例例3

32、 3 试判断试判断K 点是否在平面内点是否在平面内。分析：分析：cXa c adOd b bkk11作图：作图： KD 与平面内的线不平与平面内的线不平行或相交。行或相交。点点K 不在平面内不在平面内解题完毕解题完毕 K 与平面内任一点连线与平面内任一点连线, ,若若K 在平面内则该连线应与在平面内则该连线应与平面内的线平行或相交。平面内的线平行或相交。直线在平面内的条件是：直线在平面内的条件是：通过平面内的两点通过平面内的两点或或通过平面内一通过平面内一点并平行于平面内的另一直线。点并平行于平面内的另一直线。 (a) 通过平面内的两点通过平面内的两点 (b) 过平面内一点且平行于平过平面内一

33、点且平行于平面内的一直线面内的一直线2平面上的直线平面上的直线xo xo 例例1 1 在平面在平面ABC 内作一任意直线。内作一任意直线。122abcXOabc1无数解无数解! !例例2 2 判断直线判断直线 是否在是否在ABC 平面内。平面内。122abcXObac1否否3443例例3 3 在平面在平面( (ABCD ) )内作直线内作直线EF V 面，使距离面，使距离V V面为面为15 。eff15bbaaXdccOde解题完毕解题完毕2.5 2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置关系直线与平面以及两平面之间的相对位置关系相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直三种情况三

34、种情况.平行平行 直线直线与与平面平面平行平行 平面平面与与平面平面平行平行包包 括括相交相交 直线直线与与平面平面相交相交 平面平面与与平面平面相交相交包包 括括垂直垂直 直线直线与与平面平面垂直垂直 平面平面与与平面平面垂直垂直包包 括括 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行的几何条件是：直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 线面平行问题就归结为线面平行问题就归结为两问题两问题: 面上取线面上取线线线平行线线平行一、平行问题一、平行问题 分析：分析： 作图：作图： 例例1 已知直线已知直线MN与平面与平面ABC平行平行,求水平投影。求水

35、平投影。例例2 2 含点含点（1 1，1 1）作平面与直线）作平面与直线ABAB（ab b，ab b）平行。平行。1.1.作作1 3 ab ； 13 ab ；3322XO abab11作图：作图：2.2.任作任作12 ，12 。 则平面则平面平行平行于直线于直线AB 。分析：分析：例例3 3 判断直线判断直线AB 与平面与平面是否平行。是否平行。1.1.在平面内取直线在平面内取直线D ， 使使1d ab ；abab11作图：作图：2.2.连接连接1d ；1d 与与ab 不平行，不平行，平面平面 与直线与直线AB 不平行。不平行。分析：分析：XO 2323dd2. 平面与平面平行平面与平面平行

36、若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应对应平行于平行于另一平面上的另一平面上的两相两相交直线交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。cfbdeaabcdef 两投影面两投影面垂直面平行垂直面平行，在它们所垂直的投影面上，它，在它们所垂直的投影面上，它们的们的积聚性投影积聚性投影相互相互平行平行。pQXqqppP Qp q0二、相交问题二、相交问题 直线与平面相交直线与平面相交交点交点:直线与平面的共有点。直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求交点。求交点。 判别可见性。判别可见性。利用利用积聚性积聚性，直接作图。，直接作图。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处

37、于我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置特殊位置的情况。的情况。解决问题的方法解决问题的方法:判别可见性判别可见性: 直观判断法直观判断法 重影点判断法重影点判断法求交点：求交点：通过辅助平面作图。通过辅助平面作图。例例1 求铅垂线求铅垂线MN与一般位置平面与一般位置平面ABC的交点的交点 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 直观判断法直观判断法重影点判断法重影点判断法ocbacbaxdeedkkBAECD 例例2 2 求直线求直线AB 与平面与平面CDE 的交点。的交点。 分析：分析：Kk 作图：作图： 从属性从属性ocbacbaxdeedkk 可见性判别：可见性判别：

38、方法方法1 1：根据空间位置关系根据空间位置关系前，可见前，可见界界V 投影投影投投射方向射方向BAECDKk后，不可见后，不可见kb 可见，线段描粗；可见，线段描粗；k2 不可见，画细虚线。不可见，画细虚线。ocbacbaxdeedkk 可见性判别：可见性判别： 方法方法2 2： 利用重影点利用重影点2112( )2 2在前在前BAECDKk解题完毕解题完毕2 平面与平面相交平面与平面相交两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，交线是两平面的共有线，同时同时交线交线上的点都是两平面的共有点。上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求交线。求交线。

39、 判别可见性。判别可见性。利用利用积聚性积聚性，直接作图。，直接作图。 我们只讨论两平面中至少有一个处于我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置特殊位置的情况。的情况。解决问题的方法解决问题的方法:判别可见性判别可见性: 直观判断法直观判断法 重影点判断法重影点判断法求交线：求交线：通过辅助平面作图。通过辅助平面作图。求出两个共有点，求出两个共有点，然后连线。然后连线。BACEFDocbacbaxdfeefd 例例1 1 求两平面求两平面ABC 与与DEF 的交线。的交线。 分析：分析： DEF 为铅垂面，交线的为铅垂面，交线的H 投影已知；根据从属性，求交投影已知；根据从属性，求交线的线的V

40、 投影。投影。abckllkKLklocbacbaxdfeefd 判别可见性：判别可见性： 根据空间位置关系判别。根据空间位置关系判别。前，可见前，可见后，不可见后，不可见界界kl ll lk解题完毕解题完毕V 面面投影投影投射方向投射方向BACEFDabcKLkl lkocbacbaxddefggef 例例2 2 求两平面求两平面EFG 和和ABCD 的交线。的交线。 分析：分析： EFG 为水平面为水平面; ;kl ll l 交线的交线的V 投影已知；根据从投影已知；根据从属性，求交线的属性，求交线的H 投影。投影。kLocbacbaxddefggef 判别可见性：判别可见性： 根据空间位

41、置关系判别。根据空间位置关系判别。上上,可见可见下下,不可见。不可见。H 投影投投影投射方向射方向kl l界界解题完毕解题完毕kl lkLQkl lcbacbaxQVkl l 例例3 3 求平面求平面Q 与平面与平面ABC 的交线。的交线。 分析：分析： Q 面为正垂面面为正垂面; ; 交线的交线的V 投影已知；根据从投影已知；根据从属性，求交线的属性，求交线的H 投影。投影。kLBACkl lcbacbaXQVk 判别可见性：判别可见性： 根据空间位置关系判别。根据空间位置关系判别。上上,可见可见下下,不可见。不可见。界界解题完毕解题完毕H 投影投投影投射方向射方向l lQkLBAC例例4

42、4 求两正垂面求两正垂面ABCABC和和DEFDEF的交线的交线 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 交线应在交线应在两三角形的公两三角形的公共部分。共部分。 直观判断法直观判断法重影点判断法重影点判断法小结直线和平面、平面和平面相交：直线和平面、平面和平面相交： 基本问题基本问题 性质性质 求共有点的方法求共有点的方法1.1.利用积聚性，确定交点的已知投影直接作图；利用积聚性，确定交点的已知投影直接作图；2.2.通过辅助平面作图。通过辅助平面作图。1.1.求交点、交线；求交点、交线； 2.2.判别可见性。判别可见性。共有点；共有线。共有点；共有线。求交点求交点求直线和平面的共有

43、点；求直线和平面的共有点；求交线求交线求出两个共有点，然后连线。求出两个共有点，然后连线。当空间几何元素相对投影面处于当空间几何元素相对投影面处于特殊位置特殊位置时，可在时，可在投影图中直接反映出投影图中直接反映出实形实形、距离距离、交点交点、位置位置等关系。等关系。一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？ 如何求一般位置如何求一般位置解决方法：解决方法：更换投影面更换投影面。换面法：换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面

44、（辅助投影面）代替原有投影面，使替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置有利位置，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。 2.6 投影变换投影变换二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则VHAB a bab1. 新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。最有利的解题位置。 平行平行于新的投影面于新的投影面 垂直垂直于新的投影面于新的投影面2. 新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以

45、构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a1 b1 （1）换面法的基本投影规律）换面法的基本投影规律 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系X 1 V1H A点的两个投影：点的两个投影：a，a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 a. 新投影体系的建立新投影体系的建立b. 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1 ax1 = aax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。的距离。一般规律：一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。点的新投影和与它有关的原投影的连线

46、，必垂直于新投影轴。c.求新投影的作图方法求新投影的作图方法XVHaaax更换H面VHXV1HX1 确定新的投影轴确定新的投影轴; 由点的不变投影向新投影轴作垂线；由点的不变投影向新投影轴作垂线； 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。替的投影到原投影轴的距离。aaX1H1Va1axax1ax1更换V面a1 作图规律：作图规律：.（2）换面法的四个基本问题）换面法的四个基本问题a将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线例：求一般位置直线例：求一般位置直线AB 的实长的实长用用V1面代替面代替V面，在面，

47、在V1/H投影体系中，投影体系中，AB/V1。空间分析空间分析：新投影轴的位置？新投影轴的位置？X1轴轴/ ab求求 ，换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图方法：作图方法：b将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面平行线变换成投影面垂直线X1轴轴ab 例：将水平线例：将水平线AB变换为投影面垂直线变换为投影面垂直线 空间分析空间分析：用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，ABV1。.换换H面行吗？面行吗？不行！不行！新投影轴的位置？新投影轴的位置？作图方法：作图方法：c将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面作图方法：作图方法：思考：思考：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！新投影轴的位置？新投影轴的位置？X1轴轴 cd例例:将一般