硕士研究生入学考试概率论习题训练

1、 2013年硕士研究生入学考试概率论习题训练一、填空（或选择）题 （ 每空 2分, 共20分）1.设A，B为两个随机事件，且，则 0.4 2.设随机变量与Y相互独立同分布，,1；则 1/2 3.有三个人，每个人都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中恰有两人的概率是 9/64 4.设随机变量X与Y独立，X服从二项分布，Y服从上的均匀分布。则=；5.有5个人以抓阄方式决定谁得一张电影票，今设=第i人摸到电影票，,5。则概率 1/5 6.设随机变量服从t分布，给定，数满足，若，则=7.设随机变量的分布函数为，。为使是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（ A ）(A). (

2、B). (C). (D). 8.设随机变量相互独立，服从两点分布， ()，由中心极限定理知，当充分大时，随机变量渐近服从分布(写出该分布的参数)。9.将一枚硬币投掷20次，以分别表示出现正面与反面的次数，则相关系数 -1 二、（14分）盒中有12只球，其中9只新球。第一次比赛从中任取3球，用后放回，第二次比赛从中再取3球。求：(1) 第二次取出的球都是新球的概率；(2) 若第二次取出的都是新球，第一次取出的都是新球的概率是多少？解：令=第一次取出个新球，；B=第二次取出的都是新球；(1) 由全概率公式： = = (2) 由贝叶斯公式：= 0.2381 三、（14分）设随机变量(X, Y)具有联

3、合概率密度(1) X与Y是否独立，为什么？(2) 求概率P(X+Y£1)。解 (1) . 由于，故X与Y不独立。 (2) .四、（12分）设随机变量与相互独立，若，求数学期望及方差。解：由于， 五、（12分）设和分别是来自两个相互独立的正态总体的样本，和是两个已知的正实数。试求统计量的概率分布（要求写出分布的参数）。其中和分别是总体和的样本均值和修正样本方差。解：由题设可知，样本和相互独立，所以，且相互独立。从而，也即。又因为，且两者相互独立。再由分布的可加性知：。从而根据T分布的定义。六、（14分）设总体X的概率密度函数为为来自总体X的样本。(1) 分别求和的最大似然估计量及；(2

4、) 是否为无偏估计量，为什么？ (3) 是否为相合估计量，为什么？解：(1)设样本的观测值为，并记，则似然函数为。可见，似然函数关于是单调增加的。由于，所以对于每给定的，在处取到相应的最大值，因此，的最大似然估计值为。接着，将代上述似然函数（非零的一支），并对取对数，可得上式关于求导，并令其为0，可得因为，所以求解上式，可得从而有和的最大似然估计量分别为，(记)(2) 总体X的分布函数为因此，的概率密度函数为算得因此，不是无偏估计量。(2) 因为，算得，。从而有。可见，是相合估计量。七、（14分）已知某厂生产的钢筋其强度服从正态分布，均未知，某日抽取5根测得强度值如下：，。(1) 求参数的置信度为的置信区间。(2) 检验假设， (显著性水平为)已知临界值为：七、（14分）解（1） ， =1.374=0.00872, 故置信下限为 =5.852410-4置信上限为 =于是的置信度为0.99的置信区间 5.8524，