均值不等式练习题

1、利用均值不等式求最值的方法勺+ b均值不等式ab(a 0, b 0,当且仅当a = b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它2可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1凑系数例1.当0 ： x ： 4时，求y = x(8 -2x)的最大值。解析：由0 ： x : 4知，8-2x 0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个 式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 -2x) =8为定值，故只需将 y二x(8-2x)凑上一个系数即可。1 1/2x 8-2x、2 cy =

2、x(8 -2x)2x (8 -2x)()= 82 2 2当且仅当2x = 8 - 2x，即x = 2时取等号。所以当x= 2时，y=x(8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最 大值。2凑项51例2.已知x，求函数f(x) =4x-2的最大值。44x 51解析：由题意知4x -5 ： 0 ,首先要调整符号，又(4x -2) 不是定值，故需对4x - 2进行凑4x5项才能得到定值。 x : 5 , 5 - 4X 04(x)=4x _214x -5(5 4x1kmx)5-4x 一亠1当且仅当5-4x，即x =1时等号成立。5

3、4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离2例 3.求 y = x一 7x 10 (xh -1)的值域。x + 1 )的项，再将其分离。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(2 2x +7x+10 (x+1) +5(x+1)+4/ 八 4y(x 1)5x +1x +1x +1当x 10，即X . -1时八2(x x419 (当且仅当X = 1时取7号)。当 x ： 0，即 x :： -1 时心-2(x 7 x41二1 (当且仅当x = 3时取2x2 +7x +10-y =(xh 1)的值域为(-:：,1 9,：)。A评注：分式函数求最值，通常化

4、成y =mg(x) g(x)B(A 0,m 0)，g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知a 0,1 1b 0, a，2b=1，求t =-的最小值。a b11-) 1 :=(-ba2ba+_2ab2ba+_ab22ba2.ab=1-3-3(丄a1解法1 ：不妨将一a1乘以1，而1用a + 2bb1-) (a 2b)b代换。当且仅当丝a工2b a时取等号，由abLaa =恋2 -1得b=12a =寸2 111l即！冃时，t =丄+丄的最小值为3 +2 J2 。b =12a bI21 1解法2 :将分子中的1用a 2b代换。a ba 2ba 2b , 2b a

5、c1 2ba b2b a=33 2 2b评注：本题巧妙运用“ 1 ”的代换，得到3-，而 选 与-的积为定值，即可用均值不等式a b a b1求得t =a1+ 的最小值。b三、换元例5.求函数y的最大值。解析：变量代换，令t2t，则 y“1 _ 2t -t1当且仅当2t =丄t2时取等号。24#3max故x = - 时,2评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而 为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例 6.求函数 y = i2x -1 5 - 2x（- : x ： 5）的最大值。2 2解析：注意到2x -1与5 -2x的和为定值。y2 =( .

6、 2x 1. 5 2x)2=42 . (2x - 1)(5 -2x)0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0与xv 0讨论.1(1) 解法一：I 0 vx v ,.1-3x 0.3 y=x(1-3x)=丄 3x(1-3x)丿3x (1一凶 2=丄，当且仅当 3x=1-3x ,即 x=时，等号成立.二 x=时, 33212661函数取得最大值丄.121 1解法二：0 V x V-X 0.3 3111x= -x,即x= 时，等号成立361XX1 y=x(1-3x)=3x( 1 -x) 0时，由基本不等式，得y=x+ 1 2=2,当且仅当x=1时，等号成立xx当x V 0时,y=x+(-x)+1(-

7、X)6# -x o,.(-x)+1 2当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立(x)-x y=x+ -1时,求f(x)=x+的最小值.X +1# 1思路分析：X -1= X+1 0,变X=X+1-1时X+1与的积为常数X +1解： x -1, x+1 0. f(x)=x+1=x+1 +X 1-1 (x 1) 1(X 1)-1=1.#1当且仅当x+1=，即x=0时取得等号X 1f(x) min = 1.变式训练2求函数y=x4 3x23x21的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求 解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子

8、，原式即可展开解：令 t=x2+1，则 t 且 X2=t-1.42x 3x 32X 12(t 一1)3(t -1)3t1=t 11.t t 1.,.t+1 21=2,当且仅当t tt=1,即t=1时，等号成立t当x=0时，函数取得最小值3.19例2已知x 0,y 0,且 +一 =1，求x+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下 面给出三种解法，请仔细体会 .解法一：利用“1的代换”，19+ =1,x yx+y=(x+y) (! + - )=10+ y 空x y x yy 9x y 9x-x 0,y 0,=6.xyY xy

9、y 9x当且仅当，即y=3x时，取等号x y19+=1,. x=4,y=12.x y当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由1 + 9 =1,得x= y .x yy -9/ x 0,y 0, y 9.yy9*999x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y -9y_9y_9y_9/ y 9,. y-9 0.y 9 9y -92 (y-9) 9y -9=6.9当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时 x=4. 当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由y 9=1，得 y+9x=xy,y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y- 9) 10

10、+2 (x - 1)(y - 9) =16,19当且仅当x-1=y-9时取得等号.又丄+ 9 =1,x y x=4,y=12.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察，学会变形，另外解法二，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：1+ 9佟，即 6.X y , xy xy x+y2 xy 2X 6=1 x+y 的最小值是 12.19产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是丄=9，

11、不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目x y中连续运用了两次基本不等式，但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论a b变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1 , x+y的最小值为18,求a,b的值x y思路分析：本题属于“ 1的代换问题.abbxaybxay解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.xy yxyx/ x,y O,a,b 0, x+y 10+2. ab=18，即,ab=4.又 a+b=10,a =2a =8, 丿或*b =8b =2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值(Ov x v 1).lg x思路分析：T 0v x v 1,4 lgx

12、 v 0, v 0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负 lg x号变正数.解:0 v xv 1,1 lgx v 0,4lg xv 0.1 -lg x 0. (-lgx)+(-lg：)lgx)(lgx)=4. lgx+4lg x-4. f(x)=3+lgx+4lg x 0,匚空丄汽3-2x *823 -2x23-2x=4,当且仅当+ ,23 2x23%，即1x=-时取等号2#355于是产4+厂2，故函数有最大值込例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成图 3-4-1(1) 现有可围36 m长网的材料，每

13、间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2) 若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度 最小？思路分析：设每间虎笼长为 x m，宽为y m，则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而则是在 xy=24的前提下来求 4x+6y的最小值.解：(1 )设每间虎笼长为 x m，宽为y m，则由条件，知 4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为 S,则S=xy.方法一：由于 2x+3y2 2x 3y =2 6xy ,2727 2J6xy 赳得 xy二，即 S亍当且仅当2x=3y时等号成立J2x=2y,2x +

14、3y = 18,仪=4.5解得丿y = 3.13#故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.3方法二：由 2x+3y=18，得 x=9- y.2/ x 0, Ov y v 6.33S=xy=(9-y)y= (6-y)y.22/ Ov yv 6,6-y 0.s2 2x 3y =2 6xy=24, 48 当且仅当 2x=3y 时，等号成立 .2x =3y,x =6,由丿y解得丿xy=24,)=4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由 xy=24 ,24得 x=24.#96161616 l=4x+6y=+6y=6(+y) 6 X2 y =48，当且仅当 =y，即 y

15、=4 时，等号成立，此时 x=6.y y yy故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：(1) x,y都是正数；(2) 积xy (或x+y )为定值；(3) x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池 (平面图如图3-4-2所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过 16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，

16、并求出最低造价.#思路分析：在利用均值不等式求最值时，必须考虑等号成立的条件，若等号不能成立，通常要用函数的单调性14进行求解.解：设污水处理池的长为x米,则宽为 空 米(Ov x 16,0：迴 16),-. 12.5 x2 X-200 +80 800 Xx +16 000=44 800,xV x324当且仅当 x= (x 0),即 x=18 时等号成立，而 18 一一 : 12.5,16,二 Q(x) 44 800.x下面研究Q(x)在12.5,16上的单调性.对任意 12.5 0淤似2Q(X1). Q(x) 在: 12.5,16上是减函数. Q(x) Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当