平衡问题矢量方法

1、第三章 平衡问题：矢量方法从前一章的力系简化可知，力系最终可以简化为平衡、力、力偶和力螺旋四种情况之一。本章进一步讨论力系的平衡问题，包括平衡条件和平衡方程及其应用。平衡力系作用下，物体保持平衡状态，即对于惯性参照系静止或作匀速直线平移。本章在分析平衡问题时，还考虑了工程中常见的一类摩擦¾干摩擦，研究具有滑动摩擦和滚动摩擦时的平衡问题。平衡问题的是静力学的核心内容。静力学在工程中有重要意义，是设计结构、构件和机械零件时静力计算的基础。因此，静力学在工程中有广泛应用。研究平衡问题可以采用矢量方法和能量方法。本章叙述基于受力分析的矢量方法，能量方法将在第九章中叙述。本章首先根据平衡条件导

2、出平衡方程并讨论在在几类特殊力系中的特殊形式，区分静定和静不定两类平衡问题，说明应用平衡方程的步骤。然后分析带摩擦的平衡问题，包括滑动摩擦力，摩擦角和滚动摩擦。最后，简要介绍平面静定桁架计算的节点法和截面法§3.1 力系的平衡方程和应用 1平衡方程 由第二章知，力系向一点简化可以得到一力和一力偶，分别等于力系主矢和对该点的主矩。主矢和主矩同时为零是力系平衡的充分和必要条件，即 ， , ()将矢量式()向互不平行且不在同一平面上的三个坐标轴x, y, z投影，可以得到等价的标量方程组 ()通常取坐标轴x, y, z互相垂直而成直角坐标系。方程()称为力系的平衡方程，是平衡方程的一般形式

3、。习惯上，称式中前三个方程为投影式，后三个方程为力矩式。作为上述平衡方程的应用，讨论几类特殊力系平衡方程的形式。(1) 平面力系 图3.1二矩式失效：AB连线与轴垂直 三矩式失效：A、B、C三点共线若力系中各力的作用线在同一平面内，该力系称为平面力系。不失一般性，设xy平面为力系所在平面，此时力系中各力在z轴上的投影恒零，且对x和y轴的力矩也为零。因此，方程()中第三、四和五方程自然成立，不论该力系是否平衡。式(3.1.2)中对轴的力矩可以理解为是对z轴与xy平面交点，即xy平面上任意一点A的力矩。此时，方程退化为 ()式()为平面力系的平衡方程。 除式()外，平面力系还存在不同形式的平衡方程

4、。平面力系向一点简化的结果是一力和一力偶，平衡方程是要确保这两者均为零，除称为一矩式的外，还可以写作二矩式 ， (3.1.4)其中要求轴与两矩心的连线不垂直。倘若不满足该条件，力系可能满足方程(3.1.4)但不平衡，如图3.1所示。平衡方程还可以写作三矩式 ， (3.1.5)其中要求三点不在一直线上。否则，力系可能满足方程(3.1.4)但不平衡，如图3.1所示。在具体应用中，以方便为原则，选择合适的方程形式，以利于解题。(2) 汇交力系 不失一般性，设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y, z轴的力矩都为零。方程()中后三个方程恒成立。此时，方程退化为

5、 (3.1.6)式(3.1.6)为汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系，力系在与所在平面垂直的轴上的投影恒为零，记该轴为z轴，则平面汇交力系的平衡方程为 (3.1.7)(3) 平行力系 不失一般性，设力系中各力作用线均与z轴平行而与x, y轴垂直。则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y轴的投影和对z轴的力矩恒为零。方程()中前两个和最后一个方程自然成立。此时，方程退化为 ， (3.1.8)式(3.1.8)为平行力系的平衡方程。式(3.1.8)中对轴的力矩等同于对平面中的点的矩。对于平面平行力系，进一步设力系在y, z平面内，则对y轴的矩恒为零，而与力系平衡与否无关。因此，平面平行力系的平衡

6、方程为 ， (3.1.9)(4) 力偶系 由于力偶在任意轴上的投影为零，因此，式(3.1.2)中前三个方程成为恒等式而与力系平衡与否无关。此时，方程退化为 (3.1.10) 式(3.1.10)为力偶系的平衡方程。对于平面力偶系，设力偶作用平面均为xy平面，则力偶矩矢均与x, y轴垂直而投影为零。因此，平面力偶系的平衡方程为 (1) 2 静定和静不定问题各种力系的平衡方程的数目不同，而且同一种力系的平衡方程还可具有不同形式。值得注意的是，尽管同一力系具有不同形式的平衡方程，但其中独立方程的个数却是相同的。见表3.1。表3.1 力系形式与平衡方程的个数力系形式独立方程数力系形式独立方程数一般力系6

7、平面力系3汇交力系3平面汇交力系2平行力系3平面平行力系2力偶系3平面力偶系1如果系统约束力的未知分量的数目正好等于系统平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题。在某些问题中，未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目，因此，仅由平衡方程不能无法求得全部未知约束力分量。这类平衡问题称为静不定问题。对于静不定问题，由于未知量的数目大于独立的平衡方程的数目而使问题不能在静力学范围内完全解决。为确定所有未知量，还必须增加补充方程，即变形协调方程，这将在材料力学或结构力学中讨论。例3.1-1：分析四脚凳的静不定性。解：四脚凳受到人的重力和地面对四个脚的约束力作用，这5个力组成空间平行力系。平衡方程数为

8、3，但约束数为4，所以是1次静不定。 （a） （b） （c）例3.2-2图例3.2-2：判定图示平衡问题静定与否。解：分析见以下表：A处未知约束力分量数B处未知约束力分量数C处未知约束力分量数总未知约束力分量数约束力构成的力系及其独立方程数图a2114平面一般力系，3图b224平面一般力系，3图c314平面一般力系，3因此均为静不定问题。 3 力系平衡方程的应用基于第一章讨论物体受力分析和受力图，可以应用这些平衡方程求解刚体或刚体系统的平衡问题。解题的基本步骤如下：(1) 根据题意确定研究对象。这是正确解题的前提，许多问题中要依次取多个物体为研究对象。合适的顺序可以提高解题效率并避免出错。(2

9、) 解除研究对象的约束，即取分离体。约束的存在就表示有约束力作用，解除约束方可代之以约束力。(3) 画出研究对象的受力图，包括所有的主动力和约束力。特别要注意的是内力不画。(4) 列出平衡方程并求解。为减少解方程的工作量，列出方程尽可能包含较少的未知量。例3.1-3 图a 走动式起重机(5) 检查核对，并分析解的适用性。工程中的力学计算必须确保计算无误，核对分析尤其重要。 下列例题说明平衡方程的应用。例3.1-3：走动式起重机如图示。为了防止满载时向一边翻倒，在另一边放有平衡重，但有必须防止空载时向平衡重的一边翻倒。试在下列数据下确定平衡重的重量及其位置。已知：起重机自重，重心在C点；起重量；

10、几何尺寸为。解：以起重机为研究对象。由于对称性，重力和约束力在对称平面内组成平行力系，受力图如图示。满载平衡时，约束力满足, （a）, （b）解出 ，满载时，增大或和减小都将使减小。约束不可能提供一个向下的力，因此，满载时起重机不顺时钟翻倒的条件是，即 （c）例3.1图b 平衡重的重量及其距离的取值范围空载时，平衡条件方程为式（a）和（b），其中。此时，或的增大将使减小。空载时起重机不逆时钟翻倒的条件是，即 ， （d）将已知数据代入式（c）和（d），得到， （b） （c）例3.1-4图由于这两个不等式给出的是解是平面上的一个区域，所以，可以用几何图象表示，如例3.1图（b）所示。理论上讲，当Q

11、和d落在阴影区域内时，起重机满载或空载都不会翻倒，而实际上，由于载荷等因素存在不确定性，Q和d应落在远离边界的阴影区域内。例3.1-4：由梁AB和BC铰接而成的复梁ABC上作用有均布载荷，以及集中力和集中力偶，如图示。试求A、C处的约束力。解：解除铰链约束后，梁AB和BC的受力图如图b和图c。先以梁BC为对象（图c），列平衡方程并解出约束力， 再以整梁为对象(图a)，列平衡方程并求解 ， ， , , （a） （b）例3.1-5图此结果的正确性可以通过对AB梁（图b）的平衡方程得到校核。例3.1-5：水平梁AB由铰链A和杆CD支持，在B处安装一半径为的滑轮，如图示。跨过滑轮的绳子一端水平地系于C

12、D杆的E点，另一端挂有重量为Q的重物。已知，不计梁AB和杆CD及滑轮的重量，求铰链A、C和D处的约束力。解：首先以整个系统为研究对象，其受力图如图a所示。列平衡方程， （a） ， （b） ， （c）由式(a)和(b)可解出, 式(c)中含有2个未知数，还需拆分系统以得到补充方程。 再以CD杆为对象，其受力图如图b所示。在不计滑轮轴承摩擦的情况下，滑轮一侧绳的拉力等于另一侧所挂物体的重量。列平衡方程并求解 ，将此结果代入式(c)，得 可以利用系统其余部分的平衡方程对上述结果进行校核。例3.1-6：三角形板在A点为铰支座，杆BD上固结有销钉C，构成图示结构。设，不计各构件的重量和摩擦，求铰链支座A

13、和B处的约束力。例3.4图解：这是由三角形板和杆组成的刚体系的平衡问题。A和B是两个固定铰链，各有两个约束力，C和D处是两个光滑面约束，各有一个约束力，所以共有六个未知的约束力。每个刚体都在平面一般力系作用下平衡，各可列出三个共有六个平衡方程。先取三角形板为研究对象，画出其受力图，如图（b），列平衡方程并求解 ， ， ， ， ， ， 再取杆BD为研究对象，画出其受力图，如图（c），注意到，列平衡方程并求解 ，例3.1-7图 ， ，例3.1-7：三根无重直杆在D端用球铰连接，另一端A、B、C用球铰固定在水地板上，如图示。设挂在D端的重物，求铰链A、B、C的约束力。解：由于AD、BD和CD均为二力

14、杆，铰链A、B、C的约束力都是沿杆作用，设杆件受压力，如图a所示。取铰D为对象，列平衡方程 ， ， ，从上述方程解得： (拉)，（压）例3.1-8图其中正号表示与假设方向相同，杆件受拉；负号表示与假设方向相反，杆件受压。本题也可以通过平衡方程的其它形式求解，例如 ，例3.1-8：一重，边长为的正方形匀质钢板，在A、B、C三点用三根铅垂的钢索悬挂，B、C为两边的中点，如图示。求钢索中的拉力。 解：取正方形钢板为研究对象，绳索约束力和重力组成平行力系。平衡方程为 ， ， ，由上三式可以解出例3.1-9图实际上，板的重心恰好也是三角形ABC的重心，因而三根绳的受力自然相同。例3.1-9：在铅垂转动轴

15、AB上固结一水平圆盘，盘上C点作用有力，转动轴上绕有软绳，绳的一端跨过一滑轮后挂一重物，如图示。已知，不计所有的摩擦力，求平衡时重物的重量以及轴承A、B处的约束力。解：以转动和固结的圆盘以及绳的一部分为研究对象。作用有力，绳子拉力，因不计滑轮中的摩擦，有， A 处为止推轴承，B处为向心轴承，受力图如图示。列平衡方程并求解，即重物的重量, , ，至此，求得全部约束力。注意到上面我们列出的方程都只含有一个未知量，避免了解联立方程。此外，列对轴的力矩式也可以求出。§3.2 考虑摩擦的平衡问题1 滑动摩擦力摩擦作为一种自然现象是普遍存在的，只是在一些问题中因接触面之间有润滑使得摩擦力甚小，对

16、平衡问题的影响可以忽略不计的缘故。因此前面在讨论约束和约束反力时引入了光滑面约束和光滑铰链等这些工程中的常见约束。但在另一些问题中，摩擦在物体的平衡中起决定性作用，例如，皮带传动或汽车的行驶等，这时再将摩擦力忽略将使理论结果与实际不符而导致错误。本课程仅讨论有摩擦时物体的平衡问题，而不涉及摩擦产生的机理。 图3.2 滑动摩擦与摩擦力。 当两个接触面有相对滑动或滑动趋势时，其相互作用力并非沿着接触点的公法线，而是与此公法线成一个角度。因此，除了法向分力外，约束力还存在沿接触点公切面方向的分力，它对物体的相对滑动或滑动趋势是起阻碍作用。这种阻碍两接触面间相对滑动或滑动趋势的现象称为摩擦，而产生这一

17、现象的力称为摩擦力。按两接触面间的物理状况可分为干摩擦和粘性摩擦，前者是两接触面间无润滑地接触，产生摩擦的原因是接触表面存在不同程度的粗糙度，即表面凹凸不平造成互相啮合而产生阻力；后者是两接触面间充满液体，形成液体润滑薄膜，此时摩擦力不仅取决于液体与接触面间的相对速度，还取决于液体的粘性。本课程讨论平衡问题时仅涉及干摩擦。研究干摩擦下的平衡问题可考察静止地置于水平桌面上重为W的物块。现在物块上作用一水平力，如图3.2所示。实验表明，当力较小时，物体仍处于静止状态，此时满足平衡方程，从得到。令力从零开始缓慢连续增大，则摩擦力也随之增大。因此，在此情形下摩擦力同普通约束力相同，也是由平衡方程确定，

18、称之为静滑动摩擦力，简称为静摩擦力。但是，作为约束力，摩擦力有其特殊性。当增大以致超过某一值时，物块与桌面就处于相对滑动状态，表明静滑动摩擦力有其上极限值，称为最大静滑动摩擦力。因此，维持物块平衡的摩擦力的值只能在零和之间，即 , () 表3.1常用材料的静摩擦因素接触物体的材料静摩擦因素钢与钢0.15钢与青铜0.15钢与铸铁0.3皮革与铸铁0.4木材与木材0.6砖与混凝土0.76实验表明，最大静滑动摩擦力取决于许多因素，如主动力和接触物体的材料以及接触面的诸多物理因素。1781年法国科学家库仑（Coulomb，C.A.,1736-1806）在大量实验的基础上归纳出以下结论: 最大静滑动摩擦力

19、的方向与相对滑动趋势的方向相反,其大小与正压力成正比,而与接触面积的大小无关,即 , ()比例系数为量纲一的量，称为静摩擦因素,它与两接触面的材料和粗糙程度有关,可在机械工程手册中查到。表3.1中给出了常用材料的静摩擦因素的参考值。式（）称为库仑摩擦定律，它是对最大静滑动摩擦力的近似表达。摩擦定律以其简明和对一般工程问题的足够准确性而被广泛采用。 实验表明，当物体沿接触表面相对滑动时仍存在切向的阻力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。其方向与物体相对滑动的方向相反，大小与正压力成正比，即 , ()比例系数量纲一的量，称为动摩擦因素，它不仅取决与接触物体的材料和接触面的状况，而且还与两接触面滑动的

20、相对速度有关，可在机械工程手册中查到。在一些工程问题中，相同情况下的动摩擦因素和静滑动摩擦因素很接近，常取。例3.2-1图 （a） （b） （c）图3.3法向反力作用线的平移两接触面在相对静止过渡到滑动时存在一个临界平衡状态，此时的摩擦力达到最大值。除了滑动外，几何尺寸不能忽略的物体还存在翻倒这一临界平衡状态。法向反力的作用点并非固定不动，随着主动力的变化而移动，如图3.3所示。当力增大或距离增大时，法向反力的作用点即作用线均要右移（图3.3b），与此同时摩擦力也随着力的增大而增大。当摩擦力尚未达到最大值而的作用点到达A点时，物体处于翻倒的临界平衡状态（图3.3c）。此时使物体倾覆的力偶与反倾

21、覆力偶的平衡即将破坏。当摩擦力达到最大值而的作用点未到达A点时，物体处于滑动的临界平衡状态。例3.2-1：一重的物体放在倾角的斜面上，并受到一水平力作用，如图示。设接触面间的摩擦因数，问物体在斜面上处于静止还是滑动？如果静止，摩擦力的大小和方向如何？若接触面间的摩擦因数，重新考虑上述问题。设动摩擦因素。解：取物体为研究对象。先假设物体处于静止，摩擦力由平衡方程确定。列平衡方程并求解 ， ，按库仑摩擦定律，接触面间的最大静摩擦力为 由于，所以物体在斜面上静止，前面假设是正确的。摩擦力的大小为0.17 kN，方向与假设的方向相反。例3.2-2图若接触面间的摩擦因数，则，从而，表明物体不可能在斜斜面

22、上静止，物体滑动的方向与摩擦力的实际方向相反，这就是说物体下滑。动摩擦因素，按式()，滑动时的摩擦力为。例3.2-2：一重的梯子AB靠在墙上，如图示。设梯与墙面间的摩擦系数。现有一重的人缘梯而上。问梯与地面间的摩擦系数应有多大时，人才能安全到达梯顶？解：若梯与地面间的摩擦系数太小，人就不能爬到梯顶，因此设人到达梯顶时，梯子恰好处于将动未动的临界平衡状态，A和B处的摩擦力达到最大值。取梯为研究对象，列平衡方程：， ， ，将库伦摩擦定律作为补充方程，解得， ，将已知数据代入，算得，。故梯与地面间的摩擦因数为 由此可见，梯与地面间的摩擦因数时，人才能够安全到达梯顶。例3.2-3图例3.2-3：图示均

23、质木箱重，它与地面间的静滑动摩擦因数。图中。1）当D处的推力时，木箱是否平衡？2）能使木箱保持平衡的最大推力是多少？木箱失去平衡时是先滑动还是先翻倒？解：欲使木箱保持平衡，须满足两个条件，其一是不发生滑动，即静摩擦力满足；其二是不绕A点翻倒，要求法向反力的作用线不越过A点，即满足。1）取木箱为研究对象，受力图如图示，假设木箱平衡。列平衡方程， （a）， （b）， （c）代入已知数据解得 ，最大静摩擦力为 因为且，所以木箱既没有滑动也不会翻倒，木箱的平衡假设正确。2）为求使木箱平衡的最大推力，可以分别求出将滑动时的临界推力和将翻倒时的临界推力，两者中较小者即为所求。求将滑动时的临界推力，此时摩擦

24、力达到最大值，式（a）和（b）成为 解出推力并代入已知数据得到 求将翻倒时的临界推力,此时法向反力的作用点移到A点，式（c）成为 代入已知数据可以解得。由于，所以保持木箱平衡的最大推力为 ，上述分析表明，当推力逐渐增大时，木箱先翻倒而失去平衡。图3.4 摩擦角与摩擦锥 2 摩擦角与自锁现象 静止在平面上的物体当存在静摩擦力时，接触面对物体的约束力为正压力与静摩擦力的合力，即 ()称为全反力。全反力与正压力的夹角的正切为。在临界平衡状态下，此角称为摩擦角，记为，显然 ()即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。图3.5 摩擦因数的实验测定在临界平衡状态下，改变主动力在水平面内的方向，若各个方向的摩擦因

25、数相等，则全反力形成以其作用点为顶点，为顶角的锥面，称为摩擦锥。当物体静止时，全反力一定位于摩擦锥内，临界平衡时位于摩擦锥面上。因此，当主动力的合力作用线位于摩擦锥内时，不论这个力多大，接触面一定能产生与之大小相等、方向相反的全反力与之平衡，这种依靠摩擦力维持平衡而与主动力大小无关的现象称为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。若摩擦自锁现象在日常生活和工程技术领域中都能见到。例如设计螺旋千斤顶时就有自锁要求，以使重物举起后不会自行下落，夹具也是利用自锁工作的例子。与此相反的是在有些问题中要求避免自锁或卡住现象，如，儿童乐园里的滑梯，不论小孩的体重多轻，都

26、能滑下来。例3.2-4图式()提供了实验测定摩擦因数的方法。将被测的两物体一个做成物块另一个做成斜面，斜面的倾角可以调节。平衡时，斜面对物体的全反力一定与物块的重力共线，存在关系，如图3.5示。物块处于临界平衡时，就有，即 (3.2.6)例3.2-4：给定凸轮机构推杆与滑道间的摩擦因数和滑道宽度，不计凸轮与推杆接触处的摩擦。求推杆不致被卡住的的取值范围。解：取推杆为研究对象。推杆依靠凸轮推动，图示是推杆在向上运动过程中最容易被卡住的位置。设推杆处于临界平衡状态，此时摩擦力达到最大值，受力图如图示。列平衡方程 ， ， ，其中为临界值。将库伦摩擦定律作为补充方程 ， 其中上述5个方程中未知量为：,

27、可以解得 （a）结果与无关。为确保凸轮机构的正常工作，必须。注意到机构工作时是变动的，因此，式（a）是对结构的要求，即。运用摩擦角的概念解题具有在几何上更直观的优点。将A和B点的约束力用全反力表示，平衡时，这两个力作用线的交点只可能落在图示阴影区域内，自锁条件是力的作用线穿过这个阴影区域，满足如下几何关系 结果与式（a）相同。图3.6圆轮的滚动3 滚动摩擦当轮或球等的曲面沿另一物体的表面作相对滚动或有滚动趋势时受到的阻碍称为滚动摩擦。以静止地置于水平桌面上重为、半径为的圆轮为例考察滚动摩擦下的平衡问题。圆轮在重力和支承面的约束反力作用下处于静止状态，如图3.6所示。现在轮心处作用一水平力，当较

28、小时，经验表明圆轮不滑也不滚仍处于静止状态，故存在静滑动摩擦力阻碍了圆轮的滑动，由知。但力和组成力偶，其力偶矩非零，然而圆轮实际上是静止的。可见还存在一个阻碍圆轮滚动的约束力偶，称为滚阻力偶，记为。由平衡条件得。故滚阻力偶随着力的增大而增大。滚阻力偶的极限值称为最大滚阻力偶，记为，即表3.2 滚阻系数接触物体的材料滚阻系数（mm）铸铁与铸铁0.5钢轮与钢轨0.05木轮与木面0.5 0.8钢轮与木面1.5 2.5轮胎与路面2 10 (3.2.7)实验表明，最大滚阻力偶与正压力成正比，即 (3.2.8)式中的比例系数称为滚阻系数，它具有长度量纲。滚阻系数一般与接触面的材料的硬度等因素有关而与轮的直

29、径无关，可由实验测定的，也可在机械工程手册中查到。表3.2中给出了常用材料的滚阻系数的参考值。应该指出，式 (3.2.8)也是个近似式，远没有反映滚动摩擦的复杂性，有时甚至与实际不符，因此不如摩擦定律那样得到广泛应用。 式(3.2.8)与库仑摩擦定律数学形式相同，但力学意义不同。我们来说明滚阻力偶的产生过程。由于存在滚阻力偶，表明圆轮与接触面的刚性假设不成立。如果轮与接触面均为刚性的，则两者必为点接触，滚阻力偶无从产生。因此，在讨论滚动摩擦时我们仍假定轮是“刚性”的，但与之相接触的面是弹性体，即圆轮受到的约束是弹性的。在这一力学模型下，轮受到的约束力为一分布力系，当为零时，轮无滑动或滚动趋势，

30、分布约束力简化为正压力。当不为零且较小时，轮有滑动或滚动趋势，按力系简化理论可简化为一力和一力偶，即全反力和滚阻力偶。按照力线平移定理的逆过程，可将全反力的法向分量与滚阻力偶合成为一个力，只要将力平移距离。可见，滑动摩擦使约束力偏离法向角，而滚动摩擦使法向分力平移距离。随着力的增大而增大，其极限值就是滚阻系数，它对应于临界滚动状态。值得一提的是，在力和距离增大的同时，角也在增大。在力增大的过程中，轮究竟是先滑动还是先滚动，这取决于和哪一个先达到各自的临界值和。例3.2-5图例3.2-5：如图示，碾子半径，重，它与水平地面的滚阻系数。为使碾子滚动而不滑动，则滑动摩擦因数至少多大？又需作用多大的水

31、平力。解：取碾子为研究对象，碾子在主动力、，法向反力滑动摩擦力以及滚阻力偶作用下平衡。列平衡方程并化简 ， ， （a） ， ， （b）， ， （c）利用摩擦力和滚阻力偶满足不滑动和不滚动条件，并将(a), (b)式(c)和结果代入，导出， （d） ， （e）设碾子处于滚动临界状态，滚阻力偶达到最大值，而滑动摩擦力处在平衡范围内，其值由平衡方程确定。由式（d）和（e）导出滑动摩擦因数必须满足的条件 ， （f）即。碾子的半径越大，越不容易滑动。式（f）是碾子滚而不滑动的必要条件。碾子平衡要求主动力满足（d）式，即 ， （g）一般说来，式（f）能够满足，碾子滚而不滑动时主动力的取值范围是 。 （h）

32、所以，使碾子滚动比滑动省力。§3.3 平面桁架的静力计算桁架是由许多直杆彼此在端部用焊接、铆接、榫接而成的几何不变结构。桁架具有用材经济重量轻等优点而广泛应用于屋架、桥梁、起重机、电视塔等工程结构中。杆的中心线和载荷在同一平面内的桁架称为平面桁架，否则称为空间桁架。对于结构和受力都对称于同一平面的空间桁架可简化为该对称面内的平面桁架。本节仅研究平面静定桁架的内力计算，计算方法可以推广到空间桁架。桁架和一般杆系结构将在结构力学中分析。为简化平面桁架的内力计算，作以下基本假定1） 各杆都是刚性直杆，杆的中心线都在一个平面内；2） 各杆的端部都用光滑铰链连接，铰中心在杆的中心线上，称为节点；3） 载荷和支座反力都作用在节点上，且沿桁架所在平面；4） 与载荷相比，杆重可以忽略不计，或者将杆重平均分配到杆两端的节点上。实践表明，上述力学模型的计算结果与实际情况相差不大，可以满足工程设计的一般要求。按构成平面静定桁架可分为简单桁架和复杂桁架。平面简单桁架是按以下规则组成：先用3根杆和3个节点组成一基本三角形，然后每增加2根杆增