广义集合论和泛有序对论的一些联系和区别

1、广义集合论和泛有序对论的一些联系和区别 冯向军2006/1/21感谢张学文老先生给我一个宝贵的机会，让我有可能把一些根本性的问题向广大奇迹读者和作者讲清楚。这些问题以前零零散散向张老个人交代过。但不系统，不全面。现在我把这些议题概括为一个总标题，那就是<<广义集合论和泛有序对论的一些联系和区别>>我从今天起，就开讲这一专题，我保证将对张老的三个问题在学术上作出自己的回答。我将不占用新的文章版面，只在此地不断补充完善我的论点，除非在必要时对提问作一次总回答。(一)什么是张学文广义集合(2003年正式发表)1？什么是基本型的冯向军泛有序对(2005以电子公告EB形式发表)2

2、？什么是扩展型的冯向军泛有序对？1.1什么是 张学文广义集合？按<<组成论>>的定义"有了个体概念（地位相同）和标志概念（每个个体都有确定值但各个个体可以不同），很容易引入广义集合概念。一个集体（客观事物、研究对象、系统、体系、总体）如果1. 可以分成多个（>0）地位相同的个体（成员、粒子）；2. 就一定（可能多个）标志而言，每个个体都有唯一的标志值；这个集体称为广义集合。"1.2 广义集合的个体概念和标志概念张学文先生在<<组成论>>中说“我们把总体（客观事物、研究对象、体系、系

3、统）从某个角度（侧面）分成若干个地位（身份、形态、特性）相同的部分，其每个部分都称为个体。广义集合概念中强调了个体的个数，也就认为广义集合内的个体个数就是正整数。如果研究的是有限的客观事物组成的广义集合，那么它包含的个体的总个数N应当是个有限值（不是无限大）。即我们通常把问题看作离散问题（数字化）。以后常用N表示广义集合内的个体总量。标志是对总体（如学生们）内的每个个体都具有的某个侧面、特征、指标（如身高）的描述。300万学生（以后称为广义集合）参加高考，我们把语文成绩视为标志（描述了考生的一个侧面）。而每个个体（考生）就某某标志的具体取值（就语文成绩而言得了85分）称为标志值。每个考生的成绩

4、可能不相等，这说明标志值有能力描述各个个体之间的差异性。标志的“值”称为标志值，也可以把标志统称为标志变量而把标志值看成是变量的取值。标志可以是有单位（量刚）的数值变量例如摄氏温度、长度米等连续变量（在概率论中称为随机变量）也可以是不能直接用数表示的字符串（计算机编程语言）变量，如在人的血型的标志仅取离散的A，B，O，AB 这四个（血型）标志值就是。如果一个广义集合的标志是有量刚的数值变量，那么广义集合内的所有的个体的量刚和单位应当是相同的。例如，不能一个个体是个体（学生）的身高1.6米，而另一个是个体（学生）的体重36千克；单位相同就是不同的个体要用相同的单位去计量它的标志值。如果

5、一个广义集合的标志仅能用字符（字符串）表示时没有上面这些约束，但是它要求一个广义集合内的各个个体同“种”而标志值不同“属”。这里的“种”和“属”是借用生物分类中的语言，种的地位高，而属则低一级（在电脑语言中“种”类似于目录而“属”类似于子目录）。它们的含义是一个广义集合内的所有个体要同“种”而各个不同的标志值表示的是不同的“属”。例如把很多个水果看成一个广义集合时，每个个体都是“水果”（同种），而标志值仅可能是 “苹果”或者“桃子”等等这些水果的“属”（不同类别）。对于数值变量还有连续与离散之分。数学中已经有了一些离散变量与连续变量互相变换的技术，在必要时也都可以利用。但是这里的概念

6、介绍以离散变量为主线。”1.3 什么样的东西不能用张学文广义集合来描述？很简单，如果一个整体，不完全可分割为“地位相等”的个体，那么这个整体就不能完全用张学文广义集合来描述。例如:人的是什么？可将人分割为“地位相等”的“个体”吗？ 例如可分解为纯精神 和纯肉体吗？大家把一种纯肉体和一种纯精神机械组合起来看看，看看是不是会造出一个活人来？一切不能明确分割成“地位相等”的“个体”的存在，都不能完全被张学文广义集合所描述。诚如张学文先生所言：“ 广义集合是描述客观事物的一个通用简化模型，它是描述客观事物的组成问题的一副很合适的有色眼镜：它排斥了客观事物中某些更

7、复杂的问题，但是也突出了客观事物中某些基本问题。”提出泛有序对论的目的正是为了无限逼近客观世界的真实而复杂的情况。所以泛有序对论处处体现了与张学文广义集合论的联系性和互补性。1.4 什么是泛有序对定义 无条件等价对于任意给定的存在E1、E2，如果 在任何条件下， E1包含E2；E2包含E1， 那么称存在 E1和E2无条件等价，并将这种无条件等价关系记为：E1 = E2定义 条件互内对于任意给定的存在E1、E2，如果在条件C1下有 E1包含E2，而在不同的条件C2下又有E2包含E1， 那

8、么称 E1和E2条件互内，并将这种条件互内记成E1<-> E2定义 泛有序对泛有序对是一抽象结构(A，B)，对于这种抽象结构定义了无条件等价关系：(A，B) = (C， D)， 当且仅当有无条件等价关系A = C， B = D。 其中 A，B，C，D为给定的存在。有的学者可能会问数学中已有有序对的概念，为什么还要定义泛有序对呢？那是因为数学中的有序对所定义的等价关系是(a, b) =(c, d),当且仅当数 学符号

9、 a=c, b=d。例如(1，2)=(1，2)；(1，2)不等于(3，4)。但是对于带能指意指所指的符号学符号，上述等价关系就不一定成立 了。例如(教授，研究员) 不一定等于(教授，研究员)。那是因为教授可能是指张教授也可能是指李教授。所以严格定义的泛有序对的确是对数学有序对的科学推广。这种推广引发出一系列新的有严格定义的概念和一些新方法。要把我所知道的泛有序对的奥妙全部讲清楚，那绝对不是三天三夜可以讲得完的。我现在只准备围绕与广义集合的联系来对泛有序对作一个简介。1.5 泛有序对的组成 -严格的数学论证证明： 泛有序对由张学文广义集

10、合与非张学文广义集合组成直接从泛有序对的定义出发，用枚举法可以证明泛有序对由张学文广义集合与非张学文广义集合组成，或者说由个体构成的集合和非个体组成的存在而构成。一般而言，泛有序对同时包含系统现象和非系统现象。对于泛有序对(A，B)有：(A，B) = f1(A) + f2(B) + f3(A, B)此地+为并操作；f1(A)是只与A有关的函数；f2(B)是只与B有关的函数；f3(A,B)是同时与A和B有关的函数，而这种函数不能简化为f1(A) + f2(B)。f1(A)+f2(B)的扩展形式包含了张学文广

11、义集合的全部“地位相等”的个体，而f3(A，B)包含的是非个体。例如人有一部分，这一部分是非常重要的一部分，它非手，非脚，非眼、非耳、非鼻、非舌、非身、非纯意识。总之，它是非个体。假如f3(A，B) = 空那么(A，B) 是非系统现象;假如f3(A，B) <> 空那么(A，B)包含系统现象；假如f3(A，B) <> 空且f1(A) + f2(B) <>空那么(A，B)既包含系统现象又包含非系统现象。于是泛有序对(A，B)一般而言就同时包含非系统现象和系统现象。

12、由于泛有序对具有上述三种基本性质，所以泛有序对也包含条件，并且面向条件。多维向量组可由带根本性的泛有序对派生。其实要完全做到绝对的非系统性是很难的为什么？这是因为多因子的可区分性使得整体的复杂度和香侬信息都非线性地增长。不过在一定条件下可以不考虑某些非直接的联系。1.6 张学文广义集合多项式张学文先生在组成论中写到：广义集合（如A）有如下符号化规则：如果一个广义集合的各个标志值表示为 x1，x2 ，x3 ，xi ，xk而各个标志值对应的个体数量如果是 n1，n2 ，n3 ，ni ，nk则广义集合A(x)&

13、#160;写成A(x)=n1x1+ n2x2+ n3x3+ nixi+ nxk （6.1）我们把（6.1）式的右侧称为广义集合多项式，把nixi称为项（借用代数语言）。n也称为标志值系数或者简称为系数。这是广义集合的简练的表示法。要说明的是：这种符号表示法中广义集合本身用大写、粗体、斜体英文字母表示。大写、斜体是照顾了原集合符号的习惯，而粗体是它与集合的区别，粗体也照顾了数学中对矢量的表示常常用粗体的习惯。大写广义集合代表符号后面跟著的圆括号内的符号代表标志值的通称，在意义明确时，或者不便表达时也可以略去；花括弧符号是从“集合”的习惯，用以表示

14、它不是一般的多项式；各个个体的标志值用斜体xi表示，它的身份并不是数学上的数，而是有特定含义的字符串，一般而言它是含有单位的。要特别注意它与前面的系数的关系不是数学中的乘法关系，仅仅表示标志值为xi 的个体有ni个。既便它是数值变量，在当前意义下也不是说它可以与系数做乘法（与多项式不同）。如用x表示标志值为“10岁”（的学生）时，15x，仅表示10岁的学生有15人，而不表示有150岁的学生。个体的数量用n表示，它隐含的单位一般是“个”。在特殊情况下，由于个体的数量太多，它也可以是例如1000个、106个、摩尔数（用于化学或者物理学中，1摩尔=6.022 1023个）等等；符

15、号和+号显然是从代数学中借来的，用以表示多个类似的对象的“+”。此处的+号仅表示“并且有”“加上”或者说“以及”的意思。以上讨论表明广义集合可以表述为一个“广义集合多项式”。如果不同的标志值有k个，它就有k项，每项由标志值和它前面的一个正整数组成。各个项之间用“+”号相联以表示它们是“并且有”或者“以及”的关系。1.7 泛有序对的扩展形式：泛矩阵 、高维向量等以下是一些直接从泛有序对概念出发通过纯数学推理而派的概念。(a) n-维行泛有序组在泛有序对(A12，A3) 中，令 存在A12=(A1，A2)为定义好的泛有序对，就有(A1，A2)，A3

16、) 定义着无条件等价关系(A1，A2)，A3) =(B1，B2)，B3)，当且仅当A1 = B1；A2 = B2；A3 = B3. 我们称 (A12，A3) 为3-维行泛有序组，并记为(A1，A2，A3)。同理， 假设我们定义好了n-1维行泛有序组A123.n-1 = (A1，A2，.An)，那么泛有序对(A123.n-1，An) 就构成具有无条件等价关系的n-维行泛有序组：(A1，A2，.An)其中 A1，A2，.,An 为

17、任意给定的存在。于是按数学归纳法n-维行泛有序组：(A1，A2，.An) 对任意给定的正整数n均有定义。又称n-维行泛有序组为n-维行广义向量。(b)n-维列泛有序组n-维列泛有序组：(A1，A2，.An)T 是n-维行泛有序组的转置。又称n-维列泛有序组为n-维列广义向量。我们又称n-维行泛有序组或n-维列泛有序组为维数为n的高维向量，它与传统数组的区别是高维向量的分量之间存在相互联系和相互作用。(c)泛矩阵泛矩阵M为 m维行泛有序组M=(C1，C2，.,Cm)其中存在 Ci 为n-维列泛有序组。称M为 n x 

18、m 泛矩阵。(d)广义标量定义任意给定的存在为广义标量。(e)广义向量对于任意广义标量S，考虑其存在的条件为C，那么便定义泛有序对(S，C) 为广义向量V。 称S为向量存在，而称C为广义方向。广义向量V一旦定义好，又变成了广义标量。而广义标量就是无条件或不考虑存在条件的广义向量(特殊条件的广义向量)。所以广义标量S和广义向量V条件互内，记为S<->V(f)对于给定的存在的集合AA，BB，定义泛直积AA x BB =  (A, B)其中A属于AA，B属于BB， (A，B) &

19、#160;表示由全部可能的泛有序对(A，B)组成的集合。1.8高维向量与张学文广义集合多项式的关系就好比多元函数与其一阶泰勒展开的关系现在我们来考察作为扩展型的n维高维向量的一般划分展开式考虑 n维行泛有序组|A>1xn|A>1xn = (A1,A2,.,An)可以严格证明：同泛有序对一样，(A1， A2，.，An) 的划分展开式可分为两部分，一部分是关于各单一广义向量元的函数的物理组合，另一部分则是广义向量元之间的各类化合、涌现、协同、排斥、约束。有(A1， A2，.，An ) = |F1&

20、gt; + |F2> +。+ |Fn>其中+表并操作;|F1> =  f( |Ai> ) ，i= 1, 2, .n,|F1> 为广义向量单变量函数的物理组合；|F2> =  f(|Ai1>,|Ai2> ) , i1 = 1,2,.n-1; i2 = i1+1, i1+2, .n,|

21、F2>为广义向量元的两两化合、涌现、协同、排斥、约束；.|Fn-1> =  f(|Ai1>, |Ai2>,. |Ain-1> ) ,i1 = 1, 2; i2 =2, 3; .; in-1= n-1, n.|Fn-1>为n-1个广义向量元的各类化合、涌现、协同、排斥、约束；|Fn> = f(|A1>, |A2>,., |An>&

22、#160;) , 为全部n 个广义向量元的化合、涌现、协同、排斥、约束。n维行泛有序组既考虑了物理组合，又考虑了化合、涌现、协同，所以是比较全面的n维行泛有序组的划分展开式。显然n维行泛有序组或n维高维向量的一般划分展开式是张学文先生的广义集合多项式的基本形式的一类推广。下面我们将看到泛矩阵多项式和泛多项式矩阵从两个方向上直接推广了张学文的字符多项式。1.9泛矩阵多项式和泛多项式矩阵 - 从两个方面推广了张学文字符多项式3(a)泛矩阵多项式由前面的讨论已知，泛有序对(A，B)被完全确定，当且仅当广义向量|A>，|B>完全确定。完全确

23、定的广义向量具有表达充分的广义方向和存在数量。或者说，表达充分的广义方向作用在条件存在A上而使得A变成特指的具有数量Na的存在A。所以 我们有(M)A =(Na)A其中Na为条件存在A的数量，M为代表表达充分的广义方向的泛矩阵。称M为A的方向泛矩阵。称条件存在A为方向泛矩阵M的广义特征量。称Na为方向泛矩阵M的广义特征值。例如|1个 重100克 红色的 苹果 |1个 重 98克 橙色的 橘子 |1支 重 80克 黄色的 香蕉 |这个方向

24、泛矩阵作用在水果这个名词上就变成了3个特指的水果。这里水果是上面的方向泛矩阵的广义特征量，而3是这个方向泛矩阵的广义特征值。一般而言，当我们暂不考虑A与B的相互作用，那么泛有序对就有近似线性展开式(A，B)  (Na)A + ( Nb)B其中 Na是A的数量，Nb是B的数量。根据上面的讨论，有(Na)A + (Nb)B = (Ma)A + (Mb)B其中 Ma为A的方向泛矩阵； Mb为B的方向泛矩阵。我们称上式右边为泛矩阵多项式。对于n-维行泛有序组(A1，A2，., An)泛矩阵多项式的一般形式则为(M1)A1+(M2)A2+.+ (Mn)An其中M1，M2，., Mn 为给定存在A1，A2，., An的方向泛矩阵。泛矩阵多项式是张学文先生的字符多项式的一类推广，它用方向泛矩阵代替了字符多项式的变量的“函数值”或系数。可以更细致地表达广义集合的划分。(b)泛多项式矩阵泛多项式矩阵则是以泛矩阵多项式为元素的泛矩阵，它是张学文先生的字符多项式的更进一步推广，可以用来表达一首诗，一幅画，一页书.泛多项式矩阵可以表达既包含互换性又包含非互换性的复杂情况。例如， “冯向军吃一个苹果和一个