等差数列的判定与证明—中项公式法

1、等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明中项公式法中项公式法等差中项的定义等差中项的定义 如果如果 a, A, b 成等差数列，那么成等差数列，那么 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等差中项等差中项 .由等差中项的定义可知，由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：满足关系：abbAAaAb2Aa (a2Ab)2 或意义：意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当当 a=b 时，时，A = a = b .3例例1已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为 ，其中，其中 p, q, 是是 常数，且常数，且 ， 那么这个数列是

2、否一定是等差数那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？列？如果是，其首项与公差是什么？ napnqp0分析：由等差数列的定义，要判断分析：由等差数列的定义，要判断 是不是等差数列，是不是等差数列， 只要看只要看 是不是一个与是不是一个与n 无关的无关的 常数就行了常数就行了.na nn 1aa(n2)解：取数列解：取数列 中的任意相邻两项中的任意相邻两项 与与na n 1ana (n2),nn 1aa(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.4 这是一个与这是一个与 n 无关的常数，所以无关的常数，所以 是等差数列，公差是是等差数列，公差是p. 在通项公式中令在通项公式

3、中令 n1，得，得 ，所以这个，所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是 p+q，公差是，公差是 p.na 1apq注：等差数列的通项公式可以表示为注：等差数列的通项公式可以表示为 ， 其中其中 p, q 是常数是常数. 当当 时，它是关于时，它是关于 n 的一次式，的一次式， 因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函 数数 的图像上，其坐标为的图像上，其坐标为 .napnqp0ypxqn(n,a )5 例题例题 2： (1)三个数成等差数列，和为三个数成等差数列，和为6，积为，积为24，求这三个数；，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中

4、间两数的和为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为，首、末两项的积为8，求这四，求这四个数个数【思路点拨思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解解【解解】(1)设等差数列的等差中项为设等差数列的等差中项为a，公差为，公差为d，则这三个数依次为，则这三个数依次为ad，a，ad，依题意，依题意，3a6，且，且a(ad)(ad)24，所以所以a2，代入，代入a(ad)(ad)24，化简得化简得d216，于是，于是d4，故这三个数依次为故这三个数依次为2,2,6或或6,2，2.(2)设这四个数

5、依次为设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d(公差为公差为2d)，依题意，依题意，2a2，且，且(a3d)(a3d)8，即即a1，a29d28，d21，d1或或d1.又四个数成递增等差数列，又四个数成递增等差数列，d0，d1，故所求的四个数依次为故所求的四个数依次为2,0,2,4.总结：等差数列的设法及求解总结：等差数列的设法及求解(1)若有三个数成等差数列，则一般设为若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为若有四个数成等差数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.等差中项的应用解：a2、b2、c2成等差数列，b212(a