基本不等式全题型

1、WORD格式题型 1根本不等式正用ab2 ab11例 1： (1) 函数f ( x) xx( x>0) 值域为 _；函数f ( x) xx( x R) 值域为 _；(2) 函数 f ( x) x221的值域为_x 111解析： (1) x >0，xx2x·x2， f ( x)( x >0)值域为 2 ， ) ；当 xR时， f ( x)值域为(，22，)；(2) x221 (x21)2 1 12x221 1 1，当且仅当 x 0时等号成立x1x 1x 1答案： (1)2， )(， 2 2 ， )(2)1， )4(2021·*期中 ) 假设x>1，那么

2、x4的最小值为 _x1解析： x4 x1414 1 5. 当且仅当x 14，即 x3时等号成立答案：5x1x 11x4例 1(1) x0，那么f ( x) 2xx的最大值为 _(1)x0x0f ( x)24x24 x.4(x)4 4x4xx xx2 x，即 ， ， ，当且仅当4 2 时等号成立f ( x) 2x x2 4 2，f ( x) 的最大值为 2.2x的最大值为 _例：当 x0时，那么 f ( x)2x 12x221解析： (1) x 0，f ( x) x2112 1，当且仅当xx，即x 1 时取等号xxx223函数yx1 ( x>1) 的最小值是 _x2 2x2 2x2 2x2

3、2 1x32x3xxx解析： x>1， x1>0. yx1x1x1x1 x1x322x3223 2. 当且仅当x 1x3，即 x13时，取等号答案：2 32111x110x 0，a为大于 2x的常数，求ya2x x 的最小值1a2x a1aaa21a解： ya22222 222. 当且仅当x2时取等号故y2 x 的最小值为22.xaxa b题型 2根本不等式反用ab2例：(1)函数f ( x)x(1x)(0<x<1)的值域为_；(2)函数f ( x)x(12x)0<x<1的值域为2_解析： (1) 0<<1， 1>0,x(1 x) x x2

4、1，f() 值域为0，1.xx24x41112x 2x211(2) 0<x<2，1 2x>0.x(12x)2×2x(12x)2·28， f ( x)值域为 0，8 .专业资料整理WORD格式答案： (1)0，1(2)0，1483 ( 教材习题改编 ) 0<x<1，那么x(3 3x) 取得最大值时x 的值为_119311解析：由 x(33x)×3x(33x) ×，当且仅当3x 3 3x，即x 时等号成立答案：3344223函数1x2的最大值为 _yxx2 x2解析： x1x2x2 x2122.4 0<x<1，那么x

5、(3 3x) 取得最大值时x 的值为()1132A. 3B. 2C. 4D. 3x1 x 231解析0<x<1， 1x>0. x(3 3x) 3x(1 x) 324. 当x 1x，即x2时取等号答案B10x 0，a为大于 2x的常数，求函数yx( a 2x) 的最大值；11 2xa2x2a2a解： x0，a2x， y x( a2x)2×2x( a2x)2×28，当且仅当 x4时取等号，故函数a2的最大值为 .8题型三：利用根本不等式求最值2t >0，那么函数yt24t1的最小值为 _t24 11ttt t4242，且在 t 1时取等号答案解析 t &

6、gt;0， yt 22x例：当 x>0时，那么 f ( x)x21的最大值为_2x221解析： x>0， f ( x)x21121，当且仅当xx，即x 1 时取等号xxx23x1例 1： (1) 求函数f ( x) 1 x(x3)的最小值；(2)求函数 f ( x)x3( x 3) 的最小值；x3思维突破： (1) “添项，可通过减3 再加 3，利用根本不等式后可出现定值 (2) “拆项，把函数式变为y Ma的形式M111(1) x 3，x 30. f ( x)x3( x3)32x3x35.当且仅当x3x3，即 x4时取等号， f ( x)的最小值是5.t 2t 111(2) 令x

7、 3t，那么xt 3，且t 0. f ( x)tt t32t ·t35.当且仅当 t 1，即 t 1时取等号，此时 x4，当 x4时， f ( x)有最小值为5.t技巧总结：当式子不具备“定值条件时，常通过“添项到达目的；形如cx2 dx f( a0，c0) 的函数，yax bp一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y t t( p 为常数)型函数，要注意t 的取值X围；4例：设 x>1，求函数 y xx16的最小值；专业资料整理WORD格式4444解： x>1， x1>0. yxx16 x1x152xx1 5 9，当且仅当x1x1，即 x1时，取等号当x1时，函数

8、y 的最小值是9.1假设x>0，y>0，且xy 18，那么xy的最大值是 _解析由于x>0， >0，那么x2xy，所以xyxy2 81，当且仅当xy9 时，xy取到最大值 81.答案81yy25x，y R，且满足xy1，那么xy的最大值为 _34xyxyxy解析 x>0， y>0且134212， xy3.当且仅当34时取等号答案36(2021·*期中 ) x，y为正实数，且满足4x 3y 12，那么xy的最大值为 _3解析： 12 4x 3y2 4x×3y，xy3. 当且仅当4x 3y，即 x2，时 xy 取得最大值3. 答案： 34x

9、3y 12，y22m>0，n>0，且mn 81，那么mn的最小值为 _解析：>0， >0， 218.当且仅当 9 时，等号成立答案：18mnmnmnm n255x 0，y 0， lgxlgy1，那么 zxy的最小值为_xlgy1，可得 xy10.2510252y 5x时取等号又解析：由条件 lg那么xy2xy 2，故xymin2，当且仅当xy10，即 x2， y5时等号成立答案：2(2021·*高考 ) log2alog2b1，那么ab的最小值为 _3 9aba2ba 2ba2b解析：由 log 2 log 21得 log 2() 1，即( 当且仅当，即a2时

10、取2， 393 3 2×323 3abababb等号)22 24( 当且仅当 2时取等号 ) ， 3a 9b2×32 18.即当 2b时， 3a 9b有最小值 18.abababaxy113设x，y R，a>1，b>1，假设ab 3，ab 23，那么xy的最大值为()31A2 B.2C1D.2xy11a b解析由 ab 3，得：x log a3，y log b3，由a>1，b>1知 x>0，y>0，xylog3alog3blog3ablog3221，当且仅当ab3时“成立，那么11为 1.答案Cxy的最大值·*设， ，且2112

11、6(2021)xyRxy0yx_211251225 212292219解析x 224y224x y2x yx y 时“成立答案 2·4 ，当且仅当yxx yx y2例：假设正数 x， y 满足 x3y5xy，求 xy 的最小值1212解： x0， y0，那么5xyx3y2 x·3y， xy25，当且仅当 x3y 时取等号 xy 的最小值为25.4假设正实数x，y满足 2xy 6xy，那么xy的最小值是 _答案18解析由 x>0，y>0,2 xy6 xy，得xy22xy6(当且仅当2x y 时，取“)，专业资料整理WORD格式即 (xy)22 2 xy 60，(x

12、y3 2)·( xy2)0.又xy>0， xy 32，即 xy 18. xy 的最小值为18.例： x>0，y>0， x2y2xy8，那么 x2y 的最小值是()911A 3B 4C. 2D. 2解析依题意，得 ( x 1)(2 y 1) 9，(x1)(2 y1)2xy 6，即 x2y4.x1 2y 1， 2，x当且仅当即时等号成立x2y2xy 8，y1 x2y 的最小值是4.3假设x，y (0 ， ) ，x 2yxy 30.(1) 求 xy 的取值X围；(2) 求 x y 的取值X围解：由 x2yxy 30，(2 x) y30 x，30x则 2x0，y2x0,0

13、x 30. x230x(1) xyx2 x22x32x6464x264 xx232x643418，当且仅当x6时取等号，x2因此 xy 的取值X围是(0,1830x32(2) xyx2xxx2 132x4 22，32 x2x23823，当且仅当时，等号成立， 又 x y x2x2330，因此 xy4 21 y 的取值X围是8 23,30)216例： a>b>0，那么 a ba b的最小值是 _b a b 2a2解析： a>b>0， b( ab)2 4 ，当且仅当 2b时等号成立a216216264 a ba 2 a2a baa42642a·a2 16，当且仅当

14、a22时等号成立专业资料整理WORD格式216当 a22 ，b2时，aba b取得最小值 16.8设x，y，z为正实数，满足x2y 3z0，那么y2的最小值是 _xz解析：由条件可得x3z，y2y2x29z26xz所以 xz4xz1x9z 4zx 612x 9z6 3，z× x 4y2当且仅当 x y3z 时，xz取得最小值3.答案： 3例： x0， y0， xy x2y，假设 xym2恒成立，那么实数m的最大值是_解析：由 x0， y0， xy x2y22xy，得 xy8，于是由m2 xy 恒成立，得m28，即 m10.故 m的最大值为 10.1正数x，y满足x 2 2xy ( x

15、y) 恒成立，那么实数的最小值为 _解析：依题意得 x22xyx ( x2y) 2( xy) ，即x22xy2( 当且仅当x2y时取等号 ) ，即x2 2xyx yx y的最大值是2；又x2 2xy，因此有 2，即的最小值是 2.x y答案： 21关于x的不等式 2x27在x( a， ) 上恒成立，那么实数a 的最小值为_x a222解析：因为 x>a，所以2xxa 2( xa) xa 2a2x axa 2a 2a 4，即 2a47，所以 3，即a的最小值为 3.a223答案： 25圆x2y22x 4y1 0 关于直线2axby 20 ( a，bR) 对称，那么ab的取值X围是()A.

16、，111D.，14B. 0，C.，0444答案Aa b 21解析由题可知直线2axby 20 过圆心 ( 1,2) ，故可得ab 1，又因ab24 ( ab时取等号 ) 故 ab 的取值X围是1，4 .11典例： (12分 ) a、b均为正实数，且a b1，求 y aabb的最小值易错分析在求最值时两次使用根本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到专业资料整理WORD格式审题视角 (1) 求函数最值问题，可以考虑利用根本不等式，但是利用根本不等式，必须保证“正、定、等，而且还要符合条件 (2) 可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值X围标准解答1 1解 方法一 y aa bb

17、1ba1 ababab abab2124 1 3ab2abab abab24· 13×ab 23 225.10 分 abab242411125当且仅当 a b2时， y aabb取最小值，最小值为4 .12 分方法二y a1b1 1 a babababb a ab1 a2b2ab 1 a b2 2ababababab2 ab ab2.8分专业资料整理WORD格式令 t aba b221 4，即t 10，4 .专业资料整理WORD格式21专业资料整理WORD格式又 f ( t ) t t在0， 4 上是单调递减的，10分 专业资料整理WORD格式1331专业资料整理WORD格

18、式当t 时， f ( t )min44，此时，a b2.专业资料整理WORD格式125专业资料整理WORD格式当a b2时， y 有最小值4 .12分 专业资料整理WORD格式温馨提醒(1) 这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错(2) 利用根本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等否那么求解时会出现等号成立、条件不具备而出错(3) 此题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.方法与技巧1根本不等式具有将“和式转化为“积式和将“积式转化为“和式的放缩功能，常常用于比较数( 式 ) 的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的构造特点，选择好利

19、用根本不等式的切入点2恒等变形：为了利用根本不等式，有时对给定的代数式要进展适当变形比方：专业资料整理WORD格式11(1) 当 x>2时， xx2( x2)x22224.81(2)0< x<3，x(8 3x) 3(3 x)(8 3x) 1 3x83x 216.233失误与防X1使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等的无视要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意“拆“拼“凑等技巧，使其满足重要不等式中“正“定“等的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致题型四：利用根本不等

20、式整体换元例 2：假设正数a， b 满足ab ab3，求 ab 及 a b 的取值X围专业资料整理WORD格式思维突破：此题主要考察均值不等式在求最值时的运用，并表达了换元法、构造法等重要思想自主解答：方法一：由ab a b32 ab3，即 2ab30. 即 ( 3)(1) 0.abababab0，ab11.故30，9.abab当且仅当 a b3时取等号a ba b 2又ab2， aba b32.当且仅当 a b3时取等号2即 ( ab) 4(ab)120， a b20，有 a b60，即 a b6. a b 的取值X围是6，)a3方法二：由ab a b3，那么 ba1.4a44ab aa1a

21、4a1 a1a1542aa159，当且仅当 a b3时取等号 ab 的取值X围是9，)a3由 ab a b3，得 ba1， 344aa baa1 a1a1( a1)a1242( a1) ·a126，当且仅当 a b3时取等号 a b 的取值X围是6，)技巧总结： 整体思想是分析这类题目的突破口，即 ab 与 ab 分别是统一的整体，把 ab 转换成 ab 或把 ab 转换成.a b11例 3：正数a，b满足a2b 1，那么ab的最小值是 _1 1a2ba2b试解： a bab 32ba3 22b·a 3 2 2.a ba b易错点评：屡次利用根本不等式解题，没有考虑等号能否

22、同时成立。在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当a2b 时；而第二次等号成立的11条件是“当且仅当ab时；这显然不可能同时成立，因此等号取不到专业资料整理WORD格式123x>0，y>0，且 2xy1，那么xy的最小值是 _ 答案81212解析 因为 xy (2 xy) x y 4y4x4 2y4x11xy·y 8，等号当且仅当y，x 时成立x2411例： x>0， y>0，且2xy1，那么xy的最小值为_；解析 x>0， y>0，且2x y1，112xy 2xy x yxyy2x 3xy3 2 2.y2x当且仅当

23、x y 时，取等号91例： x0， y0，且xy1，求 x y 的最小值9191思维突破：“整体代换，将1 用xy代替，那么x y( x y)xy，再化简，用根本不等式求解9 1解析：xy 1， x y( x y)9 19yx9y xx y 10xy10 2x·y16.9yx91当且仅当x y且xy1，即x12，y4时取等号当 x12， y4时， x y 有最小值为16.总结：条件与“ 1有关，常利用“ 1进展整体代换，转化为能使积为定值的形式116例： x， y 为正实数，且xy 1，求xy的最小值116解析：xy1，11616x y x y( x y)·xy 17yx1

24、6x y17 2y·x 25.16x y 116当且仅当 yx且xy1时，等号成立 x5， y20时， x y 有最小值25.4(2021·* ) 假设正数x，y满足x3y 5xy，那么 3x4y的最小值是 ()2428A. 5B. 5C 5D6答案C1 13解析 x>0， y>0，由 x3y5xy 得5yx1.专业资料整理WORD格式113 3x4y5(3 x 4y) y x1 3x12y 5y 4 9x13 13x 12y13 13x 12y55y x 5 5×2y · x 5( 当且仅当x2y 时取等号)，3x4y 的最小值为5.1911(2021·*模拟) 正数x，y满足xy 1.(1) 求 xy 的最小值；(2) 求 x2y 的最小值191919解： (1)由 1xy2x·y得 xy36，当且仅当xy，即 y9x18时取等号，故xy 的最小值为36.(2) 由题意可得x 2y ( x 2y)1 92y 9x2y 9x2y 9x9x2xy 19xy19 2x·y19 62，当且仅当x y，即 2y2时取等号，故x2y 的最小值为19 62.3函数y log a(x3)1(a>0，且a1