计量经济学重点整理

1、1.同方差、异方差同方差:回归模型中的随机误差项的方差相同由于假定了X值(解释变量)是给定的或非随机的,Y的变异仅来源于u(扰动误差项).因此,给定的Xi,Yi的方差与Ui的方差相同.简言之, Yi与Ui的条件方差相同,即2.假定扰动误差项Ui的方差为常数,或同方差,即var(Ui)= 2.该假定表明,与给定X相对应的每个Y的条件分布具有同方差,即每个Y值以相同的方差分布在其均值周围.异方差:定义:模型误差项随观察值的不同而变化.var(Ui)= i2常数；研究发现,异方差问题多存在于截面数据而非时间序列数据.在截面数据中,处理的是某个时点上的样本,例如个体消费者或家庭/企业/行业/州县市.且

2、这些样本规模不同,如小/中/大公司,低/中/高收入,即可能存在规模效应；如果CLRM其他假定保持不变,放松同方差假定,异方差则有如下后果:OLS估计量仍是线性的/无偏的/不再具有最小方差性，即不再有效的,无论样本大小,OLS估计量都不再是最优线性无偏估计量.OLS估计量的方差通常是有偏的.OLS高估了估计量的真实偏差,产生正的偏差;低估则负偏差.偏差的产生是由于即不再是真实2的无偏估计量.建立在t分布和F分布之上的的置信区间和假设检验是不可靠的.沿用传统的假设检验方法可能得出错误结论.检验异方差方法:图形法:残差平方图,通常检验回归模型是否符合经典线性假设的第一步帕克检验格莱泽检验:将图形正规

3、化,其通过假设解释变量同误差项之间的关系来检验模型中是否存在异方差问题怀特的一般异方差检验:用普通最小二乘法估计回归方程,做辅助回归,求辅助回归方程的R2值,2值超过临界值或P值很低,则拒绝零假设:不存在异方差.异方差的补救措施:当i2已知时,加权最小二乘法当i2未知时,情形1误差方差与Xi成比例用平方根变换,情形2误差方差与Xi2成比例用OLS法估计方程重新设定模型.2.完全多重共线性（近似）完全多重共线性:是指两个或两个以上解释变量之间存在多个精确的线性关系.当解释变量之间完全线性相关或完全多重共线性时,不可能得到所有参数的唯一估计值,因而也就不能根据样本进行任何统计推断(即假设检验)。在

4、完全多重共线性情况下,不可能对多元回归模型中的单个回归系数进行估计和假设检验.可以得到原始系数线性组合的一个估计值,但无法获得每个系数的估计值.近似/(不完全)多重共线性:是指两个或两个以上解释变量之间常常表现出不完全线性相关,但近似线性相关,即共线性程度很高但不是完全共线性.(回归系数标准误差趋大,T值趋小);在只有两个解释变量的情况下,相关系数可用于共线性程度的度量.但当解释变量多于两个时,相关系数则不适合用于度量共线性程度.多重共线性的理论后果:在古典线性回归模型(CLRM)的假定下,即使存在变量之间的多重共线性,OLS估计量仍然是最优线性无偏估计量,即使多元回归方程的一个或多个偏回归系

5、数是统计不显著的;多重共线性通常是一个样本特有的现象.多重共线性的实际后果:OLS估计量的方差和标准误较大;置信区间变宽;t值不显著;R2值较高,但t值并不都是统计显著的;OLS估计量及其标准误对数据的微小变化非常敏感,即它们很不稳定回归系数符号有误;难以评估各个解释变量对回归平方和(ESS)或者R2的贡献.多重共线性的诊断:是一个样本现象,是一个程度问题而不是存在与否问题;由于多重共线性针对的是解释变量是非随机的情形,因而它是一个样本特征,而不是总体特征.判断:R2较高但t值统计显著的不多/解释变量两两高度相关,若有两个变量之间的相关系数很高,比如超过0.8,则可能存在较严重的共线性,但这一

6、标准并不十分可靠/检查偏相关系数/从属回归或者辅助回归/方差膨胀因子(多重共线性本身并不必然导致较高的标准误).补救措施:从模型中删掉一个变量/获取额外的数据或新的样本(随着样本容量的增加,三变量回归模型的系数方差会减小)/重新考虑模型/参数的先验信息/变量变换.3.t统计量以及t检验、F统计量以及F检验、DW统计量以及DW检验t统计量以及t检验:t统计量:用来对计量经济学模型中关于参数的单个假设进行检验的一种统计量.一般的t统计量写成t=(估计值-假设值)/标准误,它服从自由度为(n-2)的t分布.t检验:给予t分布的统计假设检验过程.需注意:对于双变量模型自由度为(n-2)/在经验分析中常

7、用的显著水平有1%、5%、10%.为了避免选择显著水平的随意性,通常求出p值,如果计算的p值充分小,则拒绝零假设/可用单边或双边检验.变量的显著性检验:主要针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的,以判断X是否对Y具有显著的线性性影响. 即H0:b1=0检验步骤:对总体参数提出假设: H0:b1=b* ,H1:b1¹ b* (b*通常等于0)以原假设H0构造t统计量,并由样本计算其值:给定显著性水平a,查t分布表,得临界值比较判断:双边检验t a/2(n-2)，当|t|> t a/2(n-2),则拒绝H0;当|t|£ t a/2(n-2),则不拒绝H0. 单边检验

8、t a (n-2)，右侧检验t> t a (n-2)或左侧检验t< t a (n-2),则拒绝H0.在双边检验中,t=5.4354所对应的P值约为0.0006.说明如果在该P值水平上拒绝零假设,则犯错的概率仅为万分之六.F统计量以及F检验:F统计量:在满足CLRM基本假定,零假设下:H0:B2=B3=0(所有的斜率系数都为0,注意无B1),可证变量右式,服从分子自由度为(k-1),分母自由度(n-k)的F分布.F检验:给定显著性水平,可得到临界值F(k-1,n-k),求出统计量F的数值,通过FF(k-1,n-k)或p<给定的,拒绝原假设H0，,或FF(k-1,n-k),接受原

9、假设H0.F检验的理论原理:若右式中分子比分母大,即如果Y由回归解释的部分(即由X2和X3解释的部分)比未被回归解释的部分大,则F值将大于1.因此,随着解释变量对应变量Y变异的解释比例逐渐增大,F值也将逐渐增大.因此,F值越大,则拒绝零假设的理由越充分:两个(或多个)解释变量对应变量Y无影响.F与R2之间的重要关系:n为观察值的个数,k为包括截距在内的解释变量的个数.F与R2同方向变动.当R2=0(即Y与解释变量X不相关)时,F=0. R2值越大,F值也越大.当R2取其极限值1时,F值趋于无穷大.对于总体回归方程的显著性的F检验可以采用R2的形式,方差分析表等价地表示为下表：DW统计量以及DW

10、检验:德宾-沃森统计量:残差递差的平方和与残差平方和的比值.在计算d统计量分子时,其样本容量为(n-1),因在求残差递差时失去了一个观察值.d统计量的一个最大优点是简单易行,它以OLS残差为基础. 0d4d统计量的假设:回归模型包括截距项,无法判断过原点回归模型的自相关问题;变量X是非随机变量,即在重复抽样中变量X取值是固定的;扰动项Ui的生成机制为Ut=ut-1+vt ，-11.度量了对前期值的依赖程度,称为自相关系数;解释变量中不包含应变量的滞后值.如果d值接近于0,则表示存在正的自相关;如果接近于4,则表示存在负的自相关; d值越接近于2,则表示越倾向于无自相关.(=-1、0、1d=4、

11、2、0.)DW检验步骤:进行OLS回归并获得残差ei;计算d值;根据样本容量及解释变量的个数,从D-W表中查到临界的dL和dU;根据规则进行判定.4.内生变量、外生变量、前定变量、滞后变量、虚拟变量内生变量:是由模型体现的经济体系本身所决定的,在模型中是随机变量的变量,内生变量受模型中其它变量的影响,也可能影响其它内生变量,即内生变量既可以是被解释变量,也可以是解释变量.内生变量受模型内随机误差项的影响,是随机变量.外生变量:一些变量是在模型体现的经济体系之外给定的,在模型中是非随机的.由模型系统以外的因素决定其取值的变量,独立于该变量所在方程前期、当期、未来各期随机误差项的变量.外生变量只影

12、响系统内的其它变量,而不受其它变量的影响,因此在方程中只能做解释变量,不能做被解释变量.由定义可看出,外生变量不受模型中随机误差项的影响.前定变量:是指独立于变量所在方程当期和未来各期随机误差项的变量.由定义可知,外生变量属于前定变量,另外还有一类变量也属于前定变量,即滞后的内生变量,因为滞后的内生变量仅与方程前期的随机误差项相关而与方程当期、未来各期的随机误差项无关.前定变量也只能在现期的方程中做解释变量,并且不受随机误差项的影响.滞后变量:是指过去时期的、对当前被解释变量产生影响的变量.滞后变量分为滞后解释变量与滞后被解释变量.把滞后变量引入回归模型,这种回归模型称为滞后变量模型.滞后的原

13、因:心理上(惯性)/技术上(新旧更替时旧的降价)/制度上.滞后变量模型一般形式为下式，s/p分别为滞后解释变量和滞后被解释变量的滞后期长度。被解释变量受解释变量的影响分布在解释变量不同时期的滞后值上，即模型形如下式：具有这种滞后分布结构的模型称为分布滞后模型,其中s为滞后长度.根据滞后长度s取为有限和无限,模型分别称为有限分布滞后模型和无限分布滞后模型;如果滞后变量模型的解释变量仅包括自变量X的当期值和被解释变量的若干期滞后值,即模型形如下式,则称这类模型为自回归模型,其中q称为自回归模型的阶数.虚拟变量定义:把定性因素“定量化”的一个方法是建立人工变量,并赋值0和1，0表示变量不具备某种性质

14、,1表示变量具备某种性质,这类取值为0和1的变量成为虚拟变量,也称定性变量,用字母D表示.设置规则:“0”和“1”选取原则.虚拟变量取“0”值通常代表比较的基础类型,称为基准类、基础类、参照类、比较类；而虚拟变量取“1”值通常代表被比较的类型.属性（状态、水平）因素与设置虚拟变量数量的关系.定性因素的属性既可能为两种状态,也可能为多种状态.例如,性别（男、女两种）、季节（4种状态），地理位置（东、中、西部）,行业归属,所有制,收入的分组等。虚拟变量在回归分析中的角色以及作用等方面的问题.若定性因素具有m个（m>=2）相互排斥属性(或几个水平),当回归模型有截距项时,只能引入m-1个虚拟变

15、量;当回归模型无截距项时,则可引入m个虚拟变量;否则,就会陷入“虚拟变量陷阱”,即完全共线性或多重共线性.5.OLS（普通最小二乘法）的原则及其代数性质线性回归的OLS:OLS:通过样本数据按照残差平方和最小的原则来估计总体回归模型中的参数的方法因可正可负,所以可以取最小，即min理想的估计方法应使与的差即剩余越小越好OLS估计量的数值性质:用OLS法得出的样本回归线经过样本均值点,即:残差的均值 ( ）总为0;对残差与解释变量的积求和,其值为零;即这两个变量不相关. 这条性质也可用来检查最小二乘法计算结果;对残差与 (估计的Yi)的积求和,其值为0;即 为0.线性回归OLS估计量的方差与标准

16、误:期望： 方差： ；标准误： ； 一旦知道了2 ,就可以根据上式计算各统计量的方差等,但一般情况下2是一个需要估计的参数.常常根据右式估计2: 为残差平方和RSS;(n-2)为自由度, ,为回归标准误(SER),常用来度量估计回归线的拟合优度. 值越小,Y的实际值越接近根据回归模型得到的估计值。线性回归OLS估计量的性质:高斯-马尔柯夫定理:如果满足古典线性回归模型的基本假定,则在所有线性估计量中,OLS估计量具有最小方差性,即OLS估计量是最优线性无偏估计量（BLUE）.该模型参数B1和B2的最小二乘估计量分别:如右图OLS估计量具有如下性质:b1和b2是线性估计量,即它们是随机变量Y的线

17、性函数.b1和b2分别是B1和B2 的无偏估计量,即有: 和 , 即误差方差的OLS估计量是无偏的;b1和b2是有效估计量.即var(b1)B1的任意一个线性无偏估计量的方差, var(b2) B2的任意一个线性无偏估计量的方差.因此,与其他任何能够得到真实参数无偏估计量的方法比,OLS法更准确地估计了B1和B2.多元回归OLS估计量:在CLRM假定成立的情况下,多元线性回归模型的OLS估计量是BLUE（最优线性无偏估计量）,这与双变量模型的OLS估计量性质完全一样. 最小化残差平方和OLS统计量的三大代数性质：OLS残差和及其样本均值都为0；OLS残差与回归元(解释变量)之间的样本协方差为零

18、；OLS残差与因变量拟合值之间的样本协方差为零。 均值点总是在OLS回归线之上. OLS回归线的性质:可以证明：回归线通过样本均值，估计值的均值等于实际观测值的均值，如上图。剩余项的均值为零应变量估计值与剩余项不相关，解释变量与剩余项不相关，6.方差估计量S2的计算7.多元回归ESS、RSS、TSS的计算双变量模型:假设检验 ,真实Y值围绕其均值 的总变异. ,估计的Y值围绕其均值 的变异,也称为回归平方和(由解释变量解释的部分). , Y变异未被解释的部分. TSS=ESS+RSS Y的总变异中,由回归解释的部分所占的百分比越大, 样本回归线对样本点的拟合就越好.判定系数r2:拟合优度的判定

19、,辨别估计的回归线拟合真实Y值的优劣程度. r2=ESS/TSS.r2有两个重要性质:非负性,0r21,因为部分(ESS)不可能大于整体(TSS).若r2=1,则表示完全拟合,即线性模型完全解释Y的变异;若r2=0,则表示Y与X之间无任何关系相关系数r:度量了两个变量X与Y之间的线性相关程度.多元回归:估计与假设检验 TSS=ESS+RSS多元线性回归模型的一般形式:对于有k个解释变量的线性回归模型 ,模型中参数 ,是偏回归系数，样本容量为n.Y应变量, X2/X3解释变量,u随机扰动项,i第i个观察值.度量估计的样本回归线与数据拟合的好坏：双变量模型:r2多变量模型:R2R2:Y的变异由模型

20、中所有解释变量联合解释的比例.如: R2=90%,表示两个变量(X2/X3)解释了Y 90%的变异.ESS=b2ytx2t+b3ytx3t RSS=yt2- b2ytx2t-b3ytx3t自由度:TSS(n-1),RSS(n-k),ESS(k-1),k为参数个数.8.双对数模型、半对数模型、非线性模型、模型选择标准双对数模型 ,通过对数变换成为线性(参数线性)模型双对数模型的特性:斜率B2度量了Y对X的弹性,即X的一个(微小)变动引起Y变动的百分比.如果用符号Y代表Y的一个微小变动, X代表X的一个微小变动,弹性E定义为: 当E的绝对值大于1,Y对X有弹性 当E的绝对值小于1,Y对X缺乏弹性

21、当E的绝对值等于1,Y对X有单位弹性 如果Y代表了商品的需求量,X代表了单位价格,则E就是需求的价格弹性.由于回归线是一条直线(Y和X都是对数形式),所以它的斜率(-B2)为一常数.由于这个模型的斜率等于其弹性,所以弹性为一常数,与X的取值无关.双对数模型又称为不变弹性模型.就假设检验而言,线性模型与对数线性模型并没有什么不同.在随机误差项服从正态分布(均值为0,方差为2 )的假设下,估计的回归系数均服从正态分布.或者,如果用2 的无偏估计量代替它,则每个估计量服从自由度为(nk)的t分布，其中k为包括截距在内的参数个数.比较线性和双对数回归模型:如果散点图表明两个变量之间的关系近似线性的(也

22、即是一条直线),那么假定模型是线性的较合适;但如果散点图表明变量之间的关系是非线性的,则需作logY对logX的图形,则假定模型是对数线性模型较合适;如果两个模型的被解释变量形式是相同的,可用R2作为选择标准,但两模型R2度量的意义不同,则不能根据最高R2值这一标准来选择模型;对线性模型而言,其弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化,而对双对数模型而言,它在需求曲线上任何一点的弹性系数都是相同的.半对数模型:分两种形式;对数线性 线性对数: :X变化1%,Y会变(B2 /100)个单位.对数线性: 在对数线性模型中,X变化一个单位(X=1), 引起Y的变化为(100×B2)%. A.

23、回归结果:Y0Y的初始值; Yt第t期的Y值; rY的复合增长率.ln(Uspop)=5.3593+0.0107t,斜率0.0107表示,平均而言,lnY的相对变化率(年增长率)为0.0107,即Y以每年1.07%的速率增长.因此,半对数模型又被称为增长率模型,通常用此模型来度量变量的增长率,包括经济和其他非经济变量.对截距5.3593解释如下：B.瞬时增长率与复合增长率:根据半对数模型求复合增长率:由于b2 = B2的估计值=ln(1+r),所以antilog(b2)=(1+r),r=antilog(b2)-1=antilog(0.0107)-1=1.0108-1=0.010757,在样本区

24、间内,美国人口年复合增长率为1.0757%.1.07%是某个时间点上的瞬时增长率, 1.0757%是一段时间内的复合增长率.C.线性趋势模型: 即Y对时间t的回归,t按时间顺序度量.时间t称为趋势变量.若上式中的斜率为正,则称Y有向上的趋势;若斜率为负,则称Y有向下的趋势.线性对数模型:解释变量是对数形式.倒数模型:, 是一个变量非线性模型,参数线性模型.模型的一个显著特征是,随着X的无限增大,(1 /Xi )趋于零,Y接近渐进值或极限值B1.因此,当变量X无限增大时，回归模型将逐渐靠近其渐进线或极值.重要应用:恩格尔消费曲线、菲利普斯曲线:失业率与货币工资变化率之间的关系.表现形式:失业率(

25、横轴)/货币工资变化率(纵轴),由右下方向左上方倾斜的、具有负斜率的一条曲线.表明失业率与货币工资变化率二者呈反向的对应变动关系,即负相关关系.当失业率上升时,货币工资变化率则下降;当失业率下降时,货币工资变化率则上升.非线性模型:分为被解释变量与解释变量之间非线性,而被解释变量和参数仍为线性关系如倒数模型被解释变量和解释变量之间非线性,而被解释变量和参数之间也是非线性关系,如柯布道格拉斯生产函数、多项式模型、双曲线模型、对数模型.模型选择标准:简约性(模型应尽可能地简单)；可识别性(对于给定的一组数据,估计的参数值必须是惟一的)；拟合优度(矫正的拟合优度R2越高,模型越好)；理论的一致性(即

26、回归结果要与理论分析结果一致)；预测能力(即预测值与实际经验所验证的结果越接近越好)设定误差的类型:A.遗漏相关变量,“过低拟合”模型;B.包括不必要的变量,“过度拟合”模型(模型中包括了不相关变量,会提高R2的值,进而提高模型的预测能力.但它会导致不相关变量偏差,损失估计量的有效性);C.采取了不正确的函数形式;D.测量误差(被解释变量中的测量误差OLS估计量及其方差是无偏的,估计方差比没有测量误差时的大;解释变量中的测量误差OLS估计量是有偏的)零假设决策条件无正的自相关拒绝无正的自相关无法确定无负的自相关拒绝无负的自相关无法决定无正的或者负的自相关接受1.线性回归模型中，解释变量是原因，

27、被解释变量是结果。（F）2.多元回归模型统计显著是指模型中每个变量都是统计显著的。（F）3.在存在异方差情况下,常用的OLS法总是高估了估计量的标准差。（F）4.总体回归线是当解释变量取给定值时因变量的条件均值的轨迹。（Y）5.线性回归是指解释变量和被解释变量之间呈现线性关系。 （F）6.判定系数R2的大小不受回归模型中所包含的解释变量个数的影响。（ F ）7.多重共线性是一种随机误差现象。 （F）8.当存在自相关时,OLS估计量是有偏的并且也是无效的。 （ F ）9.在异方差的情况下,OLS估计量误差放大的原因是从属回归的R2变大。（ F ）10.任何两个计量经济模型的R2都是可以比较的。

28、（ F ）1.随机误差项ui和残差项ei是一回事。（ F ）2.给定显著性水平a及自由度，若计算得到的|t|值超过临界的t值,我们将接受零假设（ F ）3.利用OLS法求得的样本回归直线通过样本均值点。（ T ）4.判定系数。（ F ）5.整个多元回归模型在统计上是显著的意味模型中任何一个单独的变量均是统计显著的×6.双对数模型的R2值可与对数线性模型的相比较,但不能与线性对数模型的相比较。（ T ）7.为了避免陷入虚拟变量陷阱，如果一个定性变量有m类，则要引入m个虚拟变量。（ F ）8.在存在异方差情况下,常用的OLS法总是高估了估计量的标准差。（ T ）9.识别的阶条件仅仅是判别

29、模型是否可识别的必要条件而不是充分条件。（ T ）10.如果零假设H0：B2=0，在显著性水平5%下不被拒绝，则认为B2一定是0。 （ F ）1.回归分析用来处理一个因变量与另一个或多个自变量之间的因果关系。（ F ）2.拟合优度R2的值越大，说明样本回归模型对总体回归模型的代表性越强。（ T ）4.引入虚拟变量后，用普通最小二乘法得到的估计量仍是无偏的。（ T ）5.多重共线性是总体的特征。（ F ）7.异方差会使OLS估计量的标准误差高估，而自相关会使其低估。（ F ）8.杜宾瓦尔森检验能够检验出任何形式的自相关。（ F ）9.异方差问题总是存在于横截面数据中，而自相关则总是存在于时间序列

30、数据中。（ F ）10.内生变量的滞后值仍然是内生变量。（ F ）1.随机变量的条件均值与非条件均值是一回事。（错）2.线性回归模型意味着变量是线性的。（错）3.对于多元回归模型，如果联合检验结果是统计显著的则意味着模型中任何一个单独的变量均是统计显著的。（错）4.双对数模型中的斜率表示因变量对自变量的弹性。（对）5.为了避免陷入虚拟变量陷阱，如果一个定性变量有类，则要引入个虚拟变量。（错）6.如果回归模型违背了同方差假定，最小二乘估计量是有偏无效的。（错）7.在存在接近多重共线性的情况下，回归系数的标准差会趋于变小，相应的t值会趋于变大。（错）8.在任何情况下OLS估计量都是待估参数的最优线性无偏估计。（错）9.一个联立方程模型中的外生变量在另一个联立方程模型中可能是内生变量。（对）根据t统计量，9.13和23都大于5%的临界值，因此系数都是统计显著的。 内生变量为货币供给、 投 资和产出。外生变量为滞后一期的货币供给以及价格指数Dependent Variable: