《统计学：思想、方法与应用》第9章时间序列与指数

1、16:48第9章 时间序列和指数o 9.1 时间序列的成分时间序列的成分o 9.2 平滑技术平滑技术o 9.3 趋势分析趋势分析o 9.4 指数指数116:48学习目标 o知道时间序列的四个组成部分。知道时间序列的四个组成部分。o能够计算几种移动平均。能够计算几种移动平均。o确定趋势方程，利用趋势方程对未来时期进行预测。确定趋势方程，利用趋势方程对未来时期进行预测。o指数的含义。指数的含义。o懂得加权与非加权指数的区别。懂得加权与非加权指数的区别。o建立并解释拉氏价格指数、帕氏价格指数以及价值指数。建立并解释拉氏价格指数、帕氏价格指数以及价值指数。o阐述消费者价格指数是如何建立的。阐述消费者价

2、格指数是如何建立的。o了解一些重要的经济指数。了解一些重要的经济指数。216:48 o 什么是时间数列什么是时间数列?o 按时间顺序记录并排列的数据序列称时间序列按时间顺序记录并排列的数据序列称时间序列o 时间数列的基本要素：时间数列的基本要素：o 所属的时间范围所属的时间范围o 反映数量特征的反映数量特征的o 数值数值 o 排列的时间形式可排列的时间形式可o 以是以是年份、季度、年份、季度、o 月份月份或其它任何时或其它任何时o 形式形式9.19.1时间序列的成分时间序列的成分316:48年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）1979

3、1980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7416:48q各期指标数值所属时间可比各期指标数值所属时间可比q各期指标数值总体范围可比各期指标数值总体范围可比q各期指标数值计算口径可比各期指标数值计算口径可比q各期指标数值经济内

4、容可比各期指标数值经济内容可比516:48616:48716:48时间序列的图形描述国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）最终消费最终消费（亿元）（亿元）最终消费率最终消费率（% %）年末人口年末人口（万人）（万人）人均消费人均消费（元（元/ /人）人）19891989- - - -112704112704- -1990199018319.518319.511356.211356.262.0462.041143331143331001.21001.21991199121280.421280.413145.913145.961.7761.771158231158231142.31142.319

5、92199225863.725863.715952.115952.161.6861.681171711171711369.31369.31993199334500.734500.720182.120182.158.558.51185171185171712.61712.61994199446690.746690.7267962679657.3957.391198501198502248.32248.31995199558510.558510.5336353363557.4957.491211211211212791.62791.61996199668330.468330.440003.9400

6、03.958.5458.541223891223893285.63285.61997199774894.274894.243579.443579.458.1958.191236261236263542.83542.81998199879003.379003.346405.946405.958.7458.741247611247613736.63736.61999199982673.182673.149722.749722.760.1460.141257861257863969.13969.12000200089356.789356.754616.754616.761.1261.12126743

7、1267434325.64325.62001200198618.198618.158952.658952.659.7859.781276271276274635.24635.220022002107514.2107514.262364.662364.658.0158.011284531284534870.74870.7返返回回816:48时间序列的图形描述916:481016:48指报告期水平与基期水平之差指报告期水平与基期水平之差n1n10 x,x,x,x 1nn1201xx,xx,xx 0n0201xx,xx,xx 逐期增长量逐期增长量累计增长量累计增长量 0n1nn1201xxxxxxx

8、x n,1,2,ixxxxxx1ii01i0i 时间数列的速度分析时间数列的速度分析1116:48nxxn)x(x0nn1i1ii 量量平均 长 n,1,2,；i12或4LxxiLi 增增长长量量年年距距1216:48n1n10 x,x,x,x 1nn1201xx,xx,xx 环比发展速度环比发展速度定基发展速度定基发展速度0n0201xx,xx,xx1316:481nn2n1n1201xxxxxxxx 1i00i01i0ixxxxxxxx 0nxx n)1,2,(ixx1ii 1416:48速速度度发发展展基基期期水水平平基基期期水水平平报报告告期期水水平平速速度度增增长长100 n,1,2

9、,；i12或4LxxiLi 展展速速度度年年距距发发1516:48100 xxxxx1ii1i1ii 100 xxxxx0i00i 100 xxxxxiLiiiLi 1616:48发发展展速速度度平平均均增增长长速速度度平平均均100 1716:48即有：即有：nnGxx 0nnnnxGxGxxGxGxxGxx 01201201,从最初水平从最初水平x0出发，每期按一定出发，每期按一定的平均发展速度的平均发展速度 发展，经过发展，经过n个时期后，达到最末水平个时期后，达到最末水平xn，有，有G基本要求基本要求1816:48计算公式计算公式nniinnnnnGGGGRxxG 1210总速度总速度

10、环比速度环比速度1916:481.从最初水平从最初水平x0出发，每期按平均发展速度发展，出发，每期按平均发展速度发展，经过经过n期后将达到最末期水平期后将达到最末期水平xn2.按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致一期的实际观察值一致3.只与序列的最初观察值只与序列的最初观察值x0和最末观察值和最末观察值xn有关有关平均发展速度（几何法的特点）2016:4820072006116084.51 15.32%)Y年数值 （年平均增长率）（2200822006116084.51 15.32%)Y年数值 （年平均增长率）（2116:4822

11、16:48速度的分析与应用（一个例子）甲、乙两个企业的有关资料甲、乙两个企业的有关资料年年 份份甲甲 企企 业业乙乙 企企 业业利润额利润额(万元万元)增长率增长率(%)利润额利润额(万元万元)增长率增长率(%)20065006020076002084402316:48速度的分析与应用（增长1%绝对值）1.速度每增长一个百分点而增加的绝对量速度每增长一个百分点而增加的绝对量2.用于弥补速度分析中的局限性用于弥补速度分析中的局限性3.计算公式为计算公式为2416:48下个月的消费者信心指数是多少？ 指指消费者根据国家或地区的经济发展形势，对就消费者根据国家或地区的经济发展形势，对就业、收入、物价

12、、利率等问题的综合判断后得出的一业、收入、物价、利率等问题的综合判断后得出的一种看法和种看法和预期预期。在许多国家，消费者信心的测度被认。在许多国家，消费者信心的测度被认为是消费总量的必要补充，由消费者满意指数和消费为是消费总量的必要补充，由消费者满意指数和消费者预期指数者预期指数构成。国家统计局构成。国家统计局定期公布这类数据定期公布这类数据 怎样怎样预测下个月的消费者信心指数呢？预测下个月的消费者信心指数呢？首先弄清楚首先弄清楚它它在在07年年4月月至至08年年5月这月这段时间里是如何变化的，段时间里是如何变化的，找出其变化的模式。如果预期过去的变化模式在未来找出其变化的模式。如果预期过去

13、的变化模式在未来的一段时间里能够延续，就可以根据这一模式找到适的一段时间里能够延续，就可以根据这一模式找到适当的预测模型并进行预测。当的预测模型并进行预测。本章介绍的内容本章介绍的内容就是有关就是有关时间序列的预测问题时间序列的预测问题 2516:48下个月的消费者信心指数是多少？下个月的消费者信心指数是多少？ 日期日期消费者预期指数消费者预期指数消费者满意指数消费者满意指数消费者信心指数消费者信心指数2007.0498.892.496.22007.0599.193.096.72007.06100.093.697.42007.0799.293.096.72007.0899.993.397.32

14、007.0999.692.996.92007.1099.292.496.52007.1198.792.096.02007.1299.593.196.92008.0198.691.295.62008.0296.890.594.32008.0397.190.794.52008.0496.690.194.02008.0597.090.294.32616:48现象在较长时期内受某种根本性现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势因素作用而形成的总的变动趋势现象在一年内随着季节的变化而现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动发生的有规律的周期性变动现象以若干年为周期所呈现出的现

15、象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动波浪起伏形态的有规律的变动是一种无规律可循的变动，包括是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动严格的随机变动和和不规则的突发不规则的突发性影响很大的变动性影响很大的变动两种类型两种类型时间序列的组成要素(components)2716:48含有不同成分的时间序列含有不同成分的时间序列平平稳稳趋趋势势季季节节季季节节与与趋趋势势2816:48时间序列的成分(例题分析)【 例 9 - 1 】 1990年年2005年我年我国人均国人均GDP、轿车产量、轿车产量、金属切削机金属切削机床产量和棉床产量和棉花产量的时花产量的时间序列。绘间序列。绘制图形

16、观察制图形观察其所包含的其所包含的成分成分2916:48含有不同成分的时间序列 3016:48（1）加法模型：）加法模型：Y=T+S+C+I（2）乘法模型：）乘法模型：Y=TSCI319.2 平滑技术n 定义：通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，称为平滑法。n 常用的方法有：o 移动平均法o 加权移动平均法o 指数平滑法16:483216:483316:48平稳序列的预测1. 平稳序列平稳序列(stationary series)：不含有趋势的序列，其波动主要是随机成分所致，序列的平均值不随着时间的推移而变化 2. 通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，因而也称为平滑法3. 平稳序列的预

17、测方法有移动平均移动平均(moving a v e r a g e ) 法 、 简 单 指 数 平 滑简 单 指 数 平 滑 ( s i m p l e exponential smoothing)法 3416:48移动平均预测(moving average) 1.选择一定长度的移动间隔，对序列逐期移动求得平均数作为下一期的预测值2.将最近k期数据平均作为下一期的预测值 3.设移动间隔为k (1kt)，则t+1期的移动平均预测值移动平均预测值为 4.预测误差用均方误差(MSE) 来衡量 3516:48移动平均预测(例题分析) o 【例例9-1】根据表根据表9-2中的销售额数据，分中的销售额数据

18、，分别取移动间隔别取移动间隔k=3和和k=5进行移动平均预进行移动平均预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较。的序列绘制成图形进行比较。3616:48移动平均预测(例题分析) 月月销售额销售额（万元）（万元）移动平均移动平均预测值预测值k=3k=3预测预测误差误差预测预测误差误差平方平方移动平均移动平均预测值预测值k=5k=5预测预测误差误差预测预测误差误差平方平方1272313294332929-4-4161652831313 39 962630304 4161629.629.63.63.612.9612.967302929-1

19、-11 129.429.4-0.6-0.60.360.3682828280 00 029.229.21.21.21.441.449322828-4-416162929-3-39 9103030300 00 028.828.8-1.2-1.21.441.44112530305 5252529.229.24.24.217.6417.6412322929-3-39 92929-3-39 9- - -0 09292- -1.21.251.8451.843716:4821()92=10.229niiiYFMSEn21()51.84=7.407niiiYFMSEn3816:48移动平均预测(特点) 1.

20、将每个观测值都给予将每个观测值都给予相同的权数相同的权数2. 只使用最近期的数据，在每次计算移动平均只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为值时，移动的间隔都为k3. 主要适合对较为主要适合对较为平稳的序列平稳的序列进行预测进行预测4. 对于同一个时间序列，采用不同的移动步长对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的预测的准确性是不同的n选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使个使均方误差达到最小均方误差达到最小的移动步长的移动步长 3916:489.2.2 加权移动平均o 定义：如果某些时期得到的权数不同于其他定义

21、：如果某些时期得到的权数不同于其他时期的权数，则移动平均被称为时期的权数，则移动平均被称为加权加权移动平均移动平均（weighted moving average）。）。o 在移动平均法中，每个观测值都使用了相同在移动平均法中，每个观测值都使用了相同的权数。但有时候，我们可能希望对某些时期的权数。但有时候，我们可能希望对某些时期的数据赋予比其他数据更高的权数。的数据赋予比其他数据更高的权数。n 例如，预测者可能认为上个月的数据比其他月份的例如，预测者可能认为上个月的数据比其他月份的数据数据重要重要3倍。倍。n 在大多数情况下，在大多数情况下，最近时期的最近时期的观测值应取得观测值应取得最大的最

22、大的权数权数，而比较远的时期的权数应该依次递减。，而比较远的时期的权数应该依次递减。4016:48月月销售额（万元）销售额（万元）移动平均预测移动平均预测值值k=3k=3预测误差预测误差预测误差平方预测误差平方12723132943329.33 29.33 -3.67 -3.67 13.44 13.44 52831.33 31.33 3.33 3.33 11.11 11.11 62629.83 29.83 3.83 3.83 14.69 14.69 73027.83 27.83 -2.17 -2.17 4.69 4.69 82828.33 28.33 0.33 0.33 0.11 0.11 9

23、3228.33 28.33 -3.67 -3.67 13.44 13.44 103030.33 30.33 0.33 0.33 0.11 0.11 112530.33 30.33 5.33 5.33 28.44 28.44 123227.83 27.83 -4.17 -4.17 17.36 17.36 合计合计- - -0.50 -0.50 103.42 103.42 4116:48o 两点注意：两点注意：o 一是合理的步长。一是合理的步长。o 二是权数，权数之和为二是权数，权数之和为1o 如果时间序列波动较大，你认为权数应如何如果时间序列波动较大，你认为权数应如何确定？确定？4216:48简

24、单指数平滑预测(simple exponential smoothing)1.适合于平稳序列(没有趋势和季节变动的序列)对过去的观测值加权平均进行预测的一种方法2.观测值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑3.t+1的预测值是t期观测值与t期平滑值St的线性组合，其预测模型为4.或 Yt为第为第t期的实际观测值期的实际观测值 Ft 为第为第t期的预测值期的预测值 为平滑系数为平滑系数 (0 1)t+1tttF= F +a(Y - F )43可见指数平滑值可见指数平滑值F Ft t实质上是各期实质上是各期观测值的加权平均观测值的加权平均数数( (权数和为权数和为1)1)，各，各

25、期权数呈指数递减期权数呈指数递减形式，故称为指数形式，故称为指数平滑。平滑。11Fy(1)0tt 时1+10(1)tjttjjFy111t-1111111t+1tttt-t-2tt-23ttt-2t-22t-ttt-t-21t-jtt- jj=0F= ay +(1-a)F= ay +(1-a) ay+(1-a)F= ay +a(1-a)y+(1-a) F= ay +a(1-a)y+a(1-a) y+(1-a) F= ay +a(1-a)y+a(1-a) y+a(1-a)y +(1-a) F= a(1-a) y+(1-a) F16:484416:48简单指数平滑预测 (例题分析)o指数平滑指数平

26、滑预测预测4516:48简单指数平滑预测 (例题分析Excel输出的结果)月月销售额销售额（万元）（万元）a=0.2a=0.2预测误差预测误差预测误差预测误差的平方的平方a=0.5a=0.5预测误差预测误差预测误差预测误差的平方的平方12723127.00 27.00 -4.00 -4.00 16.00 16.00 27.00 27.00 -4.00 -4.00 16.00 16.00 32927.80 27.80 -1.20 -1.20 1.44 1.44 29.00 29.00 0.00 0.00 0.00 0.00 43328.04 28.04 -4.96 -4.96 24.60 24.

27、60 29.00 29.00 -4.00 -4.00 16.00 16.00 52829.03 29.03 1.03 1.03 1.07 1.07 31.00 31.00 3.00 3.00 9.00 9.00 62628.83 28.83 2.83 2.83 7.98 7.98 29.50 29.50 3.50 3.50 12.25 12.25 73028.26 28.26 -1.74 -1.74 3.03 3.03 27.75 27.75 -2.25 -2.25 5.06 5.06 82828.61 28.61 0.61 0.61 0.37 0.37 28.88 28.88 0.88 0.

28、88 0.77 0.77 93228.49 28.49 -3.51 -3.51 12.34 12.34 28.44 28.44 -3.56 -3.56 12.69 12.69 103029.19 29.19 -0.81 -0.81 0.66 0.66 30.22 30.22 0.22 0.22 0.05 0.05 112529.35 29.35 4.35 4.35 18.94 18.94 30.11 30.11 5.11 5.11 26.11 26.11 123228.48 28.48 -3.52 -3.52 12.38 12.38 27.55 27.55 -4.45 -4.45 19.76

29、19.76 合计合计- - -10.92 -10.92 98.80 98.80 - -5.55 -5.55 117.68 117.68 4616:48简单指数平滑预测 (例题分析)4716:48平滑系数平滑系数的选择的选择o （1）值越小，对序列的平滑作用越强，对时间序列的变化反映越慢；值越大，对序列的平滑作用越弱，对时间序列的变化反映越快。o （2）如果对趋势的估计主要依靠近期信息，宜选择得大一些；如果希望充分重视历史信息，宜选择得小一些。o （3）希望减小初始值的影响，值宜大些；希望突出初始值的影响，值宜小些。o （4）可选取几种不同的数值进行比较，最后选择使实际值和估计值均方误差最小的。

30、48第 九 章 时间序列与指数16:484916:48趋势序列预测1. 趋势：时间序列随时间呈现持续增加或减少的状态或规律。2. 可选择的预测模型n线性趋势(linear trend)模型l回归直线n非线性趋势(non-linear trend)模型l指数直线l多项式5016:485116:48判断判断趋势趋势类型类型绘制散绘制散点图点图分析数分析数据特征据特征52一阶差分就是一阶差分就是离散函数离散函数中连续相邻两项之中连续相邻两项之差；定义差；定义X(k)，则，则Y(k)=X(k+1)-X(k)就是就是此函数的一阶差分此函数的一阶差分同理，同理，Y(k)的一阶差分的一阶差分Z(k)=Y(k

31、+1)-Y(k)=X(k+2)-2*X(k+1)+X(k)为此函数的为此函数的二阶差分二阶差分9.3.1 线性趋势预测16:485316:485416:48tyi一阶差分一阶差分yi - yi-11234 na + ba + 2ba + 3ba + 4b a + nbbbb bbtay5516:482tbtatytbnayt byattnyttynb22)(tbay5616:48最最小小值值 2)btay( 2)btay(Q 2tbtatytbnaytbay 最最小小值值 2)y(y从从出出发发对对a和和b求偏导数求偏导数并令其等于并令其等于0，整理得整理得 令令t byattnyttynb2

32、2)(5716:48线性趋势预测(例题分析)【例9-2】根据表9-5中销售额时间数列，用直线趋势方程预测2011年的销售额，并给出各年的预测值和预测误差，将实际值和预测值绘制成图形进行比较年份年份时期时期销售额（百万元）销售额（百万元）200016.6200127.92002310.5200346.9200458.92005612.52006716.52007814.72008913.620091016.420101119.85816:48线性趋势预测(例题分析)5916:48年份年份时期时期（t)t)销售额（百销售额（百万元）万元）y yt2t2tyty20001 16.61 16.66.6

33、200127.94 415.815.82002310.59 931.531.5200346.9161627.627.6200458.9252544.544.52005612.5363675752006716.54949115.5115.52007814.76464117.6117.62008913.68181122.4122.420091016.410010016416420101119.8121121217.8217.8合计合计6666134.3134.3506506938.3938.3222()11938.366134.3=1150666=1.204ntytybntt 1 3 4 .36

34、6=1 .2 0 41 11 1= 4 .9 8ayb t632.2013204. 198. 4428.1912204. 198. 4204. 198. 420122011yyty6016:489.3.1 线性回归趋势SUMMARY OUTPUT回归统计回归统计Multiple R0.907236R Square0.823078A d j u s t e d R Square0.80342标准误差标准误差1.952401观测值观测值11方差分析方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析回归分析1159.6023159.602341.869820.000115残差残差934.30

35、6823.811869总计总计10193.9091系数系数标准误差标准误差t StatP-valueIntercept4.9818181.2625593.9458120.003376时期时期1.2045450.186154 6.47069 0.0001154.98 1.204Yt6111.3.2 非线性趋势预测16:486216:489.3.2 非线性趋势o 对数趋势方程的一般形式如下：loglog logYatbYtab63严格来说，严格来说，应是应是lg16:48指数曲线指数曲线o 步骤：步骤：o （1）确定动态数列是否有指数曲线趋势，用散点图）确定动态数列是否有指数曲线趋势，用散点图或各

36、期环比速度或各期环比速度大致相等大致相等。o （2）假设指数曲线方程）假设指数曲线方程 o （3）计算）计算a、b两个参数两个参数o 1）把指数曲线转化为直线）把指数曲线转化为直线o o o Y=A+Bto 2）计算）计算A、B两个参数（用最小平方法）两个参数（用最小平方法）o 3）计算）计算a、b tyabloglog logYatb6416:489.3.2 非线性趋势年份年份时期时期进口量（万元）进口量（万元）Log（进口（进口量）量）1998130.48199924.20.62200035.70.76200148.30.922002511.51.0620036161.202004722.

37、41.3520058311.492006944.51.6520071060.11.7820081184.31.93200912118.62.07201013163.92.216516:489.3.2 非线性趋势SUMMARY OUTPUT回归统计回归统计Multiple R0.999955R Square0.999911A d j u s t e d R Square0.999902标准误差标准误差0.005579观测值观测值13方差分析方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析回归分析13.829651 3.829651 123043.71.27E-23残差残差110.000

38、3423.11E-05总计总计123.829993系数系数标准误差标准误差t StatP-valueIntercept0.3325490.003282 101.31431.08E-17时期时期0.1450590.000414 350.77581.27E-23log0.3325490.145059Yt6616:482ctbtay6716:48二次曲线o 当逐期增长量的增长量大体相同时，拟合一抛物线当逐期增长量的增长量大体相同时，拟合一抛物线时间时间序号序号t t销售量销售量Y Y逐期增长量逐期增长量二阶差分二阶差分1997.11997.1-5-5928928 1997.21997.2-4-428

39、452845191719171997.31997.3-3-332383238393393-1524-15241997.41997.4-2-24942494217041704131113111998.11998.1-1-145554555-387-387-2091-20911998.21998.20 06278627817231723211021101998.31998.31 164856485207207-1516-15161998.41998.42 2685268523673671601601999.11999.13 368496849-3-3-370-3701999.21999.24 47

40、31773174684684714711999.31999.35 570237023-294-294-762-7626816:486916:48 43223222tctbtayttctbtatytctbnay最小值ctbtayQ标准方程式标准方程式令令7016:48二次曲线o 当逐期增长量的增长量大体相同时，拟合一抛物线当逐期增长量的增长量大体相同时，拟合一抛物线年份年份产品产量产品产量逐期增长量逐期增长量二级增长量二级增长量2001988988200210121012242420031043104331317 720041080108037376 620051126112646469 920061179117953537 720071239123960607 720081307130768688 820091382138275757 77116:4872回归统计回归统计Multiple RMultiple R0.9999970.999997R SquareR Square0.9999940.999994Adjusted R SquareAdjusted R Square0.9999920.999992标准误差标准误差0.3898050.389805观测值观测值9 9方差分析方差分析dfdfSSSSMSMSF FSi