线性系统的状态空间分析法

1、第九章 线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。 二、重点状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。三、教学内容： 以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。1、系统数学描述的两种基本方法 一种是外部描述。一种是内部描述。对比举例2、系统描述中常用的基本概念 输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形3、系统状态空间描述常用的基本概念 状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定

2、常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。将概念讲解、举例、对比来加深理解。4、举例 熟悉对概念理解5、根据系统机理建立状态空间表达式方法 步骤：1 确定输入输出向量；2 根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程；3 选择状态变量，根据方程建立状态方程；4 列写输出方程；5 将状态方程、输出方程变换为向量矩阵形式。举例：RLC网络（单输入-单输出）；机械位移系统（双输入-三输出）第一节 线性系统的状态空间描述一、教学目的和要求掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。二、重点由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容： 1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出）（1）系统输入量

3、中不含倒数项。式中y,u分别为系统的输出、输入量；是由系统特性确定的常数。由于给定n个初值及t0的u（t）时，可唯一确定t>0时系统得的行为，可选取n个状态变量为，故上式可化为再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。（2）系统输入两种含有倒数项。（m=n）可按下列规则选择状态变量，设各h值可按如下选取记故将上面微分方程写成向量-矩阵形式的动态方程。（3）系统输入两种含有倒数项。（m ） 可按下列规则选择状态变量，设将微分方程式列写为向量-矩阵形式的动态方程。2、由系统传递函数建立状态空间表达式方法应用综合法有 =其中系数由综合除法得到为下面介绍几种由导出几种标准形式动态方程的方法。

4、（1） N(sD(s串联分解的情况。将分解为俩部分相串联，取Z为中间变量，z,y应满足选取状态变量，列写出状态方程和输出方程，其向量-矩阵形式的动态方程为 式中上式中A阵又称友矩阵，若状态方程中的A,b具有这种形式，则称为可控标准型，画出状态变量图。（2）N(sD(s只含单实极点时的情况。设D(s可分解为式中为系统的单实极点，则传递函数可展成部分分式之和而且有令状态变量 或再进行拉氏反变换即可得到状态空间表达式，（3）N(sD(s只含重实极点时的情况。传递函数可展成下列部分分式和其状态变量的选取方法与只单实极点时相同。3、举例 各种方法的应用小结： （1）由系统微分方程建立状态空间表达式方法。

5、（2）由系统传递函数建立状态空间表达式方法。作业：9-119-3系统的传递函数矩阵一、教学目的和要求掌握变量之间的传递关系。二、重点系统的传递函数矩阵三、教学内容： 1、齐次状态方程的解状态方程 （9-36）（1）幂级数法设状态方程（9-36）的解是t的向量幂级数其中 且,故 （2）拉普拉斯变换法将(9-36取拉氏变换有 则 然后进行拉氏反变换求解.2、状态转移矩阵的运算性质状态转移阵 具有如下性质(8若AB=BA，则若,则(9若为的状态转移阵,则引入非奇异变换后的状态转移矩阵为(10两种常见的状态转移矩阵证明和应用3、非奇次状态方程的解 状态方程 （1）积分法上式两边同乘以,然后两边积分得（

6、2）拉普拉斯变换法: 两端取拉氏变换,得例 试求如下线性定常系统的状态转移矩阵(t和状态转移矩阵的逆-1(t）。解 对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定 由于其逆矩阵为因此=由于-1（t）=(-t，故可求得状态转移矩阵的逆为例 求下列系统的时间响应：式中，u(t为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t=1(t。解 对该系统状态转移矩阵已在例2.1中求得，即因此，系统对单位阶跃输入的响应为：或如果初始状态为零，即X(0=0,可将X(t简化为4、传递矩阵的定义及表达式定义: 初始条件为零时,输出向量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之间的传递关系成为传递矩阵.系统动态方程为 系统的传递函数矩

7、阵为：H(s5 、开环与闭环传递矩阵 开环传递函数矩阵：H(sG(s闭环传递函数矩阵：偏差传递函数矩阵：6、解耦系统的传递矩阵传递矩阵G(s一般不是对角矩阵,即每一个输入将影响所有输出量,而每一输出量也都会受到所有输入量的影响,这种系统称为耦合系统,其控制方式称为耦合控制. 在系统中引入适当的校正环节,是传递函数矩阵对角化,称为解耦.（1） 用串联补偿器Gc(s实现解耦Gp(s其中 系统引入Gc(s后系统闭环传递矩阵实现解耦. 推导（2） Gp(s用前馈补偿器 G d (s 解耦 其中，系统引入Gc(s后系统闭环传递矩阵实现解耦. 7、传递函数矩阵的实现定义:给定一个传递函数矩阵，若有一系统(

8、A,B,C,D能使成立，则称系统(A,B,C,D是G(s的一个实现（1）单输入-多输出系统传递函数的实现将 其中为常数向量，严格有理真分式函数设的最小公分母为，变为将作串联分解并引入中间变量，便可得到可控标准型实现的动态方程。（2）多输入-单输出系统传递函数的实现将 其中为常数向量，严格有理真分式函数同理设的最小公分母，则 同理便可得到可观测准型实现的动态方程小结：(1传递矩阵；(2闭环传递矩阵；(3 解耦系统传递函数求取；(4传递函数矩阵的实现方法 作业：9-149-3状态可控与输出可控的概念及判据一、教学目的和要求理解可控性概念，掌握可控性判定方法。二、重点状态可控与输出可控的概念及判据。

9、三、教学内容： 系统的数学模型“状态空间表达式”建立后，分析线性定常系统具有的性能。1、可控性及其基本概念定义：状态可控、系统可控、系统不完全可控、状态与系统可达。2.状态能控性的判据考虑线性连续时间系统： (3.1）其中，（单输入），且初始条件为。如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔tott1内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.1）描述的系统在t = to时为状态(完全能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全能控的。下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即to=0。由上一章的内容可知，式(3.1的解为利用状态能

10、控性的定义，可得或 (3.2将写为A的有限项的形式，即 (3.3将式(3.3代入式（3.2），可得 (3.4记则式(3.4成为 (3.5如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x(0，都应满足式（3.5）。这就要求n×n维矩阵的秩为n。由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当n×n维矩阵Q满秩，即时，由式（3.1）确定的系统才是状态能控的。上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为式中，那么可以证明，状态能控性的条件为n×nr维矩阵的秩为n，或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵能控性矩阵。例 考虑由下式确定的系

11、统：由于即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。例 考虑由下式确定的系统：对于该情况，即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。3 状态能控性约当规范型判据考虑如下的线性系统式中，。 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件分两种情况：（1）矩阵A的特征值是两两相异的。由线性变换可将式变为对角线规范型 （9-142）系统完全可控的充分必要条件是，在式中不含元素全为零的行。（2）矩阵A的特征值（重），（重），。，（重），且。由线性变换可将化为约当规范型，其中而由的最后一行所组成的矩阵对均为行线性无关。例 下列系统是状态能控的：下列系统是状态不能控的：4、输出可控性定义：若在有限时间间隔内，存在无约束分段连

12、续控制函数，能使任意输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统式中，。可以证明，系统输出能控的充要条件为：当且仅当m×(n+1r维输出能控性矩阵的秩为m时，由式（3.11）和（3.12）所描述的系统为输出能控的。小结： （1）线性定常系统状态可控性；（2）线性定常系统输出可控性；作业：P513 9-179-4 观测性概念、秩判据一、教学目的和要求理解可观测性概念，掌握可观测性判定方法。 二、重点掌握可观测性概念、秩判据和约当规范型判据。三、教学内容：1可观测性及其基本概念定义：可观测性、系统完全可观测、系统不可观测2 线

13、性系统定常连续系统的可观测性判据考虑输入时系统的状态方程和输出方程 （9-156）其中，为n维状态向量，y为q为输出向量。格拉姆矩阵判据：线性定常连续系统（9-156）完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。证明！秩判据：线性定常系统（9-156）完全可观测的充分必要条件是 证明！PBH秩判据：线性定常连续系统（9-156）完全可观测的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值i(i=1,2,n，均有或均成立。 证明！PBH特征判据向量：线性定常连续系统（9-156）完全可观测的充分必要条件是，A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一

14、特征值,使同时满足的特征向量0。 证明！约当规范型判据：线性定常连续系统（9-156）完全可观测的充分必要条件分两种情况：（1）矩阵A的特征值是两两相异的。由（9-156）线性变换导出的对角线规范型 （9-142）式中不含元素全为零的列。（2）矩阵A的特征值（重），（重），。，（重），且。对式（9-156）进行线性变换导出的约当规范型为其中而由的最后一行所组成的矩阵对均为列线性无关例 试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的。解 由于能控性矩阵的秩为2，即，故该系统是状态能控的。对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于的秩为1，即，故该系统是输出能控的。为了检验能观测性条件，我们

15、来验算能观测性矩阵的秩。由于的秩为2，故此系统是能观测的。例 下列系统是能观测的：显然，下列系统是不能观测的：作业：9-22(1,(39-5线性系统的线性变换(一一、教学目的和要求了解常用的线性变换关系。二、重点掌握化可控系统为可控标准形。三、主要内容：一、 引入定义：若在向量空间存在一非零向量v，使 则称为矩阵A的特征值。任何满足上式的非零向量p称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。 根据上述定义，可以求出A的特征值。将上式改写成： 这个齐次线性方程有非零解的充分必要条件是： ，常称之为特征方程。而其行列式的展开式称为A的特征多项式，特征方程的根称为矩阵A的特征值。 二、教学进程设计1状态空间

16、表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换的目的使A阵规范化，以便于接受系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质，所以变换原则为等价变换。设系统方程，令，为非奇异线性变换矩阵，它将变换王为，变换后动态方程为，式中 ，介绍几种常用的线性变换关系（1）化矩阵A为对角阵 A 的特征根互异 当矩阵A具有相异的特征值时，取，(i=1,2,n为与相对应A的特征向量，则 A为特征根互异的友矩阵，使A化为对角线型的变换阵P是一个范得蒙（Vandermonde）矩阵，即，A有重特征值，但具有n个独立的特征向量 这时取，仍可使A对角化（2）化矩阵A为约当型如果矩阵A的特征值有重根，而且独立特征向量的个数小于A的

17、维数n,则A不可能化为对角型矩阵，而只能化为与对角矩阵相似的矩阵-约当矩阵。 设矩阵A有m重的特征值根，其余为（n-m）个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实特征向量，则只能使A化为约当阵J。，其中 设矩阵A为友矩阵，有m重的特征值根，且只有一个独立实特征向量，则只能使A化为约当阵J。，其中，式中 设矩阵A为具有5重的特征值根，但有两个独立实特征向量、，其余为（n-5）个互异实特征值，则只能使A化为约当阵J。，其中（3）化可控系统为可控标准形化可控系统为可控标准形的步骤：计算可控性矩阵；计算可控性矩阵的逆阵；取出的最后一行（即第n行）构成行向量。构造P阵便是将非标准型可控系统化为可控标准型的

18、变换矩阵。2 对偶原理下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由提出的对偶原理。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：式中，。以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：式中，。对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。为了验证这个原理，下面写出系统S1和S2的状态能控和能观测的充要条件。对于系统S1：1. 状态能控的充要条件是n×nr维能控性矩阵的秩为n。2. 状态能观测的充要条件是n×nm维能观测性矩阵的秩为n。对于系统S2:1. 状态能控的充要条件是n×nm维能

19、控性矩阵的秩为n。2. 状态能观测的充要条件是n×nr维能观测性矩阵的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检检和判断。简单地说，对偶性有如下关系：3、非奇异线性变换的不变性特性（1）变换后系统特征值不变；证明！（2）变换后系统传递矩阵不变；证明！（3）变换后系统可控性不变；证明！（4）变换后系统可观测性不变。证明！4、综合练习三、小结1、 化A阵为规范型的几种方法；2、 对偶原理的应用；3、 非奇异线性变换的不变性特性四、作业：。9-5 系统结构的规范分解一、教学目的和要求了解系统规范型分解的方法。二、

20、重点可控性结构分解、可观测性结构分解及系统结构的规范分解。三、教学内容：一、 引入状态变量可分为可控可观测、可控不可观测、不可控可观测、不可控不可观测四种，相应的系统也可分为四类子系统。有两种划分方式：按可控性的结构分解和按可观测性的结构分解。二、教学进程设计1、可控性的结构分解方法设不可控系统的动态方程为 （9-249）若系统可控性矩阵的秩为r（）,则可从可控性矩阵中选取r个线性无关的列向量，另外再任意选取尽可能简单的个列向量，使它们与线性无关，这就可以构成（）非奇异变换阵，对（9-249）进行非奇异变换，则（9-249）变换为下列的规范表达式 （9-251）式中为r维可控状态子向量；为(n

21、-r维不可控状态子向量。2、系统可控性规范分解的特点（1） 可控子系统和原有系统的传递函数矩阵相同。证明！（2） 输入只通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关，但是，不可孔子系统对整个系统的影响是不可忽视的。证明！（3） 可控性规范分解不是唯一的。证明！（4） 可控性规范分解虽然不是唯一的，但可控因子与不可控因子是相同的。证明！（5） 线性系统完全可控的充分必要条件是：系统经过非奇异线性变换不能化为（9-251）的形式。3、系统按可观测性的结构分解设不可观测系统的动态方程为 （9-261）若系统可观测矩阵的秩为（）,则可从可观测矩阵中选取个线性无关的行向量，另外再任意选取尽可能简单的维行

22、向量，使它们与线性无关，这就可以构成（）非奇异变换阵，对（9-261）进行非奇异变换，则（9-261）便可得系统结构按可观测性分解的规范表达式 （9-251）式中为维可观测状态子向量；为(n-维不可控状态子向量。可观测性规范分解也有与可控性规范分解相类似的分析和结论.4、系统结构的规范分解设不可控和不可观测系统的动态方程为 （9-268）通过线性非奇异变换可实现系统结构规范分解，其变换关系推导如下：先对系统进行可控分解，即引入状态变换，式中是基于系统可控性矩阵来构造。继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换，式中是基于可控子系统的可观测矩阵来构造。最后对不可控子系统进行可观测性分解，即

23、引入状态变换，式中是基于不可控子系统的可观测矩阵来构造。综合上面三次状态变换，有下列变换关系 （9-272）将（9-272）代入（9-268）便可将（9-268）变换为规范型5、综合应用举例及练习三、小结四、作业：9-6线性系统的反馈结构及其对系统可控性与可观测性的影响一、教学目的和要求了解线性定常系统的反馈结构。二、重点线性系统的反馈结构及其对系统可控性与可观测性的影响。三、教学内容： 一、 引入 现代控制理论中，反馈控制仍是系统设计的主要方式。二、教学进程设计1、 线性定常系统常用的反馈结构（1） 状态反馈：状态变量反馈至参考输入端。-设有n维线性定常系统 （9-280）当将系统的控制量u

24、取为状态变量的线性函数 （9-281）将式（9-281）代入（9-280）可得状态反馈系统动态方程，其传递函数矩阵为。（2）输出反馈：一种是将输出至状态微分；另一种将输出至参考输入端。将输出量反馈至状态微分的反馈控制，设其反馈矩阵为H，则反馈结构的动态方程为-将输出至参考输入的反馈控制，设其反馈矩阵为F，则反馈结构的动态方程为-2、 反馈结构对系统性能的影响定理9-1 对于系统（9-280），状态反馈的引入不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。定理9-2 对于系统（9-280），输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性，但可能改变系统的可控性。定理9-3 对于系统（9-280），输

25、出至参考输入端反馈的引入同时不改变系统的可控性和可观测性，即输出反馈系统为可控（可观测）的充分必要条件是被控系统为可控（可观测）。定 义： 加入反馈，使得输出反馈构成的闭环系统成为稳定系统，称之为镇定。定理9-4 当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。证明上面定理3、 综合举例和应用训练4、 三、小结（1）线性定常系统常用的反馈结构。（2）反馈结构对系统性能的影响。四、作业 第九章 线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求了解线性定常系统的极点配置及状态观测器的构造方法。二、重点极点配置。三、教学内容:一、 引入 现代控制理论中，极点配置是系统校正的主要方式。二

26、、教学进程设计本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为s =1，s =2,，s =n。我们将证明，如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵K，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在s平面上将一个系统的闭环极点配置到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。我们还将讨论3种确定状态反馈增益矩阵的方法。应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地选择多于n个参数，也就是说，除了适当地配置n个闭环极点外

27、，即使闭环系统还有其他需求，也可满足其部分或全部要求。1、 极点可配置条件考虑线性定常系统。假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为式中K为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。定理 (极点配置定理 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全能控。证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。 必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。现利用反证法证明。

28、先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵A-BK的特征值不可能由线性状态反馈来控制。假设式（4.1）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于n，即这意味着，在能控性矩阵中存在q个线性无关的列向量。现定义q个线性无关列向量为，选择n-q个附加的n维向量，使得的秩为n 。因此，可证明这些方程的推导可见例4.7。现定义则有式中，是一个q维的单位矩阵，是一个n-q维的单位矩阵。注意到A22的特征值不依赖于K。因此，如果一个系统不是状态完全能控的，则矩阵的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全能控的。 充分性。即已知被控系统状态完全能控，则矩阵A的

29、所有特征值可任意配置。在证明充分条件时，一种简便的方法是给出的状态方程变换为能控标准形。定义非奇异线性变换矩阵P为P = Q W （1）其中Q为能控性矩阵，即 (1 (3式中为如下特征多项式的系数。定义一个新的状态向量，如果能控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全能控的），则矩阵Q的逆存在，1 (4其中 （5） （6）式（4）为能控标准形。这样，如果系统是状态完全能控的。选取一组期望的特征值为1，2，n，则期望的特征方程为 (7设 (8由于，从而由式(4，此时该系统的状态方程为相应的特征方程为 事实上，当利用作为控制输入时，相应的特征方程与式（8）的特征方程相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征

30、值。这可简单说明如下。由于该系统的特征方程为对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（6）、(7和（8），可得 (9这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（7）的期望特征方程相等。通过使s的同次幂系数相等，可得对i求解上述方程组，并将其代入式（4.11），可得 (10因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（10）所选取的矩阵K，可任意配置所有的特征值。证毕2、 单输入-单输出状态反馈系统的极点配置算法给定可控对和一组期望的闭环特征值,要确定(维的反馈增益向量k，是闭环系统状态矩阵的特征值为。第1步：计算A的特征多项式，即第2步：计算由所决定的希望特征多项式，即第3步：计算第

31、4步：计算变换矩阵 第5步：求P；第6步：计算反馈增益向量。3、 全维状态观测器及其设计原系统，状态不易通过输出直接测得，需要通过系统输入和输出模拟系统的状态。全维状态观测器的动态方程 故有 式中成为观测器系统矩阵。观测器存在条件为 定理9-7 若被控系统可观测，则其状态可用形如的权维状态观测器给出估值，其中矩阵H按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。证明例 考虑如下线性定常系统式中利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：所以得出detQ = -1。因此，ra

32、nkQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方法中的每一种求解。方法1：该系统的特征方程为：因此期望的特征方程为因此可得方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为并使和期望的特征多项式相等，可得因此从中可得或4、分离特性定理9-8 若被控系统可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即K和H阵的设计可分别独立进行。证明当状态观测器估计状态向量的维数小于被控的对象状态向量的维数时,成为降维状态观测器。对于q维输出系统，有q个输出量可直接由传感器测得。5、 设计降维状态观测器。（1）（）维子系统动态方

33、程的建立（2）（）维状态观测器的构成及分析设计。（3）设计降维状态观测器的步骤检查被控系统的可观测性，确定降维状态观测器维数（）；运用非奇异线性变换，将传感器可以测得的q个状态变量与待观测器估计的（）个状态变量分离开，并导出变换后被控系统的动态方程；构造实用的（）维观测器。H阵的参数及期望特征方程联立确定。作业：9-309-5 线性定常系统的极点配置及状态观测器的构造方法一、教学目的和要求掌握李雅普诺夫稳定性分析方法。二、重点线性定常系统的极点配置及状态观测器的构造方法三、教学内容：一、 引入 稳定性是系统的重要特性，使系统正常工作的必要条件。二 教学进程设计1、 李雅普诺夫意义下的稳定性（1

34、）平衡状态：对于所有的t，满足的状态称为平衡状态。考虑如下非线性系统 式中x为n维状态向量，是变量x1,x2,xn和t的n维向量函数。假设在给定的初始条件下，式有唯一解。当t =to时，。于是总存在， 则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。 2、Lyapunov意义下的稳定性定义（2）李雅普诺夫意义下的稳定性: 对于所有的，满足。（3）渐近稳定: 不仅具有李雅普诺夫意

35、义下的稳定性，且有。（4）大范围渐近稳定性：当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。（5）不稳定性：对于某个实数和任一个实数，不管这两个实数有多么小，在内总存在一个状态，使得由这一状态出发的轨迹超出，则是不稳定的。3.标量函数的定号性（1）正定性 如果对所有在域中的非零状态，有，且在x = 0处有=0，则在域（域包含状态空间的原点）内的纯量函数称为正定函数。如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数，使得, 对所有, 对所有则称时变函数在域（包含状态空间原点）内是正定的。（2）负定性如果 -是正定函数，则纯量函数称为负定函数

36、。（3）正半定如果纯量函数除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都是正定的，则称为正半定纯量函数。（4）负半定如果 -是正半定函数，则纯量函数称为负半定函数。（5）不定性 如果在域内，不论域多么小，既可为正值，也可为负值时，纯量函数称为不定的纯量函数。a 李雅普诺夫第一法（间接法）定理9-9 对于线性定常系统，有（1）系统的每一平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定性的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。（2）系统的唯一平衡状态是渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有负实部。证明并举例b 李雅普诺夫第二法（直接法）通常用

37、二次型函数作为李雅布诺夫函数。标量函数定号性的复习。定理 9-10 (大范围一致渐近稳定判别定理考察连续时间非线性时变自由系统其中，即状态空间的原点为系统的平衡状态。如果存在一个对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数，且满足如下条件：（1）正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数和，其中，使对一切和一切均有（2）对时间t的导数负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数，其中，使对一切和一切均有（3）当时，则系统原平衡状态为大范围一致渐近稳定。证明并举例定理 9-11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理对于定常系统，其中，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数，并且对于状态空间X中的一切非零点x满足如

38、下条件：（1）为正定；（2）为负定； （3）当时；则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。证明并举例定理 9-12 (定常系统大范围渐近稳定判别定理2 对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数，并且对于状态空间X中的一切非零点x满足如下条件：（1）为正定；（2）为负半定；（3）对任意（3）当时；则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。证明并举例定理 9-13 （不稳定的判别定理） 对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数或，其中，和围绕原点的域，使得对于一切和一切满足如下条件：（1）为正定且有界或为正定；（2）为正定且有界或为正定，则系统平衡状态不稳定。证明并举例6、线性定常离散系统渐近稳定的判别考虑如下线性定常自治系统 式中，。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通过Lyapunov第二法进行研究。选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定Hermite矩阵（如果x是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正