高考数学(文数)一轮复习练习题：8.6《抛物线》（教师版）

1、第6节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用2,3,4,10抛物线的标准方程及几何性质1,6直线与抛物线的位置关系5,7,8,11抛物线的综合应用9,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.抛物线y=4ax2(a0)的焦点坐标是(C)(A)(0,a)(B)(a,0) (C)(0,)(D)(,0)解析:将y=4ax2(a0)化为标准方程得x2=y(a0),所以焦点坐标为(0,),所以选C.2.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为(D)(A)y2=4x(B)y2=8x(C)x2=4y(D)x2=8y解析:因为动点P到A(0,2)点的距离

2、比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等,根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,以直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y,故选D.3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若BFD=120°,ABD的面积为2,则p等于(A)(A)1(B)(C)(D)2解析:因为BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,由抛物线定义,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以|BD|·d=

3、2p·p=2,所以p=1,选A.4.抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|等于(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:如图,直线l与x轴的交点为D,过Q点作QQl,Q为垂足,设|QF|=d,由抛物线的定义可知|QQ|=d,又|PF|=|PQ|,所以|PF|=4d,|PQ|=5d,又PDFPQQ,所以=,解得d=5,即|QF|=5,故选C.5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(C)(A)5(

4、B)6 (C)(D)解析:如图,过点A作ADl交l于点D,所以|AF|=|AD|=4,由点F是AC的中点,有|AF|=2|MF|=2p.所以2p=4,解得p=2,抛物线y2=4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4.所以x1=3,A(3,2),F(1,0).kAF=.AF:y=(x-1)与抛物线y2=4x,联立得3x2-10x+3=0,x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=+2=.故选C.6.已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的准线为l,点P在C上,作PHl于H,且|PH|=|PA|,APH=120°,则p=.&#

5、160;解析:设焦点为F,由题可得PAF=,xP=+xP=,所以4=xP+p=.答案:7.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=. 解析:F是抛物线C:y2=16x的焦点,所以F(4,0),又过F的直线l与直线x+y-1=0垂直.所以直线l的方程为y=(x-4),代入抛物线C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0.设A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=.答案:能力提升(时间:15分钟)8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距

6、离为2,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于M,N两点,若MMl,NNl,垂足分别为M,N,则MNF的面积为(B)(A) (B) (C) (D)解析:因为p=2,所以抛物线方程为y2=4x,直线MN:x=y+1,由得y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|=.所以SMNF=××2=.选B.9.如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|等于(C)(A)4(B)2 (C)1(D)解析:法一(特值法)由题意可推得|AB|·|CD|为定值,所以分析直

7、线与x轴垂直的情况,即可得到答案.因为圆(x-1)2+y2=1的圆心为抛物线y2=4x的焦点,半径为1,所以此时|AB|=|CD|=1.所以|AB|·|CD|=1,故选C.法二(直接法)设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,AD的方程为y=k(x-1).则由消去y,可得x1x2=1,而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1,|CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2,所以|AB|·|CD|=x1·x2=1.故选C.10.如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总

8、是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围为. 解析:抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=xA+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以xB(2,6,所以6+xB(8,12.答案:(8,1211.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则BCF与ACF的面积之比=. 解析:设AB:y=k(x-

9、),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=3,而|BF|=2,所以x2+=2.所以x2=,x1=2.=.答案:12.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则=16k2+1

10、6>0,故x1+x2=,x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k2=1,则k=1,所以直线l的方程y=x-1.(2)由(1)可得AB的中点坐标为D(3,2),则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5,设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.13.已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若OAOB,求AOB面积的最小值.解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a.由消去x,得y2-2ty-2a=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,因为