三点共线知多少2

1、第十一届全市基础教育课程改革征文大赛论文类别：中学数学三点共线知多少杨正弟   电话庆市江津龙吟中学 摘要：在中学几何教材中不曾有“三点共线”这节内容，但又会用到。本论文分几种情况详细的探讨了三点共线在几何教学中的作用，阐述了三点共线的几种情况。关键词：三点共线 在一条直线上在中学几何教材中不曾有“三点共线”这节内容，但在实际的应用中却经常碰到。学生在解题时遇上“三点共线”问题时往往不能正确应对，导致解题错误或无从下手。如图1：直线上有A、C、B三点，当你看到此图形时能联想到什么知识？这些知识对我们解题有哪些帮助呢？一、“三点共线”与线段

2、的和差a根据图1可联想到AC+BC=AB，或AB-AC=BC等。图1应用举例：如图2，C是线段BD上的一动点（不与B、D重合），以BC为边作等边三角形ABC，连结AD,以AD为边作等边三角形ADE，连结CE。试猜想AC、CE、CD之间的关系，并说明理由。图3图2 分析：很多同学都能猜想出AC+CD=CE或CE-CD=AC等，。但说明理由就觉得难了。学生在这里容易忽略C是线段BD上一动点这一条件， B、C、D三点共线可进行线段的和差运算。如果学生说出AC+CD=CE，因为ABC是等边三角形，所以AC=BC，可将AC+CD转换成同一条直线上的BC+CD=BD来进行思考，即可想到解此题的关键一步，证

3、明BD=CE。只需证明这两条线段所在的ABD和ACE全等就可完成任务。解：AC、CE、CD之间的关系是AC+CD=CE。理由如下： ABD和ACE是等边三角形 AB=BC，AD=AE BAC=DAE=60°BAC+CAD=DAE+CAD 即BAD=CAE ABDACE(SAS) BD=CE C是BD上一动点 BC+CD=BD BC+CD=CE BC=AC AC+CD=CE. 小结：此题借助三点共线进行线段的和差运算，将要证明的两条线段之和或之差转换成一条直线上的线段之和或之差进行，这是解此类题的关键。二、“三点共线”与180°的关系由图1还可联想到ACB=180°

4、。应用举例 如图3，B、C、D三点在同一条直线上，且AB=DE，BC=CE，B=CED，求证：ACBD。分析：因为B、C、D三点共线，所以ACB+DCE=180°，要证ACBD，只需证ACB=DCE=90°。于是证明ACB与DCE全等即可。证明：AB=DE B=CDE BC=CE ABCDCE(SAS) ABC=DCE B、C、D三点共线 ACB+DCE=BCD=180° ACB=DCE=90° ACBD 小结：解题时经常用到三点共线构成平角，过平角的顶点作一条射线，将平角分成一对邻补角，知道其中一个角的度数求另一个角的度数或得出两个角相等判断垂直。三、

5、“三点共线”的错例分析错例1：如图4，ABCD，E为AD上一点，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，若AD=8，求AE。图5图4错解：过点E作EMBA交BA延长线与点M，ENCD于点N，EHBC于点H.AME=DNE=90° BE、CE分别是ABC、BCD的平分线 ME=HE,NE=HE(角平分线的性质) ME=NE AEM=DEN（对顶角相等） AMEDNE(ASA) AE=DE=4. 错因分析：证明AMEDNE时用到了AEM=DEN理由是对顶角相等。根据对顶角的定义：一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，必须是两条直线相交才能形成对顶角。而作辅助线时仅仅是过点E作EMBA交

6、BA延长线与点M，ENCD于点N，并不知道M、E、N三点是否在一条直线上，做题时误把M、E、N三点看成是在同一条直线上与AD相交构成对顶角，造成错解。该题的正确解答可通过ABCD，得MAE=D换掉AEM=DEN（对顶角相等）这一步，作为三角形全等的一个条件进行求解。 错例2：如图5，公园里有一条反Z字形道路ABCD，其中ABCD，点E、M、F 处各有一个小石凳，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在同一条直线上？说明理由。学生误解1:E、M、F三点在一条直线上。理由如下：连结EF，使EF经过M M是BC的中点 BM=CM ABCD B=C BE=CF EBMFCM(SAS) BME

7、=CMF E、M、F三点在一条直线上错因分析：连结EF，EF就一定会经过点M吗？学生误解2：连结ME、MF，解题过程同误解1。四、怎样证明“三点共线”？以错例2为例。正确解法如下：E解法（1）：连结EF，交BC与点N图5图4 E、M、N三点在一条直线上 ENB=FNC. ABCD B=C BE=CF BENCFN(AAS) BN=CN 即N是BC的中点 M是BC的中点 点M与点N重合 E、F、M三个石凳在同一条直线上。小结：证明三点共线时，可连结三点中的任意两点，再证明第三点也在两点所连直线上。此题还可以连结EM，延长交DC与点P,证明点P与点F重合等。解法(2):连结ME、MF M是BC的中点 BM=CM ABCD B=C. BE=CF EBMFCM(SAS) EMB=FMC B、M、C三点在一条直线上 EMB+EMC=BMC=180