2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案.然后再写上新的答案;不准

2、使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014广东,理1)已知集合M=-1,0,1,N=0,1,2,则MN=().A.0,1B.-1,0,2C.-1,0,1,2D.-1,0,1答案:C解析:由题意知MN=-1,0,1,2,故选C.2.(2014广东,理2)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=().A.-3+4

3、iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i答案:D解析:由已知得z=253+4i=25(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25(3-4i)25=3-4i,故选D.3.(2014广东,理3)若变量x,y满足约束条件yx,x+y1,y-1且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=().A.5B.6C.7D.8答案:B解析:画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域).作直线l0:y=-2x,平移直线l0,由图形可知,当l0经过可行域内的点A(2,-1)时,z取最大值,即m=2×2+(-1)=3;当l0经过可行域内的点B(-1,-1)时,z取最小值,即n=2×(-

4、1)+(-1)=-3,故m-n=3-(-3)=6.故选B.4.(2014广东,理4)若实数k满足0<k<9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的().A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案:A解析:因为0<k<9,所以方程x225-y29-k=1与x225-k-y29=1均表示焦点在x轴上的双曲线.双曲线x225-y29-k=1中,其实轴长为10,虚轴长为29-k,焦距为225+9-k=234-k;双曲线x225-k-y29=1中,其实轴长为225-k,虚轴长为6,焦距为225-k+9=234-k.因此两曲线的焦距相等,

5、故选A.5.(2014广东,理5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是().A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)答案:B解析:对于A中的向量a1=(-1,1,0),cos<a,a1>=a·a1|a|a1|=-12·2=-12,a1与a的夹角为120°,不合题意;对于B中的向量a2=(1,-1,0),cos<a,a2>=a·a2|a|a2|=12·2=12,a2与a的夹角为60°,符合题意;对于C中的向量a3=(0,-1,1),cos

6、<a,a3>=a·a3|a|a3|=-12·2=-12,a3与a的夹角为120°,不合题意;对于D中的向量a4=(-1,0,1),cos<a,a4>=a·a4|a|a4|=-22·2=-1,a4与a的夹角为180°,不合题意,故选B.6.(2014广东,理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为().图1图2A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10答案:A解

7、析:由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000+4 500+3 500=10 000,因此样本容量为10 000×2%=200.又高中生人数为2 000,所以应抽取的高中生人数为2 000×2%=40.由题图2知高中生的近视率为50%,所以抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选A.7.(2014广东,理7)在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是().A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案:D解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中

8、,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1l2,l2l3.若取l4为A1D1,则有l1l4;若取l4为DD1,则有l1l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.8.(2014广东,理8)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为().A.60B.90C.120D.130答案:D解析:由已知得|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|的取值可能为1,2,3.若|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1.则x1,x2,x3,x4,x5中

9、必有一个数为1或-1,其余四个数为0,因此共有C51·C21=10种取值可能.若|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,则x1,x2,x3,x4,x5中必有三个数为0,其余两个数为1或-1.若两数均为1,则有C52种;若两数均为-1,则有C52种;若两数中一个为1,另一个为-1,则有C52·A21种,因此共有C52+C52+C52·A21=40种取值可能.若|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,则x1,x2,x3,x4,x5中必有两个数为0,其余三个数为1或-1.若三个数均为1,则有C53种;若三个数均为-1,则有C53种,若三个数中

10、有一个1、两个-1,则有C53·C31种;若三个数中有两个1、一个-1,则有C53·C32种.因此共有C53+C53+C53·C31+C53·C32=80种取值可能.综上,满足条件的元素个数为10+40+80=130.故选D.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(913题)9.(2014广东,理9)不等式|x-1|+|x+2|5的解集为. 答案:x|x2或x-3解析:原不等式可化为以下三个不等式组:(1)x1,x-1+x+25;(2)x-2,1-x-(x+2)5;(3)-2<x<1,1-x

11、+x+25.解(1)得x2;解(2)得x-3,(3)无解,因此原不等式的解集为x|x2或x-3.10.(2014广东,理10)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为. 答案:5x+y-3=0解析:因为y=e-5x+2,所以y'=-5e-5x,因此曲线在点(0,3)处的切线的斜率为k=-5e-5×0=-5,故所求切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.11.(2014广东,理11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为. 答案:16解析:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取

12、七个不同的数,共有C107种不同的取法.当这七个数的中位数是6时,应该有3个比6小的数,还有3个比6大的数,因此一共有C63·C33种不同的取法,故所求概率P=C63·C33C107=20120=16.12.(2014广东,理12)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则ab=. 答案:2解析:因为bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,所以sin(-A)=2sin B,即sin A=2sin B.于是a=2b

13、,即ab=2.13.(2014广东,理13)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=. 答案:50解析:因为an为等比数列,所以由已知可得a10a11=a9a12=a1a20=e5,于是ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a3a20),而a1a2a3a20=(a1a20)10=(e5)10=e50,因此ln a1+ln a2+ln a20=ln e50=50.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2014广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为

14、sin2=cos 和sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为. 答案:(1,1)解析:由sin2=cos 可得2sin2=cos ,因此y2=x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=x;由sin =1可得曲线C2的直角坐标方程为y=1.解方程组y2=x,y=1,可得x=1,y=1,所以两曲线交点的直角坐标为(1,1).15.(2014广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则CDF的面积AEF的面积=. 答案:9解析:因为ABCD

15、是平行四边形,所以ABDC,且AB=DC,于是CDFAEF,且CDAE=ABAE=3,因此CDF的面积AEF的面积=CDAE2=9.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014广东,理16)已知函数f(x)=Asinx+4,xR,且f512=32.(1)求A的值;(2)若f()+f(-)=32,0,2,求f34-.解:(1)f(x)=Asinx+4,且f512=32,f512=Asin512+4=Asin 23=A·32=32.A=3.(2)f(x)=3sinx+4,且f()+f(-)=32,f()+f(-)=3

16、sin+4+3sin-+4=3sincos 4+cossin 4+sin 4cos-cos 4sin=3×2cos sin 4=6cos =32,cos =64,且0,2.sin =1-cos2=104.f34-=3sin34-+4=3sin(-)=3sin =304.17.(本小题满分13分)(2014广东,理17)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分

17、组频数频率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.解:(1)n1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08;(2)样本频率分布直方图为:(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为0.2.设所取的4人中,日加工零件数落在区间(30,35的人数为,则B(4,0.2),所以,P(1)=1-P(=0)

18、=1-(1-0.2)4=1-0.409 6=0.590 4.故在该厂任取的4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50的概率为0.590 4.18.(本小题满分13分)(2014广东,理18)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30°,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.(1)证明:CF平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值.(1)证明:PD平面ABCD,PDAD.又CDAD,PDCD=D,AD平面PCD,ADPC.又AFPC,ADAF=A,PC平面ADF,即CF平面ADF.(2)解:设AB=1,则在RtPDC中,CD=1,DPC=30

19、6;,PC=2,PD=3.由(1)知CFDF,DF=32,CF=12.AF=AD2+DF2=72,又FECD,DEPD=CFPC=14,DE=34.同理EF=34CD=34.如图所示,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,1),E34,0,0,F34,34,0,P(3,0,0),C(0,1,0),设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则mAE,mEF,又AE=34,0,-1,EF=0,34,0,m·AE=34x-z=0,m·EF=34y=0,解得34x=z,y=0.令x=4,得z=3,m=(4,0,3).由(1)知平面ADF的一个法向量为PC=(-

20、3,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为,可知为锐角,cos =|cos<m,PC>|=|m·PC|m|PC|=4319×2=25719,故二面角D-AF-E的余弦值为25719.19.(本小题满分14分)(2014广东,理19)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式.解:(1)由Sn=2nan+1-3n2-4n得,S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20.又S3=15,a3=7,S2=4a3-20=8.又S2=S1+a2=(2a2-7)+a2

21、=3a2-7,a2=5,a1=S1=2a2-7=3.综上知a1=3,a2=5,a3=7.(2)由(1)猜想an=2n+1(nN*),以下用数学归纳法证明:当n=1时,结论显然成立;假设当n=k(kN*,且k2)时,有ak=2k+1成立,则Sk=3+5+7+(2k+1)=3+(2k+1)2×k=k(k+2).又Sk=2kak+1-3k2-4k,k(k+2)=2kak+1-3k2-4k,解得ak+1=2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.由知,数列an的通项公式为an=2n+1(nN*).20.(本小题满分14分)(2014广东,理20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=

22、1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解:(1)由题意可知c=5,又ca=53,a=3,b2=a2-c2=4.椭圆C的标准方程为x29+y24=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,对应l2x轴或l2x轴,可知P(±3,±2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x0±3,设l1的斜率为k(k0),则l2的斜率为-1k,所以l1的方程为y-y0=k(x-x0),联立x29+y24=1,整理,得(9k2+4

23、)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0.直线与椭圆相切,=0,得9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,-36k2+4(y0-kx0)2-4=0,(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0.k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的一个根,同理-1k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的另一个根,k·-1k=y02-4x02-9,得x02+y02=13,其中x0±3,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x±3),又P(±3,±2)满足上式,故点P的轨迹方程为x2+y2=13.21.(本小题满分14分)(2014广东,理21)设函数f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3,其中k<-2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k<-6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).解:(1)由题意可知(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3>0,(x2+2x+k)+3·(x2+2x+k)-1>0,x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1,(x+1)2<-2-k(-2-k>0)或(x+1)