113四种命题间的相互关系

1、1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系f学习目标导航1. 了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念2. 能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题.(重点、难点)3. 掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系.(易混点)阶段1.认知预习质疑知识械理要点初探基础初探教材整理1四种命题的概念及结构阅读教材P4P5,完成下列问题.1. 四种命题的概念一般地，对于两个命题，(1) 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.(2) 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的，那么

2、我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫 做原命题，那么另一个叫做原命题的 .(3) 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的否定和的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题 .如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 .【答案】(1)互逆命题 逆命题(2) 否定否命题(3) 结论条件逆否命题2. 四种命题的结构形式【答案】若q,则p若巾，贝厂q若p,则R做休脸判断(正确的打“V”，错误的打“X”)命题“若b 则q”的否命题为“若P,贝厂q”.()(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题 .()命题“若 AH B = A，贝U AU B=

3、B”的逆否命题是“若 AU BmB,则AH Bm A”.()【答案】(1)x V (3)V教材整理2四种命题之间的关系阅读教材P7,完成下列问题1. 四种命题之间的关系2. 四种命题的真假关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；(2) 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 .【答案】(1)相同(2)没有关系微休验下列四个命题：“若xy= 0,则x= 0,且y= 0”的逆否命题；“正方形 是矩形”的否命题；“若 ac2bc2，则ab”的逆命题；若 m2,则不等式2x 2x+ m0.其中真命题的个数为()A. 0B.1C.2D.3【解析】 命题的逆否命题是“若XM 0,或 沪0

4、,则xyM 0” ,为假命题;命题的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题;命题的逆命题是“若ab,则ac小组合作型四种命题的概念例把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.相似三角形对应的角相等；2 当 x3 时，x 4x+ 30; 正方形的对角线互相平分.【导学号：37792006】【精彩点拨】根据四种命题的定义解答.【自主解答】(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三

5、个角对应不相等，则这两个三角形不相似.(2)原命题：若 x3，则 x2 4x+ 30；bc2”，为假命题；命题为真命题，当m2时，方程x2 2x+ m= 0的判别式A0,则x3;否命题：若x 3,则x2 4x+ 3 0;2逆否命题：若x 4x+ 30,则xy，则x2y2”的逆否命题；(3) “若x0”的否命题；(4) “对顶角相等”的逆命题.【导学号：37792007】【精彩点拨】依题意写出命题进行判定，正确的命题进行证明，错误的命题只需举出反例，或应用互为逆否命题的命题具有相同的真假性判定【自主解答】命题“若x+ y= 0,则x, y互为相反数”的逆命题为“若x, y互为相反数，则x+ y=

6、 0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否 命题具有相同的真假性，所以“若x+ y= 0,则x, y互为相反数”的否命题是真 命题.(2) 令 x= 1, y= 2,满足 xy，但 x2y,则 x2y2” 是假命 题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性， 所以“若xy,则x2y2”的逆 否命题也是假命题.(3) 该命题的否命题为“若x3,则x2x 63，但 x2 x 6 = 60，不满足x2x 6b,则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这 4个命题中，真命题的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.4个【解析】当c= 0时，ac2b不成立，故原命题是假命题，从而

7、其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2bc2,则ab”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.【答案】 C探究共研型探究点等价命题的应_用探究1已知命题“若m1xm+ 1，则1x2”的逆否命题为真命题，求实数m的取值范围.【提示】 因为命题“若m1xm+ 1，则1x2”的逆否命题为真命题，m 1一1，所以原命题也是真命题，则解得0W m 1,则实数m的取值范m+ K 2，IJ围是0,1.探究2 证明：若m2 + n2= 2，贝U m+ nW 2为真命题.【提示】将命题“若m2 + n2= 2，则m+ n2，则m2 + n2工2”，下面证明逆否命题的正确性.因为 m2 + n22mn，

8、所以 2（m2 + n2）m2 + n2+ 2mn= （m+ n）2，即卩2 2 1 2m + n 2（m+ n），又因为m+ n2，2 2 1 2 1 2所以 m + n 2（m+ n） x 2 = 2，即 m2 + n22，所以 m2 + n2工2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.例 命题：对任意x R, ax2 2ax 30不成立是真命题，求实数a的 取值范围.【精彩点拨】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性， 即互为逆否命 题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时， 可以 通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题 .【自主解

9、答】因为命题“对任意x R，ax2 2ax 30不成立”等价于“对任意x R，ax2 2ax 30时，二次函数的图象开口向上又因为= 4a2+ 12a0,所以图象不会全部落在x轴下方，显然不符合题意.2当av 0时，二次函数f(x) = ax 2ax 3开口向下，只需满足 A 0即可，av 0，av 0，即所以 2AW 0，4a + 12a w 0，fav 0，所以所以一3 av 0.3 aw 0，综上所述，a的取值范围是3w aw 0.1解答本题时首先利用了等价转化思想，把不成立的问题转化为恒成立的问题解决，即求对于任意x R，ax2 2ax 3w0恒成立时的a的范围.在解题过程 中还利用了

10、分类讨论的思想2. 若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难， 这时可以转化为判断它的逆否命题.II3. 判断命题“已知a, x为实数，若关于x的不等式x + (2a+ 1)x+ a + 2 1”的逆否命题的真假.【导学号：37792008】【解】 法一：原命题的逆否命题：已知a, x为实数，若av 1,则关于x的不等式x2+ (2a + 1)x+ a2 + 2 0的 解集为空集.真假判断如下：2 2因为抛物线y= x + (2a + 1)x+ a + 2的图象开口向上，判别式二(2a + 1)2 4(a2 + 2) = 4a 7,若 av 1,贝U 4a 7v 0.即抛

11、物线y=x2 + (2a + 1)x+ a2 + 2的图象与x轴无交点.所以关于x的不等式x2 + (2a + 1)x+ a2 + 2 0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真命题.法二：先判断原命题的真假.因为a, x为实数，且关于x的不等式x2 + (2a + 1)x+ a2 + 2 0,即4a 70,解得a4，所以a1,所以原命题为真命题.又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题.阶段3.体验落实评价:课堂回喷叩时达标1. 命题“若a?A,则b B”的逆命题是（）A.若 a?A,则 b?BB.若 a A,贝U b?BC若 b B,则 a?AD.若 b?B,则 a?A【解析】“若p

12、,则q”的逆命题是“若q,则p”，所以本题的逆命题是“若 b B,则 a?A”.【答案】 C2. 已知命题：“若x0, y0,则xy0”，在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是 ()A.1B.2C.3D.4【解析】 由题意可判断原命题为真命题, 故逆否命题也为真命题, 其逆命题为“若xy0,则x0, y0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中,真命题的个数为 2.【答案】 B3. 命题“若m 1,则mx2 2x+ 1= 0无实根”的等价命题是 .【解析】 原命题的等价命题是其逆否命题, 由定义可知其逆否命题为： “若2mx 2x+ 1 = 0 有实根，则 mW 1”.【答案】若mx2 2x+ 1 = 0有实根，则mW 14. 已知函数f(x)在(x,+x)上是增函数，a, b R，对命题“若a+ b0,则 f(a) + f(b)f( a) + f( b).”(1) 写出它的逆命题,并判断其真假；(2)