北京市海淀区2019届高三上学期期中考试理科数学

1、-1 海淀区高三年级第一学期期中练习数学( (理科) )20 佃.11本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合A = -1,1,2，B二x|x 10，A.f (x)二.xB.f(x)=l nxC.f(x) =2xD.f(x) = tanx在LABC 中，若 tan A = -2，贝 cos A =(D.既不充分也不必要条件6.已知数列a1的通项公式an=2n(3n-13)，则数列的前n项和

2、Sn的最小值是(B)Isinnx,x引1,0),7.已知 a 0，函数f(x)2若lax2ax 1,x 0,二)，A.-2,0)B.-1,0)C.2,3)3、si n x +cosx8.已知函数f(x)，在下列给出结论中：2.A.-1,1,2B.1,2C.-1,2D.2F 列函数中，值域为(0,；)的函数是(ADB=( A )3.4.在平面直角坐标系B5xOy中，已知点O(0,0), A(0,1),B(1,2),C(m,0)，D.壬5若OB/AC，则实数m的值A. -21B.2a ”是 a1”的(B)D.2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件B.S4C.S5D.Ss11f(

3、t弓二，则实数t的取值范围为(D.(0,；)-2 sin xcosx1二是f(x)的一个周期；-3 2f(X)的图象关于直线X二匸对称；43f(x)在(一二0)上单调递减2其中，正确结论的个数为(C)A. 0 个B.1 个C. 2 个D. 3 个二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分。19. (2x +1)dx =_.210. 已知数列an为等比数列，若ai七3=5七4=10，则公比q=_.211.已知a = log25,2&= 3,c =log32，则 a ,b, c 的大小关系为 _n12.函数f (x) =2sinCe亠0,|I：)的图象如图所示，则22

4、_n n申二，-.,_3690，则实数的取值范围是 _ 214. 定义在(0,；)上的函数 f (x)满足：当1,3)时，f(x)=1-|x-2| :f(3x)=3f(x).设关于x的函数 F(x)二 f(x)_a 的零点从小到大依次为洛，X2,IH,Xn,Hl .若 a=1，则为 x *二；若a3，贝廿羽 +X2+111 +x2n =_.答案：14; 6(3n-1)三、解答题: :本大题共 6 6 小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. (本小题满分 13 分)3厉在ABC中，角 代B,C的对边分别为a,b,c,A =603b =2c,SABC二* .2(I)

5、 求b的值；13已知ABC 是正三角形，若- AB 与向量AC的夹角-4 (n)求 sin B 的值.-5 解：(I)由A =60和SABC=竺可得1bcsi n60 匸，-2 分必222所以 be =6 ,- 3 分又3b二2e,所以 b =2,c =3.- 5 分(H)因为 b 二 2,c=3,A =60,由余弦定理a2=b2c2_2bccosA可得 - 7 分a2=22+326 =7,即卩a=J7.-9 分由正弦定理可得sin A sin B11、7=2sin 60sinB 12 分所以sinB二713 分16.(本小题满分14分)已知函数f (x) = V3cos4 x -2cos2(

6、2x +)+1.4(I)求f(x)的最小正周期;(II )求f(x)在区间-n,n上的取值范围.6 4解：(丨丨)f (x) = . 3cos4 x - cos(4xn)2=3cos4 x sin 4x.n小=2s in( 4x)-6 分3nf (x)最小正周期为T = , -8 分2(II)因为 _n_ x _n，所以n_4x - -4n-10 分643333所以 一_sin(4x -n)-1-12 分23所以 -、3 -2sin(4x好-2 ,-13 分3所以f (x)取值范围为-.3,2.-14 分-6 7 17.(本小题满分 13 分)如图，已知点A(11,0)，直线x=t (1：t：

7、11)与函数y = .x的图象交于点P，与x轴交于点H，记.APH的面积为f (t).(I) 求函数f(t)的解析式；(II) 求函数f(t)的最大值.解：(I)由已知AH =11t,PH p 14 分所以AAPH的面积为f(t)丄-切 厂1,-1：t：11.2”丄1 - 11(II)解法 1.f (t)t 1(11 -t)22 _3(3t)_4 t 17 分t(-1,3)3(3,11)f(t)+0f(t)/极大值由f(t)=O得 t =3，- 8 分函数f (t)与f (t)在定义域上的情况下表：- 12 分所以当 t -3 时，函数f(t)取得最大值 8.- 13 分A_A _ _解法 2

8、由f(t) =_(11 _t)十1 =(11-t)2(t 1),一1：t 112 2设g(t) =(11-t)2(t 1),-1讥：11，-6 分则g(t) =-2(11 t)(t 1) (11 -t)2=(t -11)(t -11 2t 2) =3(t -3)(t -11).7分t(-1,3)3(3,11)g(t)+0g(t)/极大值函数g(t)与g(t)在定义域上的情况下表：所以当 t =3 时，函数g(t)取得最大值,- 11 分12 分-8 所以当 t =3 时，函数f(t)取得最大值1,g(3,=8.18.(本小题满分 13 分)已知数列an满足：a20；对于任意正整数p,q都有ap

9、a2pq成立.(I)求a1的值；(II) 求数列an的通项公式；2(ill)若bn希1),求数列bn的前n项和.解：(I)由可得a1a =22，a1a23-2 分由可得耳=2.-3 分(II )由可得a1a2n 1，-6 分所以数列an的通项公式an=2n.- 7 分(III )由(II)可得b (an1)24n2n 11，易得4n,2n分别为公比是 4 和 2 的等比数列,19.(本小题满分 14 分)已知函数f (xx2-2(a 1)x 2aln x(a 0).(I)当 a =1 时，求曲线y=f(x)在点(1,f (1)处的切线方程； (II )求f (x)的单调区间；(III )若f(

10、x)乞0在区间1,e上恒成立，求实数a的取值范围解：(I)因为 a=1，f (x) =x2-4x 21 n x,13 分- 8 分由等比数列求和公式可得S4(1 -4n)4(1-2n)一1 -41 -2吒虻-16)才-13分 9 2x2_4x +2所以f(x)二一(x 0),xf(1)y，f(1)= 0,所以切线方程为y=-3.- 1分- 3分- 4 分-10 当 0 :：: a :：: 1 时，在x (0,a)或x (1,；)时f (x)0,在x (a,1)时f (x) : 0,所以f(x)的单调增区间是(0,a)和(1,；)，单调减区间是(a,1)； -7 分当 a =1 时，在x (0,

11、；)时f(x) _0,所以f (x)的单调增区间是(0,二);-8 分 当 a 1 时，在x (0,1)或x (a,：)时f (x)0，在x (1,a)时f(x)：0.所以f (x)的单调增区间是(0,1)和(a,：)，单调减区间是(1,a).-10 分(III )由(II)可知f (x)在区间1,e上只可能有极小值点， 所以f(x)在区间1,e上的最大值在区间的端点处取到， -12 分即有f (1) =1 -2(a 1) _0且f (e)二e22(a 1)e 2a _0,e2_2e解得a_e _2e.-14 分2e220.(本小题满分 13 分)看1二肓，an=3lN,惊+1 ,a3l ,1

12、 E N*.A = x | x二na,Ni .(I)若a4是数列an中首次为 1 的项，请写出所有这样数列的前三项；(II)求证：1,2,3 A；(III )当 a 乞 2014 时，求集合A中元素个数Card (A)的最大值.解：(I) 27,9,3 ； 8,9,3； 6,2,3.-3 分1(II )若ak被 3 除余 1，则由已知可得ak 1=ak-1,ak.ak 2,ak 3G 2)；311若ak被 3 除余 2,则由已知可得ak1二ak 1.2(a1).3(ak1) 1；3311右ak被 3 除余 0，则由已知可得ak勺ak,ak.3ak2；33所以ak1ak2,3所以ak-ak 3-

13、ak-(1ak- 2)二2 -3)33所以，对于数列an中的任意一项ak, “若ak3，则ak- ak .3” .因为a N，所以ak- ak 3-1.(II)f (x)二2X-2(a 1)x0h2(x-1)(x-a)(x 0),xx-5分由f (x) =0得X!=a,x2=1,-6分已知数列an的首项aa,其中aN令集合-11 所以数列an中必存在某一项a3(否则会与上述结论矛盾！)若am=3，则am 1=1,am 2=2；若am=2，则am 1=3,am .2=1,若am=1，则am 1=2,am 2=3,由递推关系易得1,2,3 A.-8 分(III)集合A中元素个数Card(A)的最大值为 21.由已知递推关系可推得数列an满足：当am-1,2,3时，总有an二an .3成立，其中 n 二 m,m 1,m 2,(| .下面考虑当aa _2014时，数列a.中大于 3 的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为bn，由(I)可得6=6或 9，由(II)的证明过程可知数列bn的项满足：bn 3bn，且当bn是3的倍数时，若使bn3 bn最小，需使02=1- 1二 S- 2，所以，