弹性力学100题

1、、单项选择题）求解这些微分方程，以求得具1 .弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（体问题的应力、应变、位移。A.相容方程B .近似方法C .边界条件.附加假定B ）的力系代替，则仅在近处2 .根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ 应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A.几何上等效 B .静力上等效C .平衡.任意3 .弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（.平衡方程、几何方程、物理方程完全相同.平衡方程、几何方程相同，物理方程不同.平衡方程、物理方程相同，几何方程不同.平衡方程相同，物理方程、几何方程

2、不同4 .不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（区域内的相容方程；边界上的应力边界条件；满足变分方程;如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。A.B.C.D.5.如下图1所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（D ）I单元的整体编码为162单元的整体编码为426单元的整体编码为246III单元的整体编码为243IV单元的整体编码为564A.B.C.D.6 .平面应变问题的微元体处于（A.单向应力状态B.双向应力状态C.三向应力状态，且仃z是一主应力D.纯剪切应力状态7 .圆弧曲梁纯弯时，（C ）A.应力分量和位移分

3、量都是轴对称的B.应力分量和位移分量都不是轴对称的C.应力分量是轴对称的，位移分量不是轴对称的D.位移分量是轴对称的，应力分量不是轴对称的8 .下左图2中所示密度为 P的矩形截面柱，应力分量为：ax = 0,<1y = Ay + B,7xy = 0对图(a)和C )图（b）两种情况由边界条件确定的常数A及B的关系是（A.A 相同，B也相同B.A 不相同，B也不相同C.A相同，B不相同图2D.A不相同，B相同9、上右图3示单元体剪应变丫应该表示为一dx ay 次，其中，a,b,c,d均为常10、设有平面应力状态 <jx =ax+by,cry =cx+dy,Txy数，¥为容重

4、。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（ D ）A. X = 0,Y = 0 B. X = 0,Y =0 C. X = 0,Y = 0 D. X = 0,Y = 011、函数 （x,y）=ax4 +bx2y2+cy4如作为应力函数，各系数之间的关系是（ B ）A.各系数可取任意值B. b = -3（a+c）C. b=ac d. a bc = 012、对于承受均布荷载的简支梁来说，弹性力学解答与材料力学解答的关系是（C ）A.仃x的表达式相同B.0y的表达式相同C.”y的表达式相同D.都满足平截面假定13、图4所示开孔薄板的厚度为t,宽度为h,孔的半径为r,则b点的。中二（D ）A. q B.

5、qh/（ h-2r） C.2 q D.3q图414.所谓“完全弹性体”是指（ A ）。A. 应力应变成线性关系，符合胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 卸载后，弹性变形可恢复。15、对于常体力平面问题，要使函数中=axy3+bx3y作为应力函数，则 a、b满足的关系是（A ）A. a、b任意B. a = b C. a = -b D. a = b c16、应力、面力、体力的量纲分别是（A.B.C.D.17、弹性力学的基本假定有哪些( D )完全弹性均匀性B.C.D.M L-1 T2, M L2 T2, M L-2 T-2-1-2-2-2-1

6、 -2、 一 .一.一M L T , M L T , M L T面应变问题内某一点的正应力分量为：M L-1 T-2 m l T-2 m L-2 T-2仃 x = 35Mpa, 仃 y = 25Mpa * = 0.3 ,则。z 为-2 -2-2 -2-1 -2连续性各向同性A.18、已知一平多少(B )A 15MPaM L T , M L T , M L T B 18MPa C 20MPa D 22Mpa19、无体力情况下平面问题的应力分量如下，试判断以下两组应力分量可在弹性体中存在的是(A )(1)(2)其中，A, B, C, D, E, F为常数20、设有周边为任意形状的薄板，其表面自由并

7、与Oxy坐标面平行。若已知各点的位移分量为二x 二 Ax By二 y =Cx Dyxy =Ex Fy二x=A(x2 y2)二y=B(x2 y2)xy =Cxy1-J1u =-px,v = -py,则板内的应力分重为(EEA.二 x 二 -P,二 y =0, xy =0B.C.二 x 二 P,二 y = -P, xy =0D.C )二 x 二 -P/-y = P, xy = 0二 x =0,； = P, xy = 0、填空题1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中:平衡微分方程应力边界条件A. (1) B. (2)C.(1)、(2) D.都不可能存在2 . 一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程

8、,相容方程（变形协调条件）。3 .等截面直杆扭转问题中，2八中dxdy = M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。4 .平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数邛在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5 .弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：仃jJ+Xi =0 ,=1（uij十由）6 .物体的均匀性假定，是指物体内各点的弹性常数 相同。2h2q7 .某弹性体应力分重为：ix =qxy2y =0, % =C（-y ）（不计体力），系数为 C = -428 .弹性力学分析结果表明，材料力学中的平截面假定，对纯弯曲梁来说是正确的 。9 .

9、圆环仅受均布外压力作用时，环向最大压应力出现在内周边处。10 .已知一平面应变问题内某一点的正应力分量为：ax =35MPa ,0y = 25MPaN =0.3 ,则 az = 18MPa 。E11 .将平面应力问题下的物理万程中的E, N分别换成 和就可得到平面应变问1-21-题下相应的物理方程。4B：； 一12 .位移表达式U中=h十H P - I sin中十K cos中中的常数I,K,H 不影响I,K 表示物体的刚体平移；H表示物体的刚体转动；它们由物体的位移约束条件13 .弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力，应变，位移。14 .边界条件表示在边界上位移 与

10、约束，或 应力与 面力 之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和 混合边界条件。15 .体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT2 ;面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L -1MT2;体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向 为正,属 外 力;应力是作用于截面单位面积的力，属内 力,应力的量纲为L -1MT2 ,应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正、反之为负。16 .小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中,即孔附应力集中的局部性近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是由于孔口存在而引起的应

11、力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。17 .弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面,负面是指外法向方向沿坐标轴负回_的面 。18 .利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。20 .弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。21 .平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。22 .已知一点处的应力分量 <rx=100 MPa ay =50 MPa Txy=10v5O MPa,则主应力 仃1 = 150MPa 二 2 二 0MPa : 1 = 35 16 °23 .在弹性力学里分析问题，要考虑静力

12、学、几何学和物理学三方面条件,分别建立方程。24 .按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。25 .每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的另一部分是 由其他单元发生了形变而连带弓I起的。26 .为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小 以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移 应力的精度提高。27 .轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。28 . 一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移分量有9个。29 .在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一

13、定是主平面。30 .假如弹性体受已知体力作用，在物体的表面处，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面 力已知而另一部分上位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一 的，对后两种情况，位移分量也是唯一的。三、判断题1 .对下图所示偏心受拉薄板来说，弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。（V）2 .在轴对称问题中，应力分量和位移分量一般都与极角中无关。（ X ）改：在轴对称问题中，应力与 邛无关。但一般情况下，位移分量与中有关。3 .孔边应力集中是由于受力面减小了一些，而应力有所增大。（x ）改：孔边应力集中是由于孔附近的应力状态和位移状态完全改观所引起的。4 .位移轴

14、对称时，其对应的应力分量一定也是轴对称的；反之，应力轴对称时，其对应的位移分量一定也是轴对称的。（ V ）5 .满足平衡微分方程又满足应力边界条件的一组应力分量必为正确解（设该问题的边界条件 全部为应力边界条件）。（X ）6 .在x为常数的直线上，若u=0,则沿该线必有？x=0。（ X ）7 .平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和应变协调方程既适用于各向同性体，又适用于各向异性体。（V ）8 .两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触，其接触面为椭圆形。（V）9 .各向同性弹性体有 3个独立的弹性常数，它们是 E （弹性模量），v （泊松比）（剪切弹 性模量）。（ X ）10

15、.连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（，）11 .连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（X）12 .如果某一问题中，仃2=*=丫=0,只存在平面应力分量仃x, Oy, 1,且它们不沿Z 方向变化，仅为x, y的函数，此问题是平面应力问题。（，）13 .如果某一问题中，Wz =#zx="fzy =。，只存在平面应变分量 外,跖，Yxy ,且它们不沿z 方向变化，仅为x, y的函数，此问题是平面应变问题。（，）14 .表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（X ）15 .表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（X ）1

16、6 .当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（，）17 .当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（，）18 .在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。（X）19 .应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（，）20 .平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。（，）21 .对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。（X）22 .位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（，）23 .求解位移变分方程时所设的位移分量不必事先满足位移边界条件，只

17、要满足静力边界条件即可。（X）四、简答题1 .材料各向同性的含义是什么？ “各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什么？E,切变模量答：材料的各向同性假定物体的物理性质在各个方向上均相同。因此，物体的弹性常数不随方向而变化。在弹性力学物理方程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量G和泊松系数（泊松比）科都不随方向而改变（在各个方向上相同）。2 .试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究内容、方法等方面 的异同。答：弹力研究方法：在区域 V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分 方程、几何方程和物理方程；在边界 s上考虑受力或约束条件，并

18、在边界条件下求解上述方程，得 出较精确的解答。在研究内容方面：材料力学研究杆件 （如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等 问题；结构力学在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）；弹性力学研究各种形状的弹 性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。在研究方法方面：理力考虑整体的平衡（只决定整体的V运动状态）；材力考虑有限体 AV的平衡，结果是近似的；弓t力考虑微分体dV的平，结果比较精确。.4. 4. 4 方一 （T） 方 一 .、3 .常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为X + 2 /2 2 + T = 0，请问：相容方exex 二 ycy程的作用是什么？

19、两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方程？为什么？答：（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才 能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时 位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应 力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求 出形变分量和应力分量。4 .试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹

20、性力学分析中的作用。答：圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与 主矩相同），则近处的应力分布将有显着的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。5 .简述按应力求解平面问题时的逆解法。答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函 数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应 于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。6 .简述弹性

21、力学的研究方法。答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根 据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何 方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条 件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界 上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分 方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。7 .弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹

22、性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量仃x,仃Exy存在，且仅为x,y的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量,君y, yxy存在，且仅为x,y的函数。8.试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin )位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各 自的适用性.Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学

23、问题的基本思想：(1)变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。(2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。9.位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？答：按位移法求解时，u, v必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条 件。平衡微分方程、位移边界条件和(用位移表示的)应力边界条件既是求解的条件，也是校核u,v是否正确的条件。10.简述平面应力问题与平面应变问题的区别。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有

24、平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有Ox, Oy, "y。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有U和V.1、如图所示，考虑上端固定，下端自由的一维杆件，只受重力作用，Fbx = 0 , Fby = Pg ( P为杆件密度，g为重力加速度)，并设泊松比然=0。试用位移法求解杆件竖向位移及应力(提示：平面问题的平衡微分方程：络 +三x+FbxFxFy0C.(X/ C YV一 .、 , -. 一，一， .=0 , +Fby = 0 ；用

25、位移分重表示的应力分重表达2y；x式:,.u二v、E v二u、E v . u、% = ；2(4 M) , Oy =-2 ( + 然)， =；(4) ° )1-(1exy1-(icyex2(1+©£x£y解：据题意，设位移 u =0, v =v(y),按位移进行求解将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求 解平面应力问题的基本微分方程如下Ezc2u 1 - c2u 1 +82v -L 八2 (一22) Fbx = 01 -一x 2 cy 2 1x： y1 -：2v1 lu-2) . Fby =02 二 x 2 二x：y将相关量代入

26、式、，可见式自然满足，而式成为可由此解出P g 2 A Cv = - y +Ay + B2E本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，即(v)y =0 ,巴必=0将代入，可得进而可求得v = (2ly - y2)，by = Pg(l -y) 2E2、已知受力物体内某一点的应力分量为：仃x=0,仃y=2MPa,仃z=1MPa, %y=1MPa,vz=0, %x =2MPa。试求经过该点的平面 x+3y+ z = 1上的正应力 yzzx解：由题意可知平面x+3y+z=1,其法线方向单位矢量的方向余弦为113311=, m = = , n = = ¥彳2+32+12 万W+

27、32+125"12+32+12 小1113 11所以，该平面上的正应力为3、图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比N已知。试求薄板面积的改变量AS,并判断AS是否与薄板的形状有关。解：设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为可。由名=卷（1N）q得设板在力P作用下的面积改变为 AS,由功的互等定理有将R代入得显然，AS与板的形状无关。4、图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d的集 中力作用，单位宽度上集中力的值为P ,设间距d很小。试求其应力分量。（提示：取应力函数为中=Asin 28 + B8。）解：由于d很小

28、，所以 M =Pd,可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形将应力函数 中（r,8）代入，可求得应力分量：边界条件：（1） 01日卫=0,&J6=e=0；仃61=0,= 0"r -0' r T：0r Mr r.0代入应力分量式，有2A+B=0（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有err , Erg和M = Pd由该脱离体的平衡，得将彳日代入并积分，有解得联立式、求得：代入应力分量式，得Bn +M =0B = -M31Pd, A =71Pd2 二2Pd sin 21二 r2J = 0，Xr6 = 2Pdsin2 -二 r25、如图所示，一端固定，另一端弹性支承的

29、梁，其跨度为l ,抗弯刚度 EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k,梁受有均匀分布载荷 q作用。试构造多项式形式的梁挠度试函数w(x),并用最小势能原理或Ritz法求其挠度近似解(取1项待定系数)。解：梁挠度试函数可取为此时有即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为2.取：w(x) = A1x ,有2d w2r = 2A1, w(l) = Adx代入总势能计算式，有由6n = 0,有代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为6、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能 在弹性体中存在。(1)ox=Ax+By Qy=Cx+Dy TXy =Ex+Fy(2)

30、0x=A(x2+y2)仃 y=B(x2+y2)ixy =Cxy其中,A, B, C, D, E, F 为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)(2)(3)(4)(1) 件。(2)在区域内的平衡微分方程； 在区域内的相容方程； 在边界上的应力边界条件； 对于多连体的位移单值条件。二x 二 y M0此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-Eo此外还应满足应力边界条为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2 o上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。I C2xy2, %y =C2y3C3x2

31、y ,体力不计，Q为常237、已知应力分量 Ox = Qxy2+Cx3, cry数。试利用平衡微分方程求系数C1, C2, C3。-： - vxyx =0解：将所给应力分量代入平衡微分方程.x:y.y=0:y：x_2._2_2_2-Qy2 +3C1 x2 -3C2 y2 -C3x2 =03C2xy2c3xy=022_3c1 -C3 x QQ 3C2 y =03C2 2C3 xy=0'3C1 -C3 田由x, y的任意性，得Q43C2=03C2 2c3=0QQQ由此斛传，Ci = , C2 _ , C 3 =6328、已知应力分量 3=-q, Oy=-q, % 4 ,判断该应力分量是否满

32、足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量 <ix=-q , ay=-q , 7y=0，代入平衡微分方程可知，已知应力分量 =-q,仃丫=-q, %=0 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满 足。按应力求解平面应力问题的相容方程：将已知应力分量<Tx=q, Qy=q, EXy=0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：将已知应力分量 Qx=-q, Oy=-q, %=0代入上式，可知满足相容方程。9、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1)%=Axy, %=By3, Ly-Dy2；(2)% =Ay2,

33、% =Bx2 y，?xy =Cxy ；(3) Wx=°, %=0, %y=Cxy；其中，A, B, C, D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：(1)相容。(2) 2A+2By=C；这组应力分量若存在，则须满足：B=0, 2A=。(3) 0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0,则=0,九=0,%=0xyxy10、证明应力函数 平巾y2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计，b制)l/2l/2h/2解：将应力函数 中巾y2代入相容方程h/2可知，所给应力函数 =by2能满足相容方程

34、。由于不计体力，对应的应力分量为-2，/ C。x = 2-=2b , 。y = 2- =0 , T xy = -=0:Vfx；x.y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分 别为：h上边，y= 5 1=0, m=1 , fx=Gxy) h =0 , fy = 9y) h =0 ；2yye222下边,f y =(。y) y_h =0 ；hy =r , l =0 ,m =1 , f x =( xy ) h =0，2y %左边,lx= , l=1, m=0, fx=(a) l2x，=-2b, fy=-Gxy)l=0；x="2， l右边，X=,

35、l 1 , m=0 , fx =(。x) l =2b , f y =(%) l =0 x -x -22u可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数 byGy U =-q，(% )yj = 0，229y (上=0 , (% )y=q1。 2在次要边界x=0上应用圣维南原理列出三个积分的应力边 界条件能解决矩形板在 x方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题11、在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为 dx、dy、dz。试依据下图证明：:y- zy- xy-+y- +-+Y =0。.:y；zFx证明：£ Fy

36、=0：化简并整理上式，得：二 y-zy：xy ._xL Y = 0.:y；z ：:x12、试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。q由h参考答案：在王要边界 y = ±匚上，应精确满足下列边界条2件：hJ2h9x 130 dx = Fn ,22.hJ2h9x koydx = -M , 一2h2h xy Xz0dXu_Fs"2一在次要边界x = l列出位移边界条件,也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件'hi ；，x xydx - - M - FSl-22hJ2h3 x主dx = q1l +Fn ,22.h2h xy

37、x4dx = -ql -Fs-213、已知如图所示的墙，高度为h,宽度为b, h»b,在两侧面上受到均布剪力q作用，不计体力,试用应力函数 中=Axy - Bx2y求解应力分量参考答案:(1)将应力函数代入相容方程其中过=0,一 x六：，_0-22 - 0，x y二4：.：，-=04y满足相容方程。(2)(3)应力分量表达式为考查边界条件在主要边界x二2峦-=6Bxy，丁刈 :x1中2=-A-3Bx2:x：yb=±上，应精确满足下列边界条件:2(°x)x=；bb =0，(%y)xd = q在次要边界y=0上，9yL=0能满足，但(%* ) q = 0的条件不y 士

38、能精确满足，应用圣维南原理列出积分的应力边界条件代替 将应力分量代入边界条件，得A =, B =骂2 b应力分量=0, %_12qb2xy, %qx1 -1202b14、已知薄板有下列形变关系:%=Axy, %=By3, %y =C Dy2,式中，A, B, C, D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解：（1）相容条件：将形变分量代入形变协调方程（相容方程）:X 二；y二 xy22 1.:y:xtxy其中，%=0,g=0,三=0。；:y ；x；x .y所以满足相容方程，符合连续性条件。（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为EE3B-y)=&

39、quot;Axy+NBy)'E.E .3一於仿y+)=-yWAxy + By ), 1 - 1-1 - -1-%y =G4y=G(CDy2 )(3)平衡微分方程其中，爰=,<=冷（物心）,x xyj =-2GDy。:y若满足平衡微分方程，必须有0 1 21 o-y 1 ,已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求2 1 01仃 x Txy "xz15、一点应力张量为Tvx CTTyxy yz尸 zxzy 二 z及该平面的单位法向矢量。X =0xl + Txym+xzn解：一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为:Y fl +5 + 3及 z =41+5+512

40、22.1 m n =1m 2n = 0故有：1 二 ym n = 021m =0解得：m - -2n , 1 =n , 2(；=y -1)n =0由此得：cry =1, v =le1+me2+ne3 = 士，： 1 2-6e316、图中楔形体两侧受均布水平压力q作用，求其应力分量(体力为零)。提示:设应力函数为:X将应力分量代入边界条件，可解得:所以应力分量解答为： :-.2. 一平=r (AcosH + B)。解：极坐标下的应力分量为:r ；:rF2：.:r2=Acosu 2B=2(Acosu B)F,1 F :、 A rr = - - () = Asin,一 ：r r rJ- - -qco

41、s：力边界条件为：二'_二阡qsin ;1 1A - -q, B = - q cos二2r =q(cos.3 cos?)d = q(cos;.； -2cos1)- -qsin ?17、如图所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P,不计体力，弹性模量为E,泊松比为心，应力函数可取邛=Axy3 +Bxy +Cy2 + Dy3,试求应力分量。0(a)解：由题可知，体力 X=0, 力问题。Y=0,且为弹性力学平面应本题所设应力函数满足双调和方程:应力分量为:J2_ - 2二 y- Xx = 6Axy 2C 6DyCTy-Yy = 0xy二x- y(b)用应力边界条件求待定常数A、B、C、D应力边

42、界条件，在上、下表面 y = +2a处,必须精确满足:(、-y)y=2a 一0,( xy ) y = 2 a - 0(c)则有：_b -12Aa2 =0(d)X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有:X方向力的等效:2a一,(,晨血= -PS.: 2a对0点的力矩等效:2a.2(-x)xydy = Pasin :.2 aY方向力的等效:2a一2a( xykdy = -P 8s : .2a8Ca - -Psin :将式(b)代入上式得：32Da3 = Pasin P(e)联立式(d)和式(e),解得:应力分量为：；二-4Ba-16Aa33Pcos :,c 3P -B =cos ,8aP .C

43、 = sin :,8ax 二一而 MOS4asin 一：(1 -3y),二 y =0,.4a 'D 32a3P2 sin -xy=cos8a小-1)18、如图所示的半无限平面，证明应力1.Bsin212A A Ae 1 Bsin 20 i为本问题的解答。2之r1-Asin2 1证明:代入得：2-2 j(2Ae)= 0满足。b.满足平衡方程将应力代入平衡方程得：a.满足相容方程A. 2A c .-(1 -Bcos26 )sin2 6 =0满足。rrc.满足边界条件将应力代入得：11 .1A q 八A nsin2n i = q= A =一又满足。<2)元故其为本问题解答。19、图所示

44、悬臂梁，截面抗弯刚度 EI,梁长L,竖向弹簧刚度 k,悬臂端受集中荷载 F作用。试用瑞雷- 李兹法求解悬臂端挠度和固定端弯矩。提示：梁的挠度函数可选为：B；cos 叫< 2l J解：总势能为：对总势能求驻值得：回代并令即得悬臂梁挠度函数令x =1 ,则有悬臂端挠度为: 梁弯矩为：令x =1 ,则有固定端弯矩为:20、如图所示，悬臂梁上部受线性分布荷载，梁的厚度为1。利用材料力学知识写出。 石 表达式;x xy利用平面问题的平衡彳分方程导出ffy, Txy表达式解答：横截面弯矩：M Z3qx,横截面正应力6lMZy 2qJZ1h3代入平衡微分方程的第一式得:xyx= -dy二 x63x2y

45、dy 得x2y2fx=0 ,f (x )=3q4lh2 一.x ,那么TXy二鲁 X2 4y2-h2将7y代入平衡方程的第二式得:二 xy= -dy二 xA4y3.3h2yX gx21、单位厚度的楔形体，材料比重为边界条件。参考答案:左侧面:右侧面,那么cry21h34y3 -3h2y h3 x001,楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的1 二 -cos =，m = -sin =，y = -xcot 二1 = cos :, m = -sin :, y = xcot :Oy y这的y即22、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受

46、力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设仃x=0。由此可知将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零,这两个方程要求4 -d fi(x)dx4=0 ，4 -d f2(x)dx4=032fi (x) =Ax +Bx +Cx+I ,_3_ 2f2(x) = Dx Ex Jx K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2： c;、对应应力分量为二x=r=0-y =y(6Ax 2B) 6Dx 2E ：gy；y：:x以上常数可以根据边

47、界条件确定。左边，x=0, l =-1 , m=0 ,沿y方向无面力，所以有右边，x=b, IT, m=0,沿y方向的面力为q,所以有上边，y=0, l=0, m=-1,没有水平面力，这就要求 飞 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均b为零，即 0( xy)y：0dx=0将7y的表达式代入，并考虑到C=0,则有(3Ax22Bx)dx=Ax3Bx2 b=Ab3 Bb2=0b而g(Txy)y3 0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求Dy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bbJ0 (仃 y) y=0 dx=0 ,10 g y V =0 xdx=。将0 y的表达式代入，则

48、有由此可得 A =-2 , B = , C=0 , D=0 , E=0 b b应力分量为<!x=0,<r=2qG-3- Pgy , T=q-f3-2y b< b)xy bib )虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。23、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为fx=-一匕，x exV二 2二 2f y =一,，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，x= 2-+V , byUTTy+V,y：:yt xa： 一T.=,试导出相应的相谷方程。xy:x y,Exy应当满足平衡

49、微证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 分方程还应满足相容方程.2二 x 二 y - - 1 J y2 二-x '二 y =y至、（对于平面应力问题）（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为根据微分方程理论，一定存在某一函数a (x, y),使得A一 yx =；x同样，将第二个方程改写为:二y -V- y二 yrx C /- - yx:x可见也一定存在某一函数 B （x, y）,使得仃y-V=£BFx；:B一

50、yx =：:y二 A二 B由此得出因而又一定存在某一函数平（x,y）,使得；:x ；:yA=一 y,B=；:x代入以上各式，得应力分量V T xy -；x. y为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数邛（x,y泌须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得 简写为4审二（J）' 2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得,12cP ,试用纯三次的应力函数求解。简写为4 = 一1 2V 1一24、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为解：纯三次的应力函数为二ax3 bx2 y cxy2 dy3O相应的应力分量表达式为2- -xfx =2cx 6dy, :yg: 2 .:y=2-yfy=6ax 2by-.； gy, :x这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方吟的。现在来考察 力边界条件。,如果适当选择各*数，是否能满足应xy:x :y=-2bx-2cy上边，y=0, l=0, m=1,没有水平面力，所以有（%y）ya=2bx=0对上端面的任意 x值都