运用数形结合思想求解二次函数利润问题

1、运用数形结合思想求解二次函数利润问题数学符号，包含了约定符号、缩写符号及象形符号三种.不同符号可以依照数学所具有的规则以及逻辑含义进行组件， 可以形成相应的式子或者符号串， 从而产生数学句子或数学 式的语言内容.而这里的“形”，也不仅是数学中常见的几何图形，还有表格、代数中的数轴、函数图 象、概率中的树状图等等一些图标形式.这些都是数学形象思维的中介内容和载体内容，也是数学思维之中的结果以及重要的材料内容.同时，还能够作为一种运用工具，进一步的展开抽象思维.那么，如何把“数”与“形”结合起来？下面，以二次函数利润问题为例加以阐述.案例1某商店购进一种单价为 40元的篮球，若以单价 50元出售，

2、则每月可售出 500 个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少 10个，问当篮球售价定为多少时，每月利润最大，为多少元 ？这是在二次函数中出现频率较高的一道题，曾经也不止一次在公开课中听过不同版本的讲解.能不能把这道实际中较抽象的问题形象化、具体化，让学生更快、更准的掌握这道题？笔者想到了数形结合思想.可以进行如下的设计：（1）假设你是店主，你怎样理解“售价每提高 1元，销售量相应减少 10个” ？抓住题目中较关键的“文字语言”，深刻理解较关键的“文字语言”，把这些“文字语言”与实际生活联系起来，使这些抽象的“文字语言”生活化，形象化 售价销售量T1元I】0个T2元H )T3元i 4元

3、1()!()T需元（后填入）1 Uh个（后填入）其中代表提高、涨价；代表减少、降价，在这里笔者设计了以上图表，用最简单的数字规律，让学生直观的看到销售量与售价涨 幅之间的关系.教学中发现学生很容易得到 20个，30个，40个，但20个，30个，40个并 不是我们想要的，笔者填入的是10X2, 10>3, 10M,强调销售量与售价涨幅之间的倍数关系，把题目中的“售价每提高1元，销售量相应减少10个”这句数字语言转化为图表形式设计意图让学生从实际出发，从简单的数出发，用图表形式直观的观察得出，销售量与 售价涨幅之间的数量关系.（体现从“数”到“形”）（2）假设销售单价提高 x元.从数字出发，

4、引入变量X,学生很容易由表1通过类比法得出销售量与售价涨幅X之间的数量关系.这样仅仅找出了销售量与单价涨幅X之间的数量关系，还不完整.T X元 J 10X个（在上表中补充）故销售量是在原来数量的基础上，减少 10X个，即本题中（500-10x）.（完成从“形”到笔者又设计了以下图表，把整个一道题都用图表呈现出来，同学们戏称为“井字格”每个利润数量原来现在上表对于此类二次函数利润问题可以通用，“每个利润”有可能是卖水果时每千克利润，买衣服时每件利润等等；“数量”可能是销售量及其他数量个数关系；“原来”指涨(降)价前的商品有关量；“现在”指涨(降)后的商品有关量.学生只要会填写此表，这类利润问题不

5、在 话下.上述“井字格”表是解决二次函数利润问题的“万能钥匙”就此题而言，每个利润书写时强调 (50 -40)元，涨价是在50元基础上涨X元，故售价为(50+x)元，所得每个利润为(50+ x)-40元;销售量：原来500个，涨价后减少了 10x个，故为(500 -10X)个。其中(50 -40)元，(50 +x) -40元，强调解题中所体现的过程信息量.比直接书写10元，10+x元，对于学生接受、理解更好一些.每个利润数量原来50-40500现在(50 +x) -40500-10x其中，学生最难得到的是 (500 -10x)这个部分.(又一次从“数”到“形”) 而篮球总利润用y表示，则丫=(

6、50+乂)40(50010x)(从“形”到“数”)-1 0x24 0x05000=T0K - 20)+ 9000式)，当x=20时，y最大值为9000元，至此，这道题就做完了 .但是作为教师知道，此时直接用顶点坐标求最值欠妥当.我们知道，二次函数在很多情况下，最大值并不能取到顶点处，这与函数的自变量x的取值范围有关.为了进一步说明问题，笔者又设计了问题(3)、(4),使利润最值问题更具体化 .(3)假设物价部门规定，篮球售价不得高于每个65元，求当篮球售价定为多少元时，每月利润最大？(4)当每月利润不低于 8840元时，求出篮球售价的取值范围.问题(3),对篮球售价作出了限制 河题(4)对每月

7、利润y作出限制.如何解决不高于、不低 于的问题 豉们想到了二次函数的图象，能否把上述的数学语言反映在图象上？向题（3）,售价不得高于65元，即50+XW65 ,仅有此式不行，必须保证同时有禾U润、 有销售量.50 x 与 65 I50 x -40 _0500 -10X _0解得到0 wx M15.转化到图象上，满足条件的部分仅仅是0 W x三15抛物线上一部分（这里需要学生熟练地画出二次函数的大致图象，这在前面二次函数图象性质的学习中需要强化训练），如图1.观察图象学生很直观地可发现，此时顶点坐标已不再是最大值，而当 x=15, y有最大值.这是观察图象得出的，从而完成了由“形”到“数”的过程

8、500015；工工20：(20,900()y*90005000.,工二20产 88401524问题（4）,当利润不低于8840元时，y轴表示利润（在函数中寻求不等关系时，通常是从 相等关系给出的）.不妨取y= 8840,找出对应的x取值，把8840这个数表示在图象这个“形”上，如图2.当 y = 8840 时,-10(x 20)2 + 9000 = 8840,解得x1 二24区-16.在图象上找出点（16,8840） , （24,8840）,而利润不低于 8840元，对应的是抛物线在 直线y= 8840上方的部分，即 x的取值在16 Ex E 24内，故定价在 6674元之间.设计意图在问题（

9、3）、（4）中，注重培养学生如何把“数”转化成函数图象，通过研究函 数图象的“形”，再转化成数学符号.让学生充分感受“数”骨“形”不停转化的过程，体会 数的抽象与形的具体.案例2某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品，投放市场进行试销.经过调查,发现每天销售量y （件）与销售单价x（元/件）满足一定的函数关系：错售单价”元/件）-30405060 每天销售量 y（件）-500400300200B « （1）试求出y与x之间的函数关系式(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品，每天可获得的利润W最大，最大利润是多少？(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/

10、件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销工艺品每天获得利润、最大 ？此题较案例1简单.首先我们需要从题目中所给图表出发，在平面直角坐标系中， 把表3中x, y的各组对应值作为点的坐标，描出相应的点，根据点的分布特征， 构建所对应的函数模型，并根据函数模型，得出函数关系，从而求出函数关系式.这一系列过程中，把“图表”的“形”先转化成函数图象的“形”，再由函数图象的“形”转化成函数关系式的“数”，完成由“形”到“数”的一个过程 .根据给出的图表，描点作图，可得图 3.得出y与x之间满足一次函数关系， 从而可从给出的图表中任取x, y两组值，用待定系数法，求出y与x之间的关系式y = 10x+800(

11、x20).对于问题(2),要求每天获得的利润 w ,而利润=销售总价-成本总价.在教学中发现， 学生更易掌握和理解的是利润 =(每件售价-每件成本)父销售量，即利润=每件利润父销售量.其中销售单价x元/件，题中已给出，成本件为 20元/件，故易得每件利润=(x20)元/件，w =(x-20)y三 (x-20)(-10x 800)_ 2 -10x1000x -16000=T0K - 50)90顶点式)这时，需要借助于二次函数的大致图象解决问题根据实际生活经验，我们知道利润w对应图象并不是整个抛物线，需满足Ix-20.-10x 800 -0即销售单价不能低于成本，并且销售量也不可能为负值，从而求出20 W x W 80 ,得出x的取值范围，对抛物