巴特沃斯低通滤波器设计

1、计算机科学与技术学院 数字信号处理课程作业学 号：S315060063专 业：计算机科学与技术学生姓名：董程凤任课教师：郑丽颖教授 2015年12月巴特沃斯低通滤波器设计摘要：本文分析了国内外数字滤波器技术的应用现状与发展趋势，介绍了低通滤波器的基本结构和常见的几种低通滤波器的设计比较，重点介绍了巴特沃斯低通滤波器。首先分析了巴特沃斯低通滤波器的特性，然后用MATLAB的信号处理工具箱提供的函数设计了巴特沃斯低通滤波器，使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。关键词：低通滤波器，巴特沃斯低通滤波器，MATLAB1. 引言在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接受到的信号中消除

2、或减弱噪音是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号灯过程成为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛，例如，滤波器最早应用于语音处理，除此之外，还应用于图像处理、通信、音视频压缩和生物医学信号处理等领域中。滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。根据滤波器的选频作用可以将它分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种

3、类型的滤波器，例如：低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器，低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器。根据“最佳逼近特性”标准还可以把滤波器分为巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和贝塞尔滤波器。巴特沃斯滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器，它广泛应用于通信领域、电测中，目前人们已经成功地将巴特沃斯低通滤波器应用于电动测试中。2. 低通滤波器2.1滤波器的基本概念从输入信号中滤出噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，相应的装置称为滤波器。滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。在测试装置中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。

4、广义地讲，任何一种信息传输的通道（媒质）都可视为是一种滤波器。因为，任何装置的相应特性都是激励频率的函数，都可用频域函数描述其传输特性。因此，构成测试系统的任何一个环节，诸如机械系统、电气网络、仪器仪表甚至连接导线等等，都将在一定频率范围内，按其频域特性，对所通过的信号进行变换与处理。如果滤波器的输入和输出均为离散信号，称该滤波器为数字滤波器。当滤波器的输出信号为输入端的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，否则称为非线性滤波器。2.2常见滤波器下面介绍几种常见的滤波器：1 低通滤波器从频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于的频率成分受到极大地衰减。2 高

5、通滤波器与低通滤波器相反，从频率，其幅频特性平直。它使信号中高于的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于的频率成分将受到极大地衰减。3 带通滤波器它的带通频带在之间。它使信号中高于而低于的频率成分可以不受衰减地通过，而其它成分受到衰减。4 带阻滤波器与带通滤波器相反，阻带在频率之间。它使信号中高于而低于的频率成分受到衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。2.3低通滤波器低通滤波是一种过滤方式，规则为低频信号能正常通过，而超过设定临界值的高频信号则被阻隔、减弱。可以简单的认为：设定一个频率点，当信号频率高于这个频率时不能通过，在数字信号中，这个频率点也就是截止频率，当频域高于这个截止频率是，则

6、全部赋值为0.因为在这一处理过程中，让低频信号全部通过，所以称为低通滤波。对不同滤波器而言，每个频率的信号的减弱程度不同，当使用音频应用时，它有时称为高频剪切滤波器，或高音消除滤波器。低通滤波器是指车载功放中能够让低频信号通过而不让中、高频信号通过的电路，起作用是滤去音频中的中音和高音成分，增强低音成分以驱动扬声器的低音单元。由于车载放大部分都是全频功放，通常采用AB类放大设计，功率损耗比较大，所以滤除低频段的信号，只推动中高频扬声器是节省功率、保证音质的最佳选择。低通滤波器的工作原理很简单，就是利用电容通高频阻低频、电感通低频阻高频的原理。对于需要截止的高频，利用电容吸收电感、阻碍的方法不使

7、它通过；对于需要放行的低频，利用电容高阻、电感低阻的特点让它通过。低通滤波器概念有许多不同的形式，其中包括电子线路（如音频设备中使用的hiss滤波器、平滑数据的数字算法、音障、图像模糊处理等等，这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。低通滤波器在信号处理中的作用等同于其它领域中移动平均数所起的作用；低通滤波器有很多种。其中，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。低通滤波器的主要技术指标：1 通带增益通带增益是指滤波器在通频带内的电压放大倍数。性能良好的LPF通带内的幅频特性曲线是平坦的，祖带内的电压放大倍数基本为零。2 通带截止频率其定义与放大电路的上限截止频

8、率相同。通带与阻带之间称为过渡带，过渡带越窄，说明滤波器的选择性越好。3. 巴特沃斯低通滤波器3.1巴特沃斯低通滤波器的简介巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬巴特沃斯在1930年发表在英国无线电工程期刊的一篇论文中提出的，可以构成低通、高通、带通和带阻四种组态，是目前最为流行的一类数字滤波器。经过离散化可以作为数字巴特沃斯滤波器，较模拟滤波器具有精度高、稳定、灵活、不要求阻抗匹配等众多优点，因而在自动控制、语音、图像、通信、雷达等众多领域得到了广泛的应用，是一种具有最大平坦幅度响应的低

9、通滤波器。3.2巴特沃斯低通滤波器的特性巴特沃斯低通滤波器的平方幅度响应为其中，n为滤波器的阶数，为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊的性质：1 对所有的n，都有当时，；2 对所有的n，都有当时，即在处有3dB的衰减；3 是的单调递减函数，即不会出现幅度响应的起伏；4 时，巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器；5 在=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0，因此在该点上取得最大值，且具有最大平坦特性。图1展示了2阶、4阶、8阶巴特沃斯低通滤波器的幅频特性。可见阶数n越高，其幅特性越好，低频检测信号保真度越高。图1巴特沃斯低通滤波器幅频特性从表1可以看出，巴特沃斯滤波器在带通和过渡区域

10、的线性相位、衰减斜率、加载特性以及跳跃反应方面具有特性均衡的优点。因此在实际使用中，巴特沃斯滤波器已被列为首选。表1 巴特沃斯与贝塞尔、切比雪夫滤波器的特性差异比较滤波器类型带通过渡区域阶跃响应巴特沃斯滤波器带通中最大的平坦幅度比贝塞尔滤波器陡峭，但不如切比雪夫滤波器性能好有一些过冲和振铃，但低于切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器带通中的纹波比巴特沃斯滤波器和贝塞尔滤波器陡峭过冲和振铃合理贝塞尔滤波器带通中的平坦幅度响应比巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器慢与巴特沃斯和切比雪夫滤波器相比，过冲和振铃非常小3.3 巴特沃斯低通滤波器的设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数，用下式表示： N为滤波器的阶数

11、。当=0时，=1；=时，=1/2，是3dB截止频率。=时，逐渐增大，幅度下降非常迅速。和N同幅度特性关系图如图1所示。N决定了幅度下降速度，N越大，通带就越平坦，过渡带也随之变窄，阻带幅度同过渡带下降的速度越迅速，总体频响特性同理想低通滤波器的实际误差越小。用S代替，把幅度平方函数变成S的函数：，此公式说明了幅度平方函数有2N个极点，极点可以用下面的公式来表达：2n个极点等间隔分布在半径为的圆上，间隔是rad。如图2所示。图2 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器，2N个极点只取S平面左半面的N个极点构成，而右半平面的N个极点构成。的表达式为例如N=3，通过下式可以计算出6个极点：，当

12、n=3时，6个极点中位于左半平面的三个分别是：，取S平面左半面平面的极点，组成：将对3dB截止频率归一化，归一化后的表示为：令，p称为归一化拉式复变量。，称为归一化频率。经过归一化后巴特沃斯滤波器的传输函数为：式中，为归一化极点，为位于左半平面的极点用下式表示：，把极点表达式代入归一化后的巴特沃斯滤波器的传输函数，得到的的分母是p的n阶多项式，用下式表示：下面来确定n，由技术指标，和确定。在定义 ，中，将和分别代入幅度平方函数，得到和，再将和代入中，整理得：联立这两个式子可得：令，则n的表达式为：，取大于等于N的最小整数。 经过总结，巴特沃斯低通滤波器的设计步骤大致为：1 通过，和的值，用公式

13、算出滤波器的阶数n。2 根据，求出归一化极点，将代入中，得出归一化传输函数。3 将去归一化。将代入中，从而得到实际的滤波器传输函数。4. MATLAB仿真及分析4.1 MATLAB简介MATLAB语言是一种面向科学与工程计算的预言，它编程效率高，测试程序手段丰富，扩展能力强，内涵丰富。它的信号处理工具箱提供了设计巴特沃斯滤波器的函数。本文充分利用这些函数，进行了巴特沃斯滤波器的程序设计，并将其作为函数文件保存，可方便地进行调用。4.2 MATLAB仿真及分析用函数设计归一化的巴特沃斯低通滤波器。函数可在给定滤波器性能的情况下，选巴特沃斯滤波器的阶数n和截止频率，从而可用函数设计巴特沃斯滤波器的

14、传递函数。可得到足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数n及截止频率，其中为通带的拐角频率，为阻带的拐角频率，和的单位均为；为通带区的最大波动系数，和阻带区的最小衰减系数，和的单位都为dB。可设计截止频率为的n阶低通模拟巴特沃斯滤波器，其传递函数为：。令=1，得到巴特沃斯滤波器归一化结果，如表2所示。表2 n=18阶的巴特沃斯滤波器系数滤波器的性能指标如下：通带截止频率=2400HZ，通常最大衰减=3dB，阻带截止频率=5000HZ，阻带最小衰减=25dB。MATLAB程序如下：%采样率 f_N=16000; %设计要求指标 f_p=2400; f_s=5000; R_p=3; R_s=25;%计

15、算归一化角频率 Ws=f_s/(f_N/2); Wp=f_p/(f_N/2);%计算阶数和截止频率 n,Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);%计算H（Z） b,a=butter(n,Wn);%作出H（Z）的幅频相频图，freqz（b，a，计算点数，采样率） freqz(b,a,1000,8000) subplot(2,1,1); axis(0 4000 -30 3)利用MATLAB工具箱里的函数，仿真设计巴特沃斯低通滤波器的仿真结果如图3所示。图3 假定的输入信号的频谱和滤波器的输出信号的频谱5. 结论本文主要介绍利用MATLAB对巴特沃斯滤波器进行仿真实验和分析。在本文的第一

16、章为大家引入了滤波器的概念和发展状况。在第二章主要介绍了低通滤波器的基本概念、特性和常用的几种滤波器。在第三章和第四章是本文的重点，介绍了巴特沃斯低通滤波器，包括巴特沃斯滤波器的特性、设计理念以及利用MATLAB仿真和分析巴特沃斯滤波器。虽然巴特沃斯低通滤波器相对于切比雪夫和贝塞尔滤波器具有较大的优点，但是，它仍然具有不足之处。首先，巴特沃斯滤波器的相位不是线性的，另外，对与巴特沃斯低通滤波器来说，在通带内的=0附近非常逼近理想滤波器，但是在附近效果并不好，也就是说它不是等纹波的逼近理想滤波器。所以我们对于此方面的研究还需进一步的探索。本文虽然对巴特沃斯滤波器的许多方面均加以详细介绍，但是作为数字信号处理的一个博大精深的分支，这只是狠下的一个方面。随着技术的不断发展和人们对知识的深切渴望，我们对巴特沃斯低通滤波器的研究还有很长的路要走。参考文献1 徐明远 邵玉斌.MATLAB仿真在通信与电子工程中的应用（第二版）.西安电子科技大学出版社，20102 互联网3 李钟慎.基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器.华侨大学机电及自动化学院，泉州 3620114 李钟慎 王永