第五章对单个和两个总体平均数的假设检验

1、1第第5章章 对单个和两个对单个和两个样本平均数的假设检验样本平均数的假设检验魏泽辉讲义25.1 对单个总体均数的检验对单个总体均数的检验 检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异（检验该样本是否来自某一总体）（检验该样本是否来自某一总体） 已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值或期望数值。或期望数值。（正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄）（正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄）魏泽辉讲义35.1.1 z检验：总体方差已知检验：总体方差已知魏泽辉讲义4 由该场随机抽取了由该场

2、随机抽取了1010头猪，测得它们在体重为头猪，测得它们在体重为100kg100kg时的时的平均背膘厚为平均背膘厚为8.7mm8.7mm。 1）提出假设）提出假设例例 ：某猪场称该场的猪在体重为：某猪场称该场的猪在体重为100100kgkg时的平均背膘厚度时的平均背膘厚度为为9 90.30.32 2 mmmm2 2。问如何检验该场的说法是否真确？（。问如何检验该场的说法是否真确？（已已知该场猪的背膘厚服从正态分布）知该场猪的背膘厚服从正态分布）一、方差已知时一、方差已知时 的假设检验的假设检验000:, :AHH000:, :AHH000:, :AHH魏泽辉讲义52) 构造并计算检验统计量构造并

3、计算检验统计量0N(0,1)8.793.16230.310 xzn (0,1)XzNn00:H6若取若取 5，则，则0.050.051( uu)0.05Pz接受域95%否定域2.5%1.96-1.96否定域2.5%3）确定否定域并作统计推断）确定否定域并作统计推断 z = -3.1623 -1.96 （落入）（落入） 接受备择假设接受备择假设结论：该场猪的平均背膘厚与结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异显著差异显著魏泽辉讲义75.1.2 t检验：总体方差未知检验：总体方差未知魏泽辉讲义8显著性检验步骤显著性检验步骤1、提出假设、提出假设 （1） H0：0；HA：0 双侧检验双侧检验2、计算、计

4、算t值值 3、查临界、查临界t值，作出统计推断值，作出统计推断 xSxt01 ndfnSSx122)1(02200nnXSnXnSXtSn标准标准正态正态分布分布2分分布布9【例5.1】 按照规定，100g 罐头番茄汁中的平均罐头番茄汁中的平均维生素维生素 C 含量不得少于 21mg/g，现在从工厂的产品中抽取 17 个罐头，其 100g 番茄汁 中测得维生素 C 含量记录如下：16，25，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，22，设维生 素 C 含量服从正态分布，问这批罐头是否符合规定要求？ 10解：依题意，可对此批罐头的平均维生素 C 含量

5、提出待检验假设：H0：=21，HA：-1.746,不能否定零假设，即该批罐头的平均 维生素 C 含量与规定的 21mg 无显著差异，可以出厂。02 02 11 .0 43 .9 81 7xxtSX115.25.2两个样本平均数的比较两个样本平均数的比较 推断两个样本平均数差异是否显著的问题，推断两个样本平均数差异是否显著的问题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同以了解两样本所属总体的平均数是否相同 。配对试验配对试验非配对试验非配对试验两个总体两个总体u检验：总体方差已知检验：总体方差已知t检验：总体方差未知检验：总体方差未知总体方差未知相等总体方差未知相等总体方差未知不等总体方差未知不等2

6、121 xx)()()()(,2121221121222111xxxx表面效应试验误差处理效应:212121xx 目的就是分析表面效应主要目的就是分析表面效应主要是由处理效应引起，还是由是由处理效应引起，还是由实验误差引起。从而分析处实验误差引起。从而分析处理效应是否存在。理效应是否存在。表面效应可以计算，实验误表面效应可以计算，实验误差可以估计，根据这些推断差可以估计，根据这些推断处理效应是否显著。处理效应是否显著。5. 2.1 随机分组资料的假设检验随机分组资料的假设检验1、提出假设、提出假设212101：；：）（AHH212102：；：）（AHH212103：；：）（AHH双侧检验双侧检

7、验单侧检验单侧检验单侧检验单侧检验统计量统计量 的抽样分布的抽样分布21XX 212121)()()(XEXEXXE2221212121)(2)()()(21nnXVarXVarXXVarXX)(2121112)(222221nnXX则，如果两个总体方差相等统计量统计量 的抽样分布的抽样分布21XX 22)(221nXX则，相等如果两个样本的含量也222121)(221nnXX统计量统计量 的抽样分布的抽样分布21XX 2、构造检验统计量、构造检验统计量如果两个总体都是正态总体，则：如果两个总体都是正态总体，则：)()(2122121XXNXX，) 10()()212121，（标准化为：NXX

8、ZXX 因此，可以计算检验统计量因此，可以计算检验统计量Z 对总体均数进行假设对总体均数进行假设检验，分三种情况分别介绍。检验，分三种情况分别介绍。3、确定否定域、确定否定域 比较检验统计量和临界值的关系，根据小概率比较检验统计量和临界值的关系，根据小概率事件事件（显著水平：（显著水平：0.01；0.05）原理，确定其落在原理，确定其落在否定域还是接收域。否定域还是接收域。4、对假设进行统计推断、对假设进行统计推断 接受原假设，否定备择假设；或否定原假设，接受原假设，否定备择假设；或否定原假设，接受备择假设接受备择假设1.两总体方差已知时的检验两总体方差已知时的检验Z检验检验例：某单位测定了例

9、：某单位测定了31头犊牛和头犊牛和48头母牛头母牛100 ml 中血中血液中血糖的含量（液中血糖的含量（mg），得犊牛平均血糖含量为），得犊牛平均血糖含量为81.23，成年母牛的平均血糖含量为，成年母牛的平均血糖含量为70.23。设已知犊牛血糖的总体方差为设已知犊牛血糖的总体方差为15.642，成年母牛血糖，成年母牛血糖的总体方差为的总体方差为12.072，问犊牛和成年母牛之间血糖含，问犊牛和成年母牛之间血糖含量有无差异？量有无差异？Z检验检验解：解：（1）提出假设）提出假设210：H21：AH即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量无差异；即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量无差异；即犊牛和成年母牛

10、之间血液中血糖含量有差异。即犊牛和成年母牛之间血液中血糖含量有差异。（2）计算检验统计量）计算检验统计量12222212()1215.6412.073.30543148XXnn1212()81.23 70.433.273.35XXXXZ（3）确定显著性水平）确定显著性水平 u0.05= 1.96 u0.01=2.5801. 058. 222. 301. 0PuZ所以：否定所以：否定H0，接受备择假设。即犊牛和成年母牛，接受备择假设。即犊牛和成年母牛之间血糖含量存在极显著的差异。之间血糖含量存在极显著的差异。实际研究中总体方差往往是未知的，因为很难得到总实际研究中总体方差往往是未知的，因为很难得

11、到总体内所有个体的观测值，因此无法计算总体方差。尤体内所有个体的观测值，因此无法计算总体方差。尤其对于无限总体和连续性资料。其对于无限总体和连续性资料。2.两总体方差相等但未知时的检验两总体方差相等但未知时的检验t 检验检验当当 n130 和和 n230 时（大样本），时（大样本）， 可以用样本方差代替总体方差，仍然用可以用样本方差代替总体方差，仍然用Z 检验，检验，因为在大样本中其近似服从正态分布。因为在大样本中其近似服从正态分布。当当 n130 和和 n230 时（小样本），时（小样本），不能用样本方差代替总体方差，应该采用不能用样本方差代替总体方差，应该采用t 检验。检验。) 1/()(

12、11121111nxxnx，样本) 1/()(12222222nxxnx ，样本在在1=2 （原假设）（原假设），22条件下，认为两个条件下，认为两个样本来自同一个总体，因此可以将两个样本合并，样本来自同一个总体，因此可以将两个样本合并，然后用合并样本的方差代替总体方差。然后用合并样本的方差代替总体方差。加权平均数。以各自的自由度为权的和：两个样本的方差合并方差22212SSS5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验两总体方差相等但未知时的检验t 检验检验212121211211212222121122212) 1() 1()()(2) 1(2) 1(212211dfdfSSSSnnxxxx

13、nnSnnnSnSSSdfdfdfdfdfdf计算公式如下：计算公式如下：5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验两总体方差相等但未知时的检验t 检验检验所以：所以：均数差异标准误均数差异标准误为为2121)(22)(21212122221121211) 1() 1(11) 1() 1()()()11(22212121nnnnxxnnnnxxxxnnSSnxnxxx21xxS均数差异标准误均数差异标准误5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验两总体方差相等但未知时的检验t 检验检验当当n1=n2=n时，上面公式演变为：时，上面公式演变为：12221212221111()()221212()

14、()(1)(1)(1)xxxxnnxxxxSn nxxn nSSSSn n5. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验两总体方差相等但未知时的检验t 检验检验)2()(212121212121nntSxxSxxtxxxxt值为值为自由度为：自由度为：df=(n1-1)+(n2-1)= n1+n2-25. 2.3 两总体方差相等但未知时的检验两总体方差相等但未知时的检验t 检验检验魏泽辉讲义27例： 研究两种不同饲料对香猪生长的影响，随机选择了体重相研究两种不同饲料对香猪生长的影响，随机选择了体重相近的近的12头香猪并随机分成两组，一组喂头香猪并随机分成两组，一组喂 甲种饲料，另一组喂乙甲种饲料，

15、另一组喂乙种饲料种饲料 在相同条件下饲养，在相同条件下饲养， 6周后的增重结果如下（周后的增重结果如下（kg）：）： 甲饲料：甲饲料：6.65，6.35，7.05，7.90，8.04，4.45 乙饲料乙饲料: 5.35，7.00，9.89，7.05，6.74， 9.28设两样本所属总体服从正态分布且方差相等，设两样本所属总体服从正态分布且方差相等， 试比试比 较两种不较两种不同饲料对香猪的生长是否有差异？同饲料对香猪的生长是否有差异？28解：总体方差未知但相等，可用t检验 (1) 假设: H0:1= 2 ,即两种不同饲料对香猪的生长影响无差异 HA: 1= 2 ,两种不同饲料对香猪的生长影响存

16、在差异 (2)计算检验统计量 126.74kg7.55kgXX；221212()()2211228.536,14.5612XXnnSSXSSX12128.536 14.56120.8774(1)6(6 1)xxSSSSSn n29 (3)取0.05, 查附表4 得t0.05(10) = 2.23 |t| = 0.92 0.05, 接受H0， 接受不同饲料对香猪的生长影响无显著差异。 12126.747.550.920.8774xxxxtS df= n1+n2-2=6+6-2=10 30解： (1) 假设: H0:1= 2 ,两品种猪的肌肉脂肪含量无差异 HA: 1= 2 ,两品种猪的肌肉脂肪含

17、量存在差异 例： 测定金华猪与长白猪肌内脂肪含量（），金华猪共10头，其样本平均数为3.93，标准差为0.4；长白猪4头，平均数为2.56，标准差为0.4。设两样本所属总体服从正态分布，且方差相等，试测验两品种猪的肌肉脂肪含量是否存在差异。本例为总体方差未知相等，且样本容量不等。31(2)计算检验统计量 122121111()0.16()0.2366104xxSSnn12121222212221122121222(1)(1)22(101)0.4(41)0.410420.1600dfdfdfdfdfdfSSSnSnSnnnn32 (3)取0.01, 查附表4 得t0.01(12) = 3.055

18、 |t| = 5.79 t0.01(12) = 3.055 P F0.05/2，故否定，故否定H0接受接受HA，即两个样本所，即两个样本所属总体方差存在显著的差别。属总体方差存在显著的差别。魏泽辉讲义42(2)两总体平均数的比较两总体平均数的比较假设: H0:1= 2 , HA: 1 2 检验统计量检验统计量12222212121.283.44)0.95651315xxSSSnn121210.7316.405.92790.9565xxxxtS 魏泽辉讲义4322211222222112212222(/)(/)(/)11(1.6384/13 11.8336/15)(1.6384/13)(11.8

19、336/15)12120.83710.00130.044518SnSndfSnSnnn统计推断：统计推断：0.01，查附表，查附表4，t0.01（18）2.878，由，由于于t=-5.9279F0.05/2（9，9），故否定），故否定H0接受接受HA，即两个，即两个样本所属总体方差存在显著的差别。样本所属总体方差存在显著的差别。魏泽辉讲义46(2)两总体平均数的比较两总体平均数的比较假设: H0:1= 2 , HA: 1 2 检验统计量检验统计量12221212111.819.3)3.621010 xxSSSnn121235.5282.073.62xxxxtS魏泽辉讲义47统计推断：统计推断：

20、0.05，查附表，查附表4，t0.1（12）1.782，由，由于于t=2.07t0.1(12)，故否定，故否定H0接受接受HA，即配方，即配方1的增重效的增重效果显著优于配方果显著优于配方2。22 2212442212(1)()9(111.819.3)12111.819.3nSSdfSS5. 2.2 配对资料的假设检验配对资料的假设检验t检验检验魏泽辉讲义49配对样品平均数间的比较配对样品平均数间的比较 为了排除实验单位不一致对实验结果的影响，为了排除实验单位不一致对实验结果的影响，准确地估计实验处理效应，降低实验误差，提高准确地估计实验处理效应，降低实验误差，提高实验的准确性和精确性，如果可

21、能，实验的准确性和精确性，如果可能，应采用配对应采用配对实验设计，可将其看作两个相关样本平均数的比实验设计，可将其看作两个相关样本平均数的比较。较。 配对的目的是使为了把同一重复内二个实验配对的目的是使为了把同一重复内二个实验单位的初始条件的差异减少到最低限度，使实验单位的初始条件的差异减少到最低限度，使实验处理效应不被实验单位的差异而夸大或缩小，提处理效应不被实验单位的差异而夸大或缩小，提高实验精确度。高实验精确度。魏泽辉讲义50 配对实验设计配对实验设计 指首先将参加试验的两个个体按配对的要求两指首先将参加试验的两个个体按配对的要求两两配对，然后再将每一个对子内的两个个体独立随两配对，然后

22、再将每一个对子内的两个个体独立随机地接受两个处理中的一种。机地接受两个处理中的一种。配对的要求：配对的要求：配成对子的两个个体的初始条件应尽配成对子的两个个体的初始条件应尽量一致，但不同对子之间的试验个体的初始条件可量一致，但不同对子之间的试验个体的初始条件可以有差异，目的就是尽量减少这些差异对试验指标以有差异，目的就是尽量减少这些差异对试验指标的影响。的影响。 每一个对子就是实验的一次重复。每一个对子就是实验的一次重复。 魏泽辉讲义51（1）同源配对）同源配对：同窝、同卵双生的两个个体或者有亲缘同窝、同卵双生的两个个体或者有亲缘关系的个体配成对子。其中一个个体接受接受这个处理，另关系的个体配

23、成对子。其中一个个体接受接受这个处理，另一个个体接受另一个处理。一个个体接受另一个处理。 如同一窝的仔猪增重或者双胞胎的子畜。植物的同一片如同一窝的仔猪增重或者双胞胎的子畜。植物的同一片叶子的两半等。叶子的两半等。（2）自身配对自身配对：同一个体的不同时间或不同部位的两次同一个体的不同时间或不同部位的两次观察值作为配对。也可以看作是特殊的观察值作为配对。也可以看作是特殊的亲缘配对亲缘配对。如：白鼠。如：白鼠照射照射X射线前后的体重。射线前后的体重。（3）条件配对：）条件配对：将具有相近条件的个体配成对子，如性将具有相近条件的个体配成对子，如性别相同、年龄或体重相近的个体进行配对。别相同、年龄或

24、体重相近的个体进行配对。常用的配对方式常用的配对方式 魏泽辉讲义52 一方面，降低了试验误差。一方面，降低了试验误差。 另一方面，另一方面，进行统计检验的时候，可以将对子内进行统计检验的时候，可以将对子内两个个体的差异（两个个体的差异（d）作为一个新的样本来分析。）作为一个新的样本来分析。 由于两样本所属总体的平均数的差等价于对子内由于两样本所属总体的平均数的差等价于对子内个体间差数所构成的新总体的平均数。个体间差数所构成的新总体的平均数。 d21魏泽辉讲义53实验结果表示为：实验结果表示为：处理观察值样本含量样本平均数总体平均数12x11 x12 x1nx21 x22 x2nnn12d=x1

25、-x2d1 d2 dnnd=1-2nxxi/11nxxi/2221/xxndd我们的目的是：我们的目的是： 通过通过 推断推断 ，即，即1 1与与2 2是否相同。是否相同。21xxdd d=1 1-2 2魏泽辉讲义54配对实验的检验步骤：配对实验的检验步骤： （1）无效假设）无效假设H0 0 ：d d=1 1-2 2 =0=0 备择假设备择假设H HA A ：d d00，即，即1 1-2 2 00 1 1为第一个样本所在总体的平均数为第一个样本所在总体的平均数 2 2为第二个样本所在总体的平均数为第二个样本所在总体的平均数 d d为第一个样本所在总体与第二个样本所在为第一个样本所在总体与第二个样本所在总体配对变数的差数总体配对变数的差数d=xd=x1 1-x-x2 2，所构成的差数总体的，所构成的差数总体的平均数，且平均数，且d d=1 1-2 2 魏泽辉讲义55（2 2）计算）计算t t值值1,21ndfSxxSdtdd) 1() 1()(/2)(22nndnnddnSSndd，