2016新课标三维人教B版数学选修4-41.2极坐标系

1、 _1.2极_坐_标_系对应学生用书P4 读教材·填要点1平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称为极轴(2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标，称为极径，称为极角2极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位(2)极坐标和直角坐标的变换公式：或小问题&#

2、183;大思维1平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是在极坐标系中，与给定的极坐标(，)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个如一点的极坐标是(，)(0)，那么这一点也可以表示为(，2n)或(，(2n1)(其中nZ)2若>0,0<2，则除极点外，点M(，)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)来表示这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系3若点M的极坐标为(，)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(，)

3、，则M点关于极点的对称点的极坐标是(，)或(，)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(，)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(，)或(，)对应学生用书P5极坐标系的概念例1已知定点P.(1)将极点移至O处，极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动，求P点的新坐标思路点拨本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标精解详析(1)设P点新坐标为(，)，如图所示，由题意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)22·4·2·cos1612244

4、，2.即|OP|2.|OP|2|OO|2|OP|2，OOP.OPO.OPP.PPx.POx.P点的新坐标为.(2)如图，设P点新坐标为(，)，则4，.P点的新坐标为.建立极坐标系的要素是：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向四者缺一不可极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此0；但必要时，允许0.1在极坐标系中，点A的极坐标是，则(1)点A关于极轴的对称点是_；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是_；(3)点A关

5、于直线的对称点的极坐标是_(规定>0，0,2)解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的答案：(1)(2)(3)点的极坐标和直角坐标的互化例2以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系(1)已知点A的极坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，2)和(0，15)，求它们的极坐标(0,02)思路点拨本题考查极坐标和直角坐标的互化解答此题只需将已知条件代入相关公式即可精解详析(1)xcos 4·cos2，ysin 4sin2，A点的直角坐标为(2，2)(2)2，tan

6、1，且点B位于第四象限内，.点B的极坐标为.又x0，y0，15，点C的极坐标为.(1)将极坐标(，)化为直角坐标(x，y)的公式是：xcos ，ysin .(2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的公式是：2x2y2，tan (x0)在利用此公式时要注意和的取值范围2(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(2,2)，求它们的极坐标，其中极角0,2)解：(1)根据xcos ，ysin 得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根据2x2y2，tan 得A，B，C.极坐标系中两点间的距离例3ABC的顶点的极坐标为A，B，C.(1)

7、判断ABC的形状；(2)求ABC的面积；(3)求ABC的边AB上的高思路点拨本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解精解详析AOB，BOC，COA.(O为极点)(1)|AB|2.|BC|2，|AC|4.ABC是等腰三角形(2)SAOB|OA|·|OB|12，SBOC|OB|·|OC|sinBOC12，SC OA|OC|·|OA|sinCOA8.SABCSBOCSC OASAOB124.(3)设AB边上的高为h，则h.对于这类问题的解决方法，

8、可以直接用极坐标内两点间的距离公式d求得；也可以把A，B两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得3在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A，B，求第三个顶点C的坐标解：由题设知，A，B两点关于极点O对称又|AB|4，所以由正三角形的性质知，|CO|2，AOC，从而C的极坐标为或.对应学生用书P6一、选择题1在极坐标系中，与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A.B.C. D.解析：选B与A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(kZ)，只有选项B满足2在极坐标系中，若点A，B的

9、坐标分别是，则AOB为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形解析：选B由题意知AOB，故选B.3已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于()A. B.C. D.解析：选CA，B在极坐标中的位置，如图，则由图可知AOB.在AOB中，|AO|BO|3，所以，由余弦定理，得|AB|2|OB|2|OA|22|OB|·|OA|·cos 992×9×189(1)2.|AB|.4已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.， B.，C.，(1，) D.，(1，)解析：选D点P关于极点的对称点为，即，且x2co

10、s2cos1，y2sin2sin，所以选D.二、填空题5限定>0,0<2时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为_解析：点M的极坐标为(，)，设其直角坐标为(x，y)依题意得x，y，即x2y2x2.y0，>0.M(，0)答案：(，0)6已知极坐标系中，极点为O,0<2，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_解析：如图所示，|OM|3，xOM，在直线OM上取点P，Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ.显然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.答案：或7直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于_解析：如图所示，先在图形中找到

11、直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3，AOB，所以OAB.所以ACO.答案：8写出与直角坐标系中的点(2,2)表示同一个点的所有点的极坐标_解析： 4，tan ，.点(2,2)用极坐标表示为(kZ)答案：(kZ)三、解答题9设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定0，)解：如图所示，关于极轴的对称点为B，关于直线l的对称点为C，关于极点O的对称点为D.10已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P(6，3)，限定>0,02时，求点P的极坐标解：设点P的直角坐标为(x，y)，由题