第二章_推理与证明导学案

1、选修2-2 第二章 推理与证明导学案 高二年级 班 姓名： §2.1.1 合情推理（1） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备（预习教材P70 P73，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.二、新课导学 学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7

2、+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. 典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=，1+3+5=9=，1+3+5+7=16=，1+3+5+7+9=25=， 你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， 你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列中，

3、（），试猜想这个数列的通项公式. 动手试试练1.P98.2题。练2. 在数列中，（）,试猜想这个数列的通项公式. 三、总结提升 学习小结1归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王费马（1601-1665）在1640年通过对，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象

4、：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若，下列说法中正确的是（ ）. A.可以为偶数 B. 一定为奇数 C. 一定为质数 D. 必为合数3.

5、已知 ，猜想的表达式为（ ）. A. B. C. D.4.，经计算得猜测当时，有_.5. 从中得出的一般性结论是_ . 课后作业 1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.2. 已知数列的前n项和，满足，计算并猜想的表达式.§2.1.1 合情推理（2） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备（预习教材P74 P77，找出疑惑之处）1.已知 ，考察下列式子：；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列的通项公式是 .二、新课导学 学习探究鲁班由带齿的草发明

6、锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 类比角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与

7、圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点为圆心，r为半径的圆的方程为例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 动手试试练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线O

8、P，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？练2. 在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？ 三、总结提升 学习小结1类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是

9、归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“ （c0）”D.“” 类推出“3. 设，nN，则 （ ）.A. B.C. D.4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的x的值是 . 课后作业 1. 在等差数列中，若，则有成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1） 求

10、；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求§2.1.2 演绎推理 学习目标 1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 学习过程 一、课前准备（预习教材P78 P81，找出疑惑之处）复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.复习2：合情推理的结论 .二、新课导学 学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水

11、的沸点是，所以在一个标准大气压下把水加热到时， ；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断大前提 小前提 结论新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提 ；小前提 ；结论 .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（

12、6）写成“三段论”的形式. 典型例题例1 在锐角三角形ABC中，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论： 例2证明函数在上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提）菱形是正多边形. （结 论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. 动手试试练1. 用三段论证明：通项公式为的数

13、列是等比数列.练2. 在中，CD是AB 边上的高，求证.证明：在中， 所以， 于是.指出上面证明过程中的错误.三、总结提升 学习小结1. 合情推理；结论不一定正确.2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误3. 有一段

14、演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.归纳推理是由 到 的推理； 类比推理是由 到 的推理； 演绎推理是由 到 的推理.5.合情推理的结论 ； 演绎推理的结论 . 课后作业 1. 用三段论证明：在梯形ABCD中，AD/BC ，AB=DC，则.2. 用三段论证明：为奇函数.§2.2.1 综合法和分析法（1） 学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综

15、合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程 一、课前准备（预习教材P85 P86，找出疑惑之处）复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .二、新课导学 学习探究探究任务一：综合法的应用问题：已知,求证:.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果. 典型例题例1已知，求证：变式：已知，求证：.小结： 例2 在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为AB

16、C等边三角形.变式：设在四面体中,D是AC的中点.求证:PD垂直于所在的平面.小结： 动手试试练1. 求证：对于任意角，练2. 为锐角，且，求证：. （提示：算）三、总结提升 学习小结综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）A B C D3. ，则（ ）A B C D4.若关于的不等式的解集为，则的范围是_ .5. 已

17、知是不相等的正数，则的大小关系是_. 课后作业 1. 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证:2. 在ABC中，证明：§2.2.1 综合法和分析法(2) 学习目标 1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程 一、课前准备（预习教材P86 P89，找出疑惑之处）复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式: 二、新课导学 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公

18、理等）为止. 反思：框图表示 要点：逆推证法；执果索因 典型例题例1求证变式：求证:小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体中,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证.变式：设为一个三角形的三边,且,试证.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题. 动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：三、总结提升 学习小结分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立. 知识拓展证明过

19、程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法2.不等式;,其中恒成立的是A. B. C. D.都不正确3.已知,且,那么A. B.C. D.4.若,则 .5.将千克的白糖加水配制成千克的糖水,则其浓度为 ;若再加入千克的白糖,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: . 课后作业 1.

20、已知,求证:.2. 设,且,求证:§2.2.1 综合法和分析法（3） 学习目标 1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程 一、课前准备（预习教材P85 P89，找出疑惑之处）复习1：综合法是由 导 ;复习2：分析法是由 索 .二、新课导学 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用问题：已知,且求证:.新知：用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知，求证：.反思：在解决一些复

21、杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用. 典型例题例1 已知都是锐角，且，求证：变式：已知，求证：.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体中，是的中点，求证：.变式：如果，则.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. 动手试试练1. 设实数成等比数列，非零实数分别为与，与的等差中项，求证.练2. 已知，且，求证：.三、总结提升 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推

22、“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 给出下列函数，其中是偶函数的有（ ）.A1个

23、 B2个 C3 个 D4个2. m、n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ； ；其中为真命题的是（ ）A B. C D3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.Aa，b均为负数，则BCD4. 设、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：若m，m，则 若r，r，则若m，m，则 若m，n，则mn其中真命题是 .5. 已知, 则是的 条件. 课后作业 1. 已知，互不相等且.求证：.2. 已知都是实数，且，求证：.§2.2.2 反证法 学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3.

24、会用反证法证明问题.一、课前准备（预习教材P89 P91，找出疑惑之处）复习1：直接证明的两种方法: 和 ;复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学 学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的

25、结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题例1 已知,证明的方程有且只有一个根.变式：证明在中,若是直角,那么一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 动手试试练1. 如果,那么.练2. 的三边的倒数成等差数列,求证:.

26、三、总结提升 学习小结1. 反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.A假设三内角都不大于B假设三内角都大于C假设三内角至多有一个大于D假设三内角至多有两个大于2. 实数不全为0等价于为（ ）.A均不为0B中至多有一个为0C中至少有一个为0D中至少有一个不为03.设都是正数，则三个数（ ）A都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于24. 用反

27、证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为 .5. “”是“”的 条件. 课后作业 1. 已知,且.试证:中至少有一个小于2.2. 证明不是有理数.§2.3 数学归纳法(1) 学习目标 1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解. 学习过程 一、课前准备（预习教材P92 P95，找出疑惑之处）复习1：在数列中，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式. 复习2：，当nN时，是否都为质数？二、新课导学 学习探究探究任务：数学归

28、纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;（2）归纳递推：假设n=k（kn0， kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立. 试试：你能证明数列的通项公式这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立. 典型例题例1 用数学归纳法证明变式：

29、用数学归纳法证明小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是,公差是的等差数列的通项公式是,前项和的公式是.变式：用数学归纳法证明:首项是,公比是的等差数列的通项公式是,前项和的公式是.()小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. 动手试试练1. 用数学归纳法证明:当为整数时,练2. 用数学归纳法证明:当为整数时,三、总结提升 学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用数学归纳法证明：，在验证时，左端计算所得项为A.1 B. C. D.2. 用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为A. B. C. D. 3. 设，那么等于（ ）A. B. C. D. 4. 已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想 5. 数列满足，且（），则 . 课后作业 1. 用数学归纳法证明:2. 用数学归纳法证明:§2.3 数学归纳法(2) 学习目标 1.能用数学归纳法证明一些