小专题(八)　圆中常作的辅助线

1、.小专题八圆中常作的辅助线在解决有关圆的计算或证明题时,往往需要添加辅助线,根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要.圆中常见的辅助线的作法有:作半径,巧用同圆的半径相等;连接圆上两点,巧用同弧所对的圆周角相等;作直径,巧用直径所对的圆周角是直角;直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切线;直线与圆没有的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线等.类型1连圆心,得半径1.如图,O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB,DOB=72°,那么E等于DA.36°B.30°C.18°D.24°2.如图,O是ABC的

2、外接圆,ABO=35°,那么C的度数等于CA.35°B.45°C.55°D.65°3.如图,AB是O的直径,点C,D在O上,CEAB于点E,DFAB于点F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么?解:AC与BD相等.理由如下:连接OC,OD,如图.OA=OB,AE=BF,OE=OF.CEAB,DFAB,OEC=OFD=90°,在RtOEC和RtOFD中,OE=OF,OC=OD,RtOECRtOFDHL,COE=DOF,AC=BD,AC=BD.类型2作垂直,用“垂径4.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D,AB=4

3、,CD=2,点O到弦AB的间隔 等于1,那么这两个圆的半径之比为CA.32B.52C.52D.545.如图,半圆O的直径AB=10 cm,弦AC=6 cm,AD平分BAC,那么AD的长为AA.45 cmB.35 cmC.55 cmD.4 cm6.如图,O的半径为17 cm,弦ABCD,AB=30 cm,CD=16 cm,圆心O位于AB,CD上方,那么AB和CD的间隔 为BA.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm7.O的半径为10 cm,AB,CD是O的两条弦,且ABCD,AB=16 cm,CD=12 cm.那么AB与CD之间的间隔 是2 cm或14 cm. 8.如图,AB是圆

4、O的直径,AB=10,弦CD与AB相交于点E,AEC=30°,OEAE=23,求弦CD的长.解:过点O作OFCD于点F,连接OD.AB=10,OA=OB=OD=5.OEAE=23,OE=2.AEC=30°,OEF=30°,OF=12OE=1.DF=OD2-OF2=26,由垂径定理得CD=2DF=46.类型3有直径,出直角9.如图,AB为O的直径,CD为O的弦,ACD=42°,那么BAD=DA.30°B.21°C.58°D.48°10.如图,ABC内接于O,AB是O的直径,BAC=60°,弦AD平分BAC,

5、假设AD=6,那么AC=23. 11.如图,在ABC中,以AC为直径的O分别交AB,BC于点D,E,连接DE,AD=BD,ADE=120°.1试判断ABC的形状并说明理由;2假设AC=2,求图中阴影部分的面积.解:1ABC是等边三角形,连接CD.AC为O的直径,CDAB.AD=BD,AC=BC.ADE=120°,ACE=60°,ABC是等边三角形.2ABC是等边三角形,A=ACB=B=60°,BED=BDE=B=60°.BDE是等边三角形,BD=ED.AD=BD,DE=AD,DE=AD,S弓形DE=S弓形AD,S阴影=SDEB.AC=

6、2,BD=1,S阴影=SDEB=34.类型4连半径,证垂直12.如图,AB是O的直径,AC是弦,弦AE平分BAC,EDAC,交AC的延长线于点D.1求证:DE是O的切线;2假设AB=10,AC=6,求DE的长.解:1连接OE,OA=OE,BAE=OEA.弦AE平分BAC,BAE=DAE.DAE=OEA,OEAC.EDAC,OEED,DE是O的切线.2过点O作OFAC于点F.EDAC,OFED,AF=12AC=12×6=3.OEAC,四边形OEDF是矩形,OF=DE.OA=12AB=12×10=5,OF=OA2-AF2=4,DE=4.类型5作垂直,证半径13.如图,在RtAB

7、C中,B=90°,A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作D.1AC与D相切吗?2你能找到AB,BE,AC之间的数量关系吗?解:1AC与D相切.2AC=AB+BE.类型6连切点,得垂直14.如图,O与矩形ABCD的边BC相切于点G,与AD相交于点E,F,假设EF=CD=4,那么O的半径为2.5. 15.丽水中考如图,在RtABC中,C=90°,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于点E.1求证:A=ADE;2假设AD=16,DE=10,求BC的长.解:1连接OD,DE是切线,ODE=90°.ADE+BDO=90°.ACB=90°,A+B=90°.OD=OB,B=BDO.ADE=A.2连接CD.ADE=A,AE=DE.BC是O的直径,ACB=90°,EC是O的切线,ED=EC.AE=EC.DE=10,