211平面课件（人教A版必修2）

1、第二章点、直线、平面之间的位第二章点、直线、平面之间的位置关系置关系21空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面平面第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系新知初探思维启动新知初探思维启动1平面的有关概念平面的有关概念(1)定义：平面是最基本的不加定义的原始几何概念，定义：平面是最基本的不加定义的原始几何概念，平面无厚薄，无大小，是无限延展的，通常用平面无厚薄，无大小，是无限延展的，通常用_表示平面表示平面平行四边形平行四边形栏目栏目导引导引第二章

2、点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系(2)平面的表示法平面的表示法常把一个希腊字母如常把一个希腊字母如，或或等写在表示平面的平行四边等写在表示平面的平行四边形的一个角上来表示平面如图形的一个角上来表示平面如图所示，表示平面所示，表示平面.如如图图所示，表示平面所示，表示平面、平面、平面.也可以用表示平面的平行也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称如图母作为这个平面的名称如图所示中的平面所示中的平面，也可，也可以表示为平面以表示为平面ABCD、平面、平面AC或者平面或者平

3、面BD.栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系想一想想一想一个平面能把空间分成几部分？一个平面能把空间分成几部分？提示：提示：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分部分做一做做一做 1.下列说法：下列说法：书桌面是平面；书桌面是平面；8个平面重叠后，要比个平面重叠后，要比6个平面重叠个平面重叠后厚；后厚；有一个平面的长是有一个平面的长是100 m，宽是，宽是90 m；平面平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念其中正确的个数为其中正确的个数为_答案：答案：1栏

4、目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系2点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点、直线、平面之间的位置关系及语言表达文字语言表达文字语言表达图形语言表达图形语言表达符号语言表达符号语言表达点点A在直线上在直线上Al点点A在直线外在直线外A l点点A在平面内在平面内A栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系文字语言表达文字语言表达图形语言表达图形语言表达符号语言表达符号语言表达点点A在平面外在平面外_直线直线l在平面内在平面内_直线直线l在平面外在平面外或或 _A ll 栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之

5、间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系做一做做一做 2.如图所示，点如图所示，点A_平面平面ABC；点；点A_平面平面BCD；BD_平面平面ABD；平面；平面ABC平面平面BCD_.答案：答案： 直线直线BC栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系3平面的基本性质平面的基本性质(1)公理公理1文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内么这条直线在此平面内符号语言：符号语言：Al，Bl，且，且A，B_图形语言：图形语言： l栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第

6、二章点、直线、平面之间的位置关系(2)公理公理2文字语言：过文字语言：过_的三点，有且只有的三点，有且只有一个平面一个平面符号语言：符号语言：A、B、C三点不共线三点不共线存在唯一的存在唯一的使使A、B、C.图形语言：图形语言： 不在一条直线上不在一条直线上栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系三个推论：三个推论：推论推论1：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面 推论推论1亦可说成，直线及其外一点确定一个平面亦可说成，直线及其外一点确定一个平面推论推论2：经过两相交直线有且只有一个平面：经过两相交直线有

7、且只有一个平面推论推论3：经过两平行直线有且只有一个平面：经过两平行直线有且只有一个平面(3)公理公理3文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的它们有且只有一条过该点的_图形语言：图形语言：公共直线公共直线l栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系做一做做一做 3.两个平面重合的条件是两个平面重合的条件是()A有三个公共点有三个公共点 B有无数个公共点有无数个公共点C有一条公共直线有一条公共直线 D有两条相交公共直线有两条相交公共直线解析：选解析：选D.两条相交直线确定一

8、个平面两条相交直线确定一个平面栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系典题例证技法归纳典题例证技法归纳题型一点线共面问题题型一点线共面问题例例1 已知已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直是两两相交且不共点的四条直线，求证：线，求证：a，b，c，d共面共面【题型探究题型探究】【证明】(1)无三线共点情况，如图.设 adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.adM，a、d 可确定一个平面.Nd，Qa，N，Q.NQ，即 b.同理 c，a，b，c，d 共面栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系(2)

9、有三线共点的情况，如图.设 b，d，c 三线相交于点 K，与 a 分别交于 N、P、M，且 Ka.Ka，K和 a 确定一个平面，设为.Na，a，N，NK，即 b.同理 c，d，a，b，c，d 共面由(1)(2)知 a，b，c，d 共面栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系【名师点评名师点评】四条直线两两相交且不共点有两种情四条直线两两相交且不共点有两种情况：一是无三线共点，二是有三线共点，要分两种情况况：一是无三线共点，二是有三线共点，要分两种情况加以证明加以证明栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系互

10、动探究互动探究 1若将本例中条件改为三条直线，且已知若将本例中条件改为三条直线，且已知ab，直线，直线l与与a，b都相交，交点分别为都相交，交点分别为A，B.如何证明直线如何证明直线a，b，l共面？共面？证明：直线 aba，b 确定平面laAAalbBBbA，BAl，Blla，b，l 共面栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设中，设A1C平面平面ABC1D1E.求证：求证：B、E、D1三点共线三点共线【证明证明】如图，连接如图，连接A1B、BD1、CD1，A1C平面平面ABC1D1E

11、，EA1C，E平面平面ABC1D1.A1C平面平面A1BCD1，E平面平面A1BCD1.平面平面A1BCD1平面平面ABC1D1BD1，EBD1，B、E、D1三点共线三点共线题型二多点共线问题题型二多点共线问题栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系【名师点评名师点评】本题的方法是利用公理本题的方法是利用公理3证明这些点都是证明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练跟踪训练 2如图所示，在空间四边形各边如

12、图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取上分别取E，F，G，H四点，如果四点，如果EF，GH交于一点交于一点P，求证：点，求证：点P在直线在直线BD上上证明：证明：EF，GH交于一点交于一点P又又EF平面平面ABD，GH平面平面CBD，P平面平面ABD，且，且P平面平面CBD，平面平面ABD平面平面CBDBD，由公理由公理3可得可得PBD.点点P在直线在直线BD上上栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系例例3 题型三多线共点问题题型三多线共点问题栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系【证明

13、】E，F 分别是 AB，AD 的中点，EFBD 且 EF12BD.又BGGCDHHC2，GHBD 且 GH13BD，EFGH 且 EFGH，四边形 EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰 EG，FH 的延长线相交于一点 P，EG平面 ABC，FH平面 ACD，P平面 ABC，P平面 ACD，又平面 ABC平面 ACDAC，PAC，故直线 EG，FH，AC 相交于同一点栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系【名师点评名师点评】证明本题的关键是证直线证明本题的关键是证直线EG与直线与直线FH相交，直线相交，直线AC经过该交点经过该交点栏目栏目导

14、引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练跟踪训练 3证明：三棱台证明：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点三条侧棱延长后相交于一点证明：延长证明：延长AA1，BB1，设，设AA1BB1P，又又BB1面面BC1，P面面BC1，AA1面面AC1，P面面AC1，P为平面为平面BC1和面和面AC1的公共点，的公共点，又又面面BC1面面AC1CC1，PCC1，即即AA1，BB1，CC1延长后交于一点延长后交于一点P.栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系1证明多点、多线共面的常用方法证明多点、多线共面的常

15、用方法(1)直接利用公理直接利用公理2和它的三个推论判断和它的三个推论判断(2)先由给定的点和直线中的某些元素确定一个平面，其先由给定的点和直线中的某些元素确定一个平面，其理论依据是公理理论依据是公理2及其三个推论，再利用公理及其三个推论，再利用公理1证明其他证明其他元素在这个平面内元素在这个平面内(3)先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合证明两个平面重合的面内，然后证明这两个平面重合证明两个平面重合的主要依据是确定平面的条件如例主要依据是确定平面的条件如例1.【方法感悟方法感悟】栏目栏目导引导引第二章点、直线

16、、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系2证明点共线的方法证明点共线的方法(1)首先找出两个平面的交线，然后证明这若干点都是这首先找出两个平面的交线，然后证明这若干点都是这两个平面的公共点，根据公理两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线，可推知这些点都在交线上，即证若干点共线上，即证若干点共线(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另外一些点都选择其中两点确定一条直线，然后证明另外一些点都在这条直线上如例在这条直线上如例2.3证明三线共点的基本方法证明三线共点的基本方法(1)先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点是

17、二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线由公理交线由公理3知，不重合的两个平面的公共点在它们的知，不重合的两个平面的公共点在它们的交线上，从而证明了三线共点交线上，从而证明了三线共点栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系(2)先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，由三角形全等推导出交线与另两条直线分别交于两点，由三角形全等推导出线段相等，证明这两点重合，从而证明三线共点线段相等，证明这两点重合，从而证明三线共

18、点栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示 下列命题：下列命题：和平行直线和平行直线a，b都相交的两条直线在同一个平面内；都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面两两平行的三条直线确定三个平面其中正确的命题个数是其中正确的命题个数是()A4 B3C2 D1易错警示易错警示 因思考问题不全面，以偏概全而致误因思考问题不全面，以偏概全而致误 例例4栏目栏目导引导引第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系【常见错误常见错误】对对错是比较容易看出的，对于错是比较容易看出的，对于则容易以偏概全，思考问题不够全面，忽略一部分可能则容易以偏概全，思考问题不够全面，忽略一部分可能的结果错选的结果错选B.【解析解析】由两条平行线确定一个平面可知由两条平行线确定一个平面可知正确，对正确，对于于三条两两相交直线，