函数列一致收敛判别法

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业哈哈 尔尔 滨滨 师师 范范 大大 学学学士学位论文开题报告学士学位论文开题报告论文题目 函数列一致收敛性判别法学生姓名 许月指导教师 房维维 讲师年 级 2008级2班专 业 数学与应用数学2011年11月 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业课题来源： 由指导教师提供 课题研究的目的和意义： 由于本课题在数学领域中对初学者来说比较难理解，难以掌握与应用，所以研究此课题目的是让初学者掌握该课题知识，学会分析，提高自己的综合能力，本文给出5种函数一致收敛性判别法的例题，让初学者更加形象的理解本课题的应用技巧。 函数列一致收敛性判别法在数学分析中是

2、重点难点，有效的判别函数列的收敛性对研究函数列的性质起着重要作用 。所以本文介绍了判别收敛性的方法及案例，让初学者能深刻体会其重要性和应用的广泛性。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业国内外同类课题研究现状及发展趋势： 函数列一致收敛性判别法在求解极限领域中起着极其重要的作用，它不仅有助于提高我们对极限认识清晰度，而且更能帮助我们领悟一致收敛这一性质。但在国内对于写相关课题已被广泛研究，1991年海南师范学院学报第二期张国才和方良秋的函数列一致收敛性判别法 ，这篇文章参考数学分析中函数列的性质得出了函数列一致收敛性的基本方法，包括柯西判别法。1995年吉林师范学院学报第16卷上关伟大的关

3、于一致收敛的判别问题 ，这篇文章讨论了处处收敛与一致收敛的关系，得出了“单调的一致收敛函数列是一致收敛的”结论。1994年上海师范大学学报第23卷第3期张骏芳的广义一致收敛与亚一致收敛,这篇文章讨论了连续函数列的极限函数连续条件，采用了先把函数列为正则收敛减弱为弱正则收敛或一致收敛，在减弱为广义一致收敛，最后成为一个定理证明。还有很多学者研究了一致收敛判别的各个方面，不仅未来的研究指明了方向，而且在学术界得到广泛应用，同时也为本文提供了理论依据和参考。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：主要内容：1、函数列一致收敛性的判别法2、函

4、数列一致收敛性的定义3、函数列一致收敛性的柯西准则4、函数列一致收敛的充要条件5、函数列一致收敛性判别法的应用6、函数列一致收敛性判别法的意义主要方法：查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中的应用。 文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。 归纳法：总结并整理论文。主要问题：对于不同的题型，怎么选择正确方法解答。解决办法：归纳总结，查询文献，请老师指导等。课题研究起止时间和进度安排：1.选定课题（2011.102011.11）2.收集资料，研究有关课题（2011.112012.2）3.完成初稿（2012.22012.3） 4.请指导教师指导完成论文(

5、2012.32012.4)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业学学 士士 学学 位位 论论 文文题题 目目 函数列一致收敛性判别法函数列一致收敛性判别法学学 生生 许月许月指导教师指导教师 房维维房维维 讲师讲师年年 级级 2008 级级专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学系系 别别 数学系数学系学学 院院 文理学院文理学院哈尔滨师范大学2012 年 4 月精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业目目 录录 1.3 函数列一致收敛性充要条件.27 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业函数列一致收敛性判别法许月 摘要摘要: 在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别

6、函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用. 关键词关键词： 函数列；一致收敛；判别法 引言 本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函

7、数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.一 预备知识1.11.1 函数列一致收敛的定义函数列一致收敛的定义 定义 1：设函数列nf与函数 f x定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在一正整数N，使得当nN时，对一切xD，都有 nfxf x，则称函数列 nf在D上一致收敛于f，记作 nfxf x n ，xD.1.21.2 函数列一致收敛性的柯西准则函数列一致收敛性的柯西准则定理 1（Cauchy）函数列nf在D上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数，总存在正数N，使得当, n mN时，对一切xD，都有 nmfxfx.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1.31.3 函数列

8、一致收敛性的充要条件函数列一致收敛性的充要条件定理 2 函数列nf在D上一致收敛的充要条件是： limsup0nnx Dfxf x. 二二 函数列一致收敛性判别法的应用函数列一致收敛性判别法的应用2.12.1 利用利用函数列一致收敛性定义证明函数列一致收敛性定义证明例 1：定义在, 上的函数列 sin,1,2.nnxfxnn由于对任何实数x，都有nnnx1sin故对任给的0，只要1nN，就有sin0,nxn所以函数列sinnxn收敛域为无限区间, , 极限函数 0f x .注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。例如，能否由函

9、数列每项的连续性，可导性，来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些更深刻问题的讨论，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行。例 2：设在, a b上， nfx一致收敛于 f x， ngx一致收敛于 g x。若存在正数列,1,2,.nMxa bn。证明： nnfxgx在, a b上一致收敛于 f xg x。证明：先证 nfx一致有界。因为 nfx一致收敛于 f x，所以0,0N ，当nN时 ,nfxf xxa b特别地对1,有 1nfxf x，所以 11,nnf xfxM 即 f x是有界的。记 1,supxa bMf x ，则当n

10、N时， 11,nnnfxfxM 取121max,.,1NMM MMM精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则有对于任意的 ,nnNxa bfxM 同理可证 g x是有界的，即0,M使得 ,g xM xa b，由于 nfx一致收敛于 f x， ngx一致收敛于 g x，所以对0,0,N 当nN时对一切,xa b ,22nnfxf xgxg xMM，所以当nN时有 nnfx gxf x g x nnnfx gxf x g xfx g xf x g x nnnfxgxg xg xfxf x22MMMM故 nnfx gx在, a b上一致收敛于 f x g x.2.22.2 利用利用函数列一致收敛

11、性的柯西准则函数列一致收敛性的柯西准则例 3：设 nf nx，1,2n 为定义在, 上的函数列，证明它的收敛域是1,1，且有极限函数 0,1( )1,1xf xx （3）证明：任给0， （不防设1） ，当01x时，由于 nnfxf xx，只要取ln,lnNxx，当nN,x时，就有 nfxf x，当0 x 和1x 时，则对任何正整数n，都有 000nff， 110nff.这就证得nf在1,1上收敛，且有（3）式所表现的极限函数.当1x 时，则有nxn ，当1x 时，对应的数列为，1,1, 1,1. 它显然是发散的。所以函数列 nx在区间1,1外是发散的.注：对于不等式中含有可考虑用的因子,)()

12、(afbf拉格朗日中值定理先处理以下，利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业值定理的条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况.例 4：可微函数列 nfx在, a b上收敛，且导函数列 nfx在, a b上一致有界，则 nfx在, a b上一致收敛。证明：由假设存在正数 M，对一切自然数 n，当,xa b时，有 nfxM，

13、因此对0 ，只要取3M,则当xx，对一切自然数n，由微分中值定理有 3nnnfxfxfxxM其中在x和x之间，现对, a b作k等分，使bak，在各个小区间内任取一点12,.,kx xx，在这些点上函数列 nfx收敛，对0 ，存在自然数iN，当inN时，有 3nimifxfx令1maxii kNN ，则当nN时，这一切12,.,kx xx都有， 3nimifxfx，对任意,xa b，设x落在ix所在的小区间上， （1） ， （2） ，及nN有 nmnninimimimfxfxfxfxfxfxfxfx所以 nfx在, a b上是一致收敛的。注：柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么，只是根据函

14、数列本身的特点来判断函数列是否一致收敛。例 5： 2nnnfxxx在01x是否一致收敛？分析：考察区间收敛与一致收敛的逻辑关系注意联系闭区间连续性与一致收敛的关系.证明：这里 2limlim0,01,nnnnnfxxxf xx，令 11 20nnnfxnxx，得12nnx ，由于 0nfx ，而 010nnff，所以，在12nnx 点， nfx取极大值. 220101111supsup224nnnxxfxf xxx 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以 nfx不趋近于 f x.注：当 01supnxfxf x 不好求时，只好诉之于一致或者不一致收敛的定义或柯西准则。从上例题也可看出，

15、函数列在有限闭区间上收敛，未必一致收敛，2nnxx在0,1上就是如此，这与有限闭区间上连续函数一定一直连续不同。2.32.3 利用利用函数列一致收敛性的充要方法函数列一致收敛性的充要方法例 6：定义在上的函数列 122,0211222,1,2,.210,1( )nn xxnnn xxnnnxnfx （8）其中1,2,3n 的图像，如图所示.由于(0)0nf，故 (0)lim00nnnff。当01x时，只1nx，就有( )0nfx ，故在0,1上有 (0)lim00nnnff于是函数列（8） ，在 1 , 0上的极限函数( )0f x ，又由于 0,11sup2nnxfxf xfnnn ，所以函

16、数列（8）在0,1上不一致收敛。例 7：讨论函数列 222n xnfxn xe，0,1x的一致收敛性。证明：因为 222lim0,0,1n xnf xn xex，于是， 2220.n xnfxfn xe容易验证222n xn xe在0,1上只有唯一的极大点012xn，因此为最大值点。于是 12sup2nnfxf xe 因此该函数列在0,1上不一致收敛。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业注： 222n xnfxn xe不一致收敛是因为函数列余项的数值在0 x 的附近不能随 n的增大一致趋于零，因此对任何不含原点的区间,1 01aa， 222n xnfxn xe在该区间上一致收敛于零。例

17、8：讨论 221,1,2,.1,1nfxxnDn 是否一致收敛，并说明理由。证明：由于 lim,1,1nnfxxf xxD ，且 221limsuplimsupnnnx Dx Dfxf xxxn22211limsuplim01nnx Dnnxxn故221,1,1xxnxn .例 9：讨论 22,1,2,.,1nxfxnDn x 是否一致收敛，并说明理由。证明：由于 lim0,nnfxf xx ，且 221limsuplimsuplim021nnnnx Dx Dxfxf xnn x故220, 0,1xxn x .结束语初等数学中的常用方法有很多，在数学的学习过程中，函数列一致收敛性证明是一个非常

18、重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在极限上，虽然函数列一致收敛性判别法广泛的存在于现实的世界里，但是人们对函数列一致收敛性判别法的认识尚浅.直到 17 世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.但一般来说比较讲究解题技巧.而用上述函数列一致收敛性判别法，有时可大大降低解精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业题技巧的需要，简化解题过程.所以以上方法给我们提供了便利的条件.注释：注释：1李长明,周焕山:初等数学研究M.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2叶慧萍:反思性教学设计-不等式证明综合法J.数学教学研究,2005,10

19、(3):89-91.3胡炳生,吴俊:现代数学观点下的中学数学M.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋庆:函数列一致收敛性判别法的再推广J.中等数学,2006,45(5):29-31.5蒋昌林:也谈一类函数列一致收敛性的统一证明J.数学通报,2005,15(2):75-79. 6张新全.函数列一致收敛性的证明J.数学通报,2006,45(4):54-55.参考文献：参考文献：1 孙 涛：数学分析经典习题解析M，高等教育出版社，2004.2 孙清华：数学分析内容、方法与技巧M，华中科技大学出版社，2003.3 谢惠民：数学分析习题课讲义M，高等教育出版社，2003.4 陈传璋：数学分析

20、M，人民教育出版社，1980.5 黄先开,曹显兵：历届考研试题M，世界图书出版公司, 2004.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业英文摘要英文摘要Uniform Convergence Of Function Sequence Of Discriminant MethodXuYueAbstract: Higher Mathematics in uniform convergence of function sequence is one of the important properties, effective discriminant function uniformly conv

21、ergence method, to study the properties of sequence of functions play an important role. The method of defining method, a sufficient and necessary condition of guidelines, and other important method, through the study of these proven methods, which can help us to solve some practical problems, developing logical reasoning ability and abstract thinking ability, and the various methods to summarize, in order to scholars of skilled and flexible use.Keywords: function list; uniform convergence; discriminant method 精选优质文档-