拉氏变换详解（课堂PPT）

1、.12.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换(1)例例1.求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 。 (2)例例2.求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。的拉氏变换。sAesAdtAesFstst00)(1)!2! 111(1)1(111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststs1数学知识回顾.2 （3）例）例3.求指数函数求指数函数f(t)= 的拉氏变换的拉氏变换几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换ateaseasdtedtee

2、sFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)21 sate)(22wsw)(22wsswteatsinwteatcos22)(wasw22)(wasas.3v3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。氏变换之和。 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值。时的初始值。)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)

3、0()()(fssFtfL.4 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏阶导数的拉氏变换变换) 0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()(121nnnnnffsfssFstfL.5(3)积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。证：设证：设 则有则有 由上述微分定理，有由

4、上述微分定理，有dttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()(1dttf)()0(1f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)(1fssFshstfLshsthLsthL.6即：即：同理，对同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象函数除以函数除以 。 sfssFdttfL)0()()(1)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)

5、(1)()2()1(222fsfssFsdttfLns.7（4）终值定理）终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。证：由微分定理，有证：由微分定理，有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右边左边.8注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，不存在，则不能用终值

6、定理。如对正弦函数和余弦则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：初值定理：证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。(6)位移定理：位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs ses.9b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 即：即：(7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或

7、展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：样倍数。即： 证：证：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL)()(,/)()(00asaFadefatdteatfatfLsast则原式令ate.10(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。数的乘积。即即证明：证明：)()()()(21021sFsFdftfLt02102110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()()()(dfttfdftfttftdtedf

8、tfdftfLtsttt时，.11 即得证。则令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt.12二二.拉氏反变换拉氏反变换 1. 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换。记为称为拉氏反变换。记为 。由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的所有极点的实部。实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查直接按上式

9、求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必必须是一种能直接查到的原函数的形式。须是一种能直接查到的原函数的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst.13 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要将将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。分分式的拉氏变换在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(则tetsF

10、LtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF.14例例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222对应项系数相等得则解：的逆变换.152. 拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法v（1）情况一）情况一:F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和总能展开成如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpsc

11、sF2211)(.16ipsiiiipssDsMccsDnip)()()(,0)(), 2 , 1(是常数的根是式中321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例.17tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1.18v（2）情况）情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点例例2：求解微分方程：求解微分方程1) 0 () 0 (, 054 yyyyy为零）拉氏变换（初始条件不则微分方程两边同时取tetey

12、sssssssssssFsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222.19v（3）情况）情况3:F(s)有重极点有重极点,假若假若F(s)有有L重重极点极点 ,而其余极点均不相同。而其余极点均不相同。那么那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p.20仍按以前的方法计算系数,)()()()!1(1)()()(!1,1111111nlpsllpsl

13、iilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互异极点。是式中0)(), 1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj.211)()1() 1() 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0)0()0()0(, 133:3121133213334122333)3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例.22tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21.23v如果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1

14、, 1, 1, 11)3()23(1) 1() 1() 1(1) 1() 1() 1(1)(32132123233323213322313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。.243、线性定常微分方程的求解【例26 P25】下图中，若已知L=1H, C=1F, r=1,U0(0)=0.1V, i(0)=0.1A, ui(t)=1V.试求电路突然接通电源时电容电压的变化规律。rLCur(t)uc(t)i(t).25解：已求得微分方程为)()()()(tututurCtuLCrCCC 拉氏变换得1 . 01 . 0)()0()0()(

15、)(1 . 0)()0()()()()()()(2002 0 ssUsususUstuLssUussUtuLtututurCtuLCccccccrccc.26代入得）则30866. 0sin(2 . 0)120866. 0sin(15. 1112 . 01 . 0) 1(1)(,1)(12 . 01 . 01)()(5 . 05 . 022122tetessssssLtussUssssssUsUorro根据初值定理、终值定理.27三三.传递函数传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系

16、统的传递函数，用的传递函数，用G(s)表示。表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn.28 c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则零为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：到系统传递函数为：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(即是系统的特征方程。0)()(1110sNa

17、sasasasNnnnn分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。.29 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G(s)G(s)的分母次数大于等于分子次数，即的分母次数大于等于分子次数，即 , ,若若mn,mn,我们就说这是物理不可实现的我们就说这是物理不可实现的系统。系统。mn 是传递函数的极点极点。的根是函数的零点零点，的根，称为传递是0)()2 , 1(0)()2 , 1()()()()()()()(210210sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinm.302.性质性质 (1)传递函数

18、与微分方程一一对应。传递函数与微分方程一一对应。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）效地描述了系统的固有特性。） (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 (4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正如果存在零极点对消情况，传递函数就不

19、能正确反映系统的动态特性了。确反映系统的动态特性了。 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。不能反映非零初始条件引起的输出。 .31例例1：RC电路如图所示电路如图所示依据：基尔霍夫定律依据：基尔霍夫定律 消去中间变量消去中间变量 ，rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()()(ti则微分方程为：则微分方程为：)()()(tutudttduRCrcc.32可用方框图表示可用方框图表示例例2.双双T网络网络)(sG)(sR)(sC11RCs)(sur)(sucrucu1C2C1R2R1i

20、2i1u对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc.33解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：分方程组：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：.34)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221

21、122211sCRCRCRsCRCRsusurC传递函数为消去中间变量后，得到.35方法二：双方法二：双T网络不可看成两个网络不可看成两个RC网络的串网络的串联，即：联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2.36传递函数的基本概念 例例2-9 P31求电枢控制式直流电动机的传递函数。解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：cammKuKdtdT21)()()()1(21sMKsUKssTcam方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：0)(sMc1)()()(

22、1sTKsUssGmau令 ，得转速对负载力矩的传递函数：0)(sUa1)()()(2sTKsMssGmcm最后利用叠加原理得转速表示为：)()()()()(sMsGsUsGscmau.37.382.4典型环节的特性典型环节的特性 控制系统是由许多环节组成的，为控制系统是由许多环节组成的，为了研究控制系统的特性，有必要首先研了研究控制系统的特性，有必要首先研究其各个组成部分的特性，即研究究其各个组成部分的特性，即研究各个各个环节环节的特性。的特性。 不同物理性质，不同结构用途的环不同物理性质，不同结构用途的环节可以表现出相同的动态特性，可以有节可以表现出相同的动态特性，可以有相同的数学模型，所

23、以这里按相同的数学模型，所以这里按数学模型数学模型对环节进行分类。对环节进行分类。.39 1、比例环节、比例环节（1）微分方程）微分方程 c (t) = K r (t) K 为常数为常数 任意时刻，输出与输入成比例。任意时刻，输出与输入成比例。（2）传递函数）传递函数 K为常数为常数 （3）动态结构图）动态结构图（4）动态特性）动态特性 r (t) = 1(t) c (t) = K 1(t)输出不失真，不延迟，成比例地输出不失真，不延迟，成比例地表现输入信号的变化。表现输入信号的变化。（迅速、准确地表现输入信号的变化）（迅速、准确地表现输入信号的变化）KsRsCsG)()()(K KR R(

24、(S S) )C C( (S S) ).40（5）举例：）举例：a、工作于线性状态的电子放大器，其惯、工作于线性状态的电子放大器，其惯性很小可以近似地看成一个比例环节。性很小可以近似地看成一个比例环节。b、测速发电机空载时，它的输出电压与、测速发电机空载时，它的输出电压与输入转速成正比例关系。带负载时，略去输入转速成正比例关系。带负载时，略去其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，仍近似地把它视为一个比例环节。仍近似地把它视为一个比例环节。.412-4 结构图结构图一一.结构图的概念和组成结构图的概念和组成v1.概念概念 我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向

25、。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。 定义定义 ：表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。X(t)Y(t)电位器电位器例：结构： 结构图： 微分方程：y(t)=kx(t) 若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。X(s)G(s)=KY(s).42 (3)比较点：比较点： 综合点，相加点综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出加号常省略，负号必须标出 (4)引出点：引出点： 一条传递线上的信号处处相等一条传递线上的信号处处

26、相等 ，引出点的信号与原信号，引出点的信号与原信号相等。相等。G(s)X(s)Y(s)2. 组成组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。的信号处处相同。 （2）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数.43结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-11例1利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。解：不能把左图简单地

27、看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：)(1)()(11sIRsusui11R)(1sI)(sui)(su-)()()(21sIsIsI-)(sI)(1sI)(2sI)(1)(1susCsIsC11)(sI)(su)(1)()(22sIRsusuo21R)(2sI)(su)(suo-)(1)(22susCsIosC21)(2sI)(suoiuou1R2R1C2C1i2iui,2i二二.结构图的绘制结构图的绘制.44绘图：绘图：ui(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组代数方程代数方程组组结构图，而是直接列写结构图，

28、而是直接列写s域中的代数方域中的代数方程，画出了结构图。程，画出了结构图。11RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo.45若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为，现在改为I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc.46 这个结构与前一个不一样，这个结构与前一个不一样，选择不同的选

29、择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc.47三三.结构图的等效变换结构图的等效变换（1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG证明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s).48(2)并联并联G

30、(s)X(s)Y(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsGsG证明：X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S).49(3)反馈反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。可能是正，我们用消去中间法来证明。R(s)C(s)()(1)(sHsGsG)()()()()()(),()()(sHsCsBsBsRsEsGsEsCC(s)G(s)H(s)E(s)R(s).50)()(1)()()()()(

31、)()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC以后我们均采用以后我们均采用(s)表示闭环传递函数，表示闭环传递函数，负反馈时，负反馈时， (s)的分母为的分母为1回路传递函数，回路传递函数，分子是前向通路传递函数。分子是前向通路传递函数。正反馈时，正反馈时， (s)的分母为的分母为1回路传递函数，回路传递函数，分子为前向通路传递函数。分子为前向通路传递函数。单位负反馈时，单位负反馈时，)(1)()(sGsGs.51（4）信号引出点的移动：）信号引出点的移动： 引出点从环节的输入端移到输出端)(sG)(1sX)

32、(1sX)(sY)(sG)(1sX)(sY)(sN)(1sX)(1)(),()()()(?)(11sGsNsXsNsGsXsN信号分支点的移动和互换信号分支点的移动和互换.52信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点和分支点的移动和互换 引出点从环节的输出端移到输入端：)(sG)(1sX)(sY)(sY)(1sX)(sG)(sN)(sY)(sY)()(),()()(),()()(?)(11sGsNsYsNsXsYsGsXsN 注意： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例)(1sX)(2sX)(3sX)(sY)(1sX)(3sX)(2sX)(sY.53信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点和分

33、支点的移动和互换 同一信号的分支点位置可以互换：见下例)(sG)(sX)(sY)(1sX)(2sX)(sG)(sX)(sY)(2sX)(1sX 相加点和分支点在一般情况下，不能互换。)(sG)(2sX)(3sX)(sX)(sG)(2sX)(3sX)(sX常用的结构图等效变换见表2-1 所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。.54结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-11例2利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。iuou1R2R1C2C1i2iui,2i总的结构图如下：11RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo.

34、55结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-11 为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：11RsC111122sCR-)(sI)(1sI)(su)(sui)(suosC211RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR21.56结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-1111RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR211122sCR-)(sui)(suosCR211111sCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsususGio2122112211212211) 1)(1(1) 1)(1(1) 1)(1

35、(1)()()(.57解：结构图等效变换如下：例3系统结构图如下，求传递函数 。)()()(sRsCsG)(1sG)(sH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC相加点移动)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC.58)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC)()()(421sGsGsG)()()(1)(323sHsGsGsG)(sR)(sC)()()(1)()()()()(324213sHsGsGsGsGsGsGsG结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-12.59小结小结v结构图的概念和绘制方法；v

36、结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；作业：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e).602-5 信号流图信号流图 信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。.61一、信号流图及其等效变换一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图： 1R1CNEPQ11G2GH信号流图的概念信号流图的概念节点：节点表示变量。以小圆圈表示。支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。 支路相当于乘法器

37、，信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一种信号。.62xyGxyG上图中， 两者都具有关系: 。支路对节点 来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。 )()()(sxsGsyx信号流图的概念信号流图的概念.63信号流图的术语信号流图的术语几个术语： 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： C 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q 。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。 前向通路：信号从输入节点到输出节点传输时，每个节点只通过一次的通路叫前向通路。 输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如： R，N。1R1CNEPQ

38、11G2GH.64 回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。 互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。1R1CNEPQ11G2GH信号流图的术语信号流图的术语 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。.65信号流图的等效变换信号流图的等效变换 串联支路合并：abab1x2x3x3x1x 并联支路的合并：ab1x2xba2x1x 回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb

39、1.66 混合支路的清除：ab1x2x3x4xcdadbdacbc1x4x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2x 自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11信号流图的等效变换信号流图的等效变换.67v节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示。v支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。v信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。v对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的信号流图的性质.6

40、8信号流图的绘制信号流图的绘制信号流图的绘制： 根据结构图例2 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。bdemghk)(SClf)(SR1V2V3V1bdelk1gfhmRCV1V2V3.69信号流图的绘制信号流图的绘制1bdelk1gfhmRCV1V2V3 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV按方程可绘制信号流图.70梅逊公式的推导梅逊公式的推导二、二、梅逊公式的推导梅逊公式的推导1bdelk1gfhmRCV1V2V3如前例已知信号流图如图所示

41、，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程RfbVVVkdehglm01101321bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV.71于是可求得该方程组的系数行列式mkedlhmhgklhkedlmmkekedlhdlgklmhhmkemhdlgklhmkdehglm)(11)1 ()1 ()1)(1 (1101和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRglbRm)1 ()1 (1012梅逊公式的推导梅逊公式的推导.72根据克莱姆法则得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是传递函数为mkedlh

42、mhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。 梅逊公式的推导梅逊公式的推导.73图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 dlhmhmkeLLkjkj,而值恰好为 mkedlhm

43、hgklhkedlmLLLkjkjii)(11,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。 梅逊公式的推导梅逊公式的推导.74 如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=1梅逊公式的推导梅逊公式的推导1bdelk1gfhmRCV1V2V3mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,.75故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函

44、数可表示为 kkkPsRsCs)()()(梅逊公式的推导梅逊公式的推导传递函数的分子等于系数行列式除以R(s)。而 恰好为 R2bgdlmfbdePPPPRkkk)1 (3322112前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=1.76梅逊公式梅逊公式 用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：nkkkPP11式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：PnkP二、二、梅逊

45、公式梅逊公式.77.1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）式中： 流图中所有不同回路的回路传输之和； 所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和； aLcbLL 所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；fedLLL第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；k梅逊公式梅逊公式.78梅逊公式梅逊公式|例例2-13a解：前向通道有一条； 有一个回路； ugGGGGPu3211,fuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGLfuukkkgGGGGGGGGGPsusP3213211111)()()()(susg例2-13a求速度控制系统的总传输 。（不计扰动）gueu1u2uaucM11G2G3GuGmG1fG.79梅逊公式梅逊公式|例例4解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：例4：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21.80图中，有一个前向通道；2221111sCRCRP 有三个回路；sCRsC