大学数学练习题上课讲义

1、大学数学练习题精品文档大学数学习题及答案一填空题：1一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解 yi(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 .3方程y'' 2y' y 0的基本解组是.4 一个不可延展解的存在区间一定是 K间.5方程电 Ji的常数解是dx6方程x'' p(t)x' q(t)x 0 一个非零解为xi(t),经过变换7若4(t)是线性方程组X' A(t)X的基解矩阵，则此方程组的任一解4(t)=.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为.9满足条件的解,称为微

2、分方程的特解.10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为 .11 一阶线性方程y' p(x)y q(x)有积分因子().12求解方程dy x/y的解是().dx13 已知(axy2 3x2y)dx (x y)x2dy 0 为恰当方程，则2=.dy x2 y214 dx y , R： x 1, y 1由存在唯一性定理其解的存在区间是(). y(0) 0215方程dy5dy 6y 0的通解是().dx dx416方程dyy3 xy5的阶数为.dx17若向量函数1(x); 2(x); 3(x)n(x)在区间D上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式 w(x)=.18若P(X)是

3、方程组 业 A(x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为 .dx/ 2219 .方程x(y1)dx y(x 1)dy 0所有常数解是20 .方程y 4 y 0的基本解组是电.y 121 .方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 22 .函数组1(x), 2(x), n(x)在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等于零.23 .若y1(x)，y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点.二单项选择：1方程曳 x 3 y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().dx(A)上半平面(B) xoy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面2方程电6 1()奇解

4、. dx(A)有一个 (B)有两个 (C)无 (D)有无数个3在下列函数中是微分方程y'' y 0的解的函数是().(A) y 1 (B)y x (C) y sin x (D) y ex4方程y'' y ex x的一个特解y*形如(). (A) aex b (B) axex bx (C) aex bx c (D) axex bx c5 f(y)连续可微是保证方程dy f(y)解存在且唯一的()条件. dx(A)必要 (B)充分(C)充分必要(D)必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个

5、线性空间(D)构成一个无限维线性空间收集于网络，如有侵权请联系管理员删除7方程电3y百过点(0,0)有(). dx(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8初值问题x'x(0)上的解是().t(A) U(t) t(B) U(t)(C) U(t)(D)eu(t)e9方程dy x2ycosx0是().(A) 一阶非线性方程(B)一阶线性方程(C)超越方程(D)二阶线性方程10方程2dy3dydx dx0的通解是().(A) CiC2e3x(B)C1x C2e 3x (C) C1C2e3x(D) C2e 3x11方程2dy dx4dx4y0的一个基本解组是).(A) x

6、2x,e(B)1,e 2x(C)x2,e 2x (D) e 2x,xe2x12若y1和y2是方程出 dxp(x)dy q(x)y 0的两个解，则 y 8e2y2 dx(e1,e2为任意常数)(A)是该方程的通解(B)是该方程的解(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解(A)(13方程dy41 y2过点(0,0)的解为y sinx,此解存在(). dx) (，0(C)0，)(D) 2，214 方程 y' 3x2y 3、是().(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程15微分方程亚 工y 0的通解是(). dx xc1(A) y (B) y cx (C)

7、 y c (D) y x cxx16在下列函数中是微分方程y'' y 0的解的函数是().(A) y 1 (B)y x (C) y sin x (D) y ex17方程y'' y ex x的一个数解yx形如().(A) aex b (B) axex bx (C) aex bx c (D) axex bx c、一一_ 0 11 ,一.18初值问题x' 0 x;x(0)在区间 t 上的解是(). t e dy19.方程dx的奇解是(tt (D) u(t) etet e(A) y x(B) y 1(C) y 120.方程£ 0V过点白)共有()个解.

8、(D) y 0(B)无数(C)两(D)(A) u(t) t (B) u(t) t (C) u(t)21. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.(A) n(B) n-1(C) n+1(D) n+222. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差()(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解f(x, y)dy f.f (x, y)23. 如果f(x,y), y 都在xoy平面上连续，那么方程dx的任一解的存在区间().(A)必为(,)(B)必为(0,)(C)必为(,0)(D)将因解而定求下列方程的解

9、:1求下列方程的通解或通积分 dy ylny dy Jiy -dy y xy5 (4)2xydx (x2 y2)dy 0dxdx x x dx(5)y xy' 2(y')32求方程的解x1x(4) 0t3解方程：dy y2cosx并求出满足初始条件：当x=0时,y=2的特解 dx4求方程：dy tg -dx x x5求方程：dy 6丫 xy2的通解dx x6 求(3x2 6xy2)dx(6x2y 4y3)dy 0 的通解.7求解方程:d 4x dt4d2x2 -dt求方程:d 5xdt51 d4xt dt40的解1sin tx9求方程y'' 5y'5x2

10、的通解dx10求下列方程组的通解dtdydt11求初值问题 y x y R:|x 1 1 |y 1的解的存在区间并求出第二次近似解 y( i) 012求方程的通解(1) dy-y(2) dytan(3) (y 3x2)dx(4y x)dy 0(三种方法)dxx y dxx x dy 5 dy 4y 0dx dx13计算方程y'' 4y 3sin2x的通解14计算方程d 2xdt4-dx 4x cost dt15求下列常系数线性微分方程：y'' 2y' 10y xe2x一 2 1,，一16试求x x的基解矩阵 0 2一，.，2 1 一17试求矩阵A的特征值

11、和对应的特征向量1 43 5 18试求矩阵A的特征值和特征向量5 319解方程组y,1y'23 2V11 2y220.求下列方程组的通解dx dt dy dtx 2y3x 4y四名词解释1微分方程4伯努利方程五证明题2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程5Lipschitz条件6线性相关1 在方程 y'' p(x)y' q(x)y 0 中已知 p(x);q(x)ft (;)上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程nn 1dpxG1(t)drn-rGn(t)xdtdtf1(t)nn 1/G1(t)d

12、-4Gn(t)xdtdtf2、r- E dnX证明：x1(t)+x2(t)是方程 - dtd n 1 xG、) Gn(t)x f1(t)f2(t)的解。dtn 13设f(x)在0; + 上连续且limf(x)=0求证：方程dy y f(x)的一切解y(x);xdx均律 lim y (x)=04在方程y'' p(x)y' q(x)y 0中p(x)、q(x)在(,)上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w (x)是(，)上的严格单调函数。nn 15 证明：xi(t)+x2(t)是方程 一n Ci(t) 一/an(x)tf2(t)的解。dend

13、t _ _ ix _ 2x_ nx 一 . .、6证明：函数组e ,e e(其中当i j时i /在任意区间(a ,b)上线性无关。dy f(y) (y)7 .在方程dx中，已知f(y),(幻在(，)上连续，且(1) 0.求证：对任意x0和y01,满足初值条件y(x0) y0的解y(x)的存在区间必为(，) .8 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x), q(x)在(，)上连续.求证：该方程的 任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.练习题答案一填空题：1、22、线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)3、ex; xex4、开5、 y 16、 x x1 ydt7、 (t)c,c

14、为常数列向量8、 y=x2+c9、初始 10、常微分方程 11、e p(x)dx 12、x2+y2=c ; c为任意正常数 13、/14、112； 215、6P16、4 17、018. (x)c;其中c是确定的n维常数列向量19. y 1, x 120. sin 2x, cos2x21. D (x,y) R2 y 0,(或不含x轴的上半平面)22. 充分23. 没有二单项选择1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C11、D 12、B 13、D 14、D15、B 16、C 17、D 18、D19. D 20. B 21. A22.C 23. D三求下列方程

15、的解1 (1)解：当y 0, y 1时，分离变量取不定积分，得dyylnydx C通积分为1ny= Cex(2)解：令y= xu ,则电 u x四,代入原方程，得 dx dxdu 2x .1 udx分离变量，取不定积分，得dudx,C j- 1nC (C 0)1 u13cx y - y Cx通积分为：arcsin 1nCx x(3)解：方程两端同乘以y-5,得5 dydx-4=z ,则“dxdz,代入上式，得dx1 dz z x4 dx通解为z Ce4x原方程通解为4 c 4xy Ce(4)解:因为工 y2xN ,所以原方程是全微分方程。 x(xo,yo) = (0, 0)原方程的通积分为x

16、y 20 2xydx 0 y dy C(5)解：原方程是克莱洛方程,通解为： y = cx+2c32解:设y dx则方程化为dx5.3.2于是 X=clt +C2t +c3t +C4t+C5其中C1 , C2 , C3, C4, C5为任意常数dnx(t) =dtnG(t)dn1x(t)dtn 1Gn(t)x1(t) d dtGidn1x(t)dtn 1Gn(t)X2(t)=fl(t) + f2故X1（t）+X2（t）为方程 也） dtnG什目”1( ) dtn1GnX(t)=f1(t)+f2 (t)的解。3解：将变量分离，得到2 Cosxdx y1两边积分，即得 一 sin x c y因而，

17、通解为1y-Sin x C这里c是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数 C,得到C = -1因而，所求特解为1y ； 1 Sin x4解：以丫 u及曳 xdy u代入，则原方程变为 x dx dxduxu u tgu dx即du tgudx x将上式分离变量，即有dx Ctgudu x两边积分，得到nsinu nx c这里c'是任意函数，整理后，得到sin uc'e x令ee c,得到sinu = cx5解：令z = y-1得2 dy y dxdz dx代入原方程得到dz dx这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量y ,得到1_c_6y x这就是原方程的通

18、解。止匕外，方程还有解y=0。6 解：这里 M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ,这时Ms Nc12 xy. 12xy yx因此方程是恰当方程。现在求u ,使它同时满足如下两个方程3x2 6xy36x y 4y由（1）对x积分，得到u x3 3x2y2（y）为了确定（y），将（3）又t y求导数，并使它满足（2）,即得 xu 2 d (y)236x y 6x- 6x y 4y ydy于是d (y) A 4=4 = 4y dy积分后可得(y) =y4将(y)代入(3),得到u =)3 + 3x2y2 + y4因此，方程的通解为X5 + 3x2y2 + y4=c这里c是任意常数7解

19、：特征方程4 2 2 1 0即特征根i是重根，因此方程有四个实值解 cost、tcost、sint、tsint故通解为 X = (Cl+C2t)COSt +(C3+C4t)sin 其中 C1 ； C2 ； C3 ； C4 为任意常数8解：令吟y则方程化为：电1 y 0 dtdt td 4X一代 Q O d积分后得 y=ct 即一4- Ct 于是 X=Clt5 + C2t3 + c3t2 + C4tl + C5 dt4其中C1 ； C2C5为任意常数,这就是原方程的通解。9解对应齐次方程的特征方程为2 50 ,特征根为i 0, 25齐次方程的通解为y=Ci+C2e5X因为a=0是特征根。所以，设

20、非齐次方程的特解为yi(X)=X (Ax2+ Bx + C)代入原方程，比较系数确定出A=-, B=-,35C= 25原方程的通解为y C1C2e5x1 22-x x52510解：先解出齐次方程的通解x - cost sint =C1+C2y sint cost令非齐次方程特解为 x =C1(t) ycostsint+C2(t)sintcostC1(t),C'2 (t)满足costsintsintC'1 (t)costC'2 (t)1 sint 0解得 C(t) cost,C2(t) 1sin t积分，得 C1(t) 1nsint,C2(t) t通解为x cost si

21、n t y C1 sin t C2 costcost1nsint tsin tsint1nsin t tcostb 1 _ _ 一 ， 11解：M=max f(x,y)=4 h min( a,一) 一故解的存在区间为M 4_1_ xg x x 12)卬(x)=0 q1(x)=0 x(g2 0)dg f |x -33 3x 2 g 23q2(x)=0+ g - -g 99_ x x x x 113 9 18 60 42g _g_3 632g3619g12求方程的通解:1)或dx解：变形dy dx y1x y(1)，将y看作自变重，x为未知函数y解齐线性方程dx -x,通解为x = cydy y*

22、八 dx令x = c (y)y.(2)微分得，一 dyd(c(y) y)dydc(y) (、 y c(y)dy由知；y答y)c(y)ydc区 1,积分得c(y) y 故* (y )y(是任意常数) dy> dy y . y2) tan dx x x解：令"u则y ux ,于是包 x uxdx dx则原方程变为xdu u u tanudx即 du tan udx xdx将上式分离变量有cotudu dxx积分得Insinu 1nx , 为任意常数。整理 sinu e ?x 令 e c 0 得 sinu cx(c 0)方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu = cx

23、 (c为任意常数)3) (y 3x2)dx (4y x)dy 0(三种方法)解：法一，这里 M=y-3x 2 , N= - (4y-x )= 4-4y1, 1,因此此方程是恰当方程 x现求u使上y 3x2x(1)x 4y (2)对(1)中x积分得u yx x3(y) (3)对(3)中 y 求导- x d (y) 4y y dy积分得（y）2y2,代入(3)得 u yx3- 2x 2y故通解为yxx3 2y2 c , c为任意常数法二，重新组合得2 ,，ydx 3x dx 4ydyxdy0 ,即 ydx dx32dy2xdy 032d(xy x 2y0)于是通解为xy x32y2c其中c是任意常

24、数。dy 44 (dx)解：令pdy 25()dx曳则 dx4y5p24y0,yXtx求导得P5 dp一 P 一2 dx3 dpP最(ip5 214P P 443、dP /5P ),(- Pdx 23、p )dp pdx 0积分得（4p24pr)px4£ c4P54P1 37P于是方程通解为13 方程 y'' 4y54p5 24P134P144P(p=0)3sin 2x的通解解：齐次方程是y” 4y 0,2 4 0,1,2 2iyCi cos2t C2 sin 2t由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式y1x(Acos2x bsin 2x)代入原方程4A 3,B30

25、 A -,B 04yi故通解为y3xcos2x43c-xcos2x4ci cos2t c2 sin 2t ,其中cic2为任意常数d 2x 4dx ),144x costdt dt解：特征方程2 44 0有重根因此对应齐线性方程的通解为(Cic2t)e2t,其中ci,C2为任意常数。因为i不是特征根，现求形如Acost Bsint的特征解,代入原方程化简(3A -4B)cost(4A3B)sint cost3A 4B 14A 3B 0A 3故 25 4B25故通解为x (c12tc2t)e325cost&sint其中c1,c2为任意常数2515求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为y

26、'' 2y' 10y 0特征方程为2 210 0特征根为a 1 3i a不是特征根,故原方程有形如片(ax+b) e ”的特解代入原方程得a 0 b2故原方程通解为yex(c1cost c2sin3t) (一 x 一)e2x, 1050(Ci,C2为任意常数)2 116解：因为A 0 2而且后面的两个矩阵是可交换的得到exp At2 0 exp t0 2exp2t e012t eE +2但是,0 1f0 02!所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是2t 1 texp At e0 017解：特征方程为det( E A)因此，3是A的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量，

27、考虑方程组11c1(3E A)C 11C20因此，向量是对应于特征值3的特征向量，其中a 0是任意常数.18解A特征方程为det(A E)22 636 0特征根为1,2 3 5i对应于1=3+5i的特征向量u U满足 u(A 1E)u5i 55 5i0解彳u u = a a 0为任意常数对应于2 3 5i特征向量v满足(A 2E)v 0解得v i v为任意常数1 v.一 32 19解：A 2的特征万程为det( E A)1=1, 2=4 为特征根，(A 4E)u 0 u11)(4) 0为方程组解a为任意常数.2(A 4E)u 0 u2为万程组解.这样y'1a 2为方程的解y'2

28、a20.解方程组的特征方程为即 2 32 0特征根为 11 ,22i 1对应的解为Xiate y1b1其中a1，b1是1 1对应的特征向量的分量，满足1 12al0341b10可解得a11, 41.同样可算出2 2对应的特征向量分量为a2 2, b13 .所以，原方程组的通解为xC1et八2e2tetC2 3e2t四名词解释1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。2如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。3形如dx f(x)(y)的方程，称为变量分离方程，这里 f(x) (y)分别是x , y的连续函数。4 形如

29、 dX P(x)y Q(x)yn的方程，称为伯努利方程，这里P(x),Q(x)为x的连续函数，n 0,1是常数5函数f (x , y)称为在R上关于y满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0,使得不等式 f(x.yi)f(xy2)LyV2对于所有(x, yj(x, y2)R都成立，L称为Lipschitz常数.6定义在区间a t b上的函数x1(t), x2(t),xk(t),如果存在不全为零的常数ci , C2 ,.ck使得恒等式GxMt) c2x2(t)ckxk(t) 0对于所有t a,b都成立，称这些函数是线性相关的.)上连续,五1在方程y'' p(x)y&#

30、39; q(x)y 0中，已知p (x),q仅)在(求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：方程y'' p(x)y' q(x)y 0,设y(x)是它的任一非零解。若 p (x),q (x)在()上连续，假设y(x)在xoy平面上与轴相切。则y(x) 0, y'' 0与方程有非零解y (x)矛盾。(x)与x轴不相切。n Y2由已知得土n 1GyGn(t)x1f1(t)dnx dtndn 1x3(Gn(t)x2 f2(t)dnx把x1+x2代人万槎 一- dtd n 1xG1厂Gnx3(t)f2(t)由左端得dn(x(t) x(t)dtn

31、G(t)n 1d (x(t) x(t)dtn 1Gn(t)(x1(t)x2(t) =dnx(t) dnx(t)dn1xdn1x(t)力 h G1GnGn(t)x1(t)Gn(t)x2(t)3 证明设y = y(x)是方程任一解，满足y (x 0) = y。，该解的表达式为y(x)y。x x0ex f (s)e(s x0)dsx0x x0e取极限x lim y(x)xxx.V0 limx xelimX0f(s)e(s x0)dsX0limxf(x)e(x x0)若x0f (s)e(s x0)dsx x0 e若x0f (s)e(s x0)ds4证明设yi(x),y2(x)是方程的基本解组，则对任意

32、),它们朗斯基行列式在(上有定义，且W(x) 0 .又由刘维尔公式p(s)dsW(x) W(x0)e x0,x。(W(x) W(x0)exxc p(s) dsx0P(x)由于W(x。)0, p(x) 0,于是对一切x),有W'(x) 0或W '( x) 0故川3是()上的严格单调函数5答案略6证明：已知函数组的wronshi行列式为W(x)=1enxi,eix2e1 xn xn1e n xxnn 1 xn(12 nx)=e上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于(i j)由题设知i j(i j)由此行列式不为零.从而W(x) 0由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.7 .证明

33、 由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y 1是方程的两个常数解.任取初值(X0, y0),其中X0 ( ,), y0 1 .记过该点的解为y y(x),由上面分析可知，一方面y y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y 1 ,下方不能穿过y 1 ,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为(，).(10分)8 .证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在 区间都是(，).显然，该方程有零解y(x) 0 .假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点Xo处与x轴相切，即有yx。)y1(x0) = 0,那么由解的惟一性及该方程有零解 y(x) 0可知y1(x)0,x (),这是因为零解也满足初值条件y1(x0) y1(x0) = 0,于是由解的惟一性,y(x)y(x) 0, x (y1(x)是非零解矛盾.、计算(20分)