将军饮马(最完整讲义)

1、第1讲将军饮马模型知识点睛"将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。一、定直线与两定点模型作法结论当两定点A、8在直线/异侧 时，在直线/上找上点P ,使 尸A+尸8最小. /当两定点A、8在直线/同侧 时，在直线/上找上点P ,使PA+尸8最小.A 1当两定点A、8在直线/同侧 时，在直线/上找上点P ,使 |PA-Pq最大.I当两定点A、8在直线/异侧 时，在直线/上找上点P ,使 |幺-。目最大.A./当两定点A、8在直线/

2、同侧 时，在直线/上找上点P ,使 24-0目最小.3y/二.角到定点模型作法结论点夕在NA 08的内部在04上找一点"，在08上找一点N,使得 APC。周长最小.A / 0乙B点尸在NAO8的内部在。4上找一点"，在08上找一点N,使得 PN+MN最小.A / 4B点尸、。在NAO8的内部，在04 上找一点M ,在OB上找一点N, 使得四边形PA/N。周长最小.A/B点M在NAO8的外部，在射线 04上找一点P，使P/W与点尸到 射线08的距离和最小.A*MOB点例在N4O8的内部,在射线 04上找一点尸，使P/W与点。到 射线08的距离和最小.A B二,两定点一定长模型

3、作法结论如图在直线/上找上两点收、N（M 曲），使 AM+MN+NB最小，且MN = 4.d .B 1如图，/，2之间的距离为d，在卜右上分别找"、N两 点，使 MN_L/1 , 且 AM + A/N+N8 最小./ h h *如图，/4d。/、，2之间的距离为4 , A 14之间的距离为hd2 ,在小乙上分别找M、N两点，使MN_L4 ,在小。上分别找尸、Q两点，使PQ 1 /3且BAM + MN+NP+PQ+QB 最小.如图，在。上找一点N，在直线/找一点"，使得AM + MN(0)最小.n精讲精练例1 ：如图，点户是N/IO8内任意一点，n/O8=30° ,

4、 OP=8，点例和点，分别是射线04和射线08上的动 点，则a勿加周长的最小值.例2 :如图，正方形/8C。的边长是4 ,例在DC上,且DM=1 , /V是力。边上的一动点，贝必。例/V周长的最小值.例3 :如图，在R也AB。中,/。珈=90、/ （ 4,4 ），点。在边上，且HCU8=1:3 ,点D为08的中点，点 夕为边04上的动点，当点P在04上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为（A . (2,2)B .（|，|）D .(3,3)第5题图例4 :如图，在源8。中，AC= BC, "08=90°,点。在BC上,80=3 , DC=1，点P是上的动点，则PC+PD的最

5、小值为（）A.4例5 :如图，在等边乙/8。中，A8=6 , N为力8上一点且BN=2AN, 8C的高线力。交8c于怠D,例是AD±_的动点，连结BM. MN,则为1介例/V的最小值是例6 :如图，在Rt&ABD中,/8=6 , /8/。=30° , zZ?=90° r N为上一点且BN=2AN.例是力。上的动点，连结BM, MN,则8/V7+A4/V的最小值.例7 :如图，在Rt“尤中，n/U8=90° , AC=6 .力8= 12,47平分/C48,点尸是力。的中点，点£是4?上的动点，则U&）的最小值为（B .4D . 2

6、s/3第7题图第8题图例8 :如图，在锐角三角形。中，BC=4 , n/8C=601 BD平分nABC ,交力。于点D, M、/V分别是BD, BC上的动点，则CM+ MN的最小值是（）A .有B . 2C. 2GD . 4例9 :如图，在菱形ABCD中，AC= 6" , BD=6 , £是纪的中点，只 例分别是AC.上的动点，连接PE、6例，贝（户61/的最'值是（）4.6B . 3y/34.5时，点£的坐标是（）45A . （0, ）B .（0,）JJ（ylc 士人8a 。0x B第10题图例11 :如图，在渐 ABCD中，AB=6力+演的最小值为（）

7、A . 2VilB . 2>/10例 12 :如图，潮 48C。中，A8=10 , LC. （0,2）D. （O.y）A上B第11题图第12题图,力。=3 ,动点夕满足1加=：又岫,则点夕到4 8两点距离之和C. 3/D . E3c=5 .点、E、F、G、分别在矩形/比。各边上，且为F=CG,8尸二。，例10 :如图，矩形/次9。的顶点力的坐标为（-4,5 ）,。是08的中点，£是OC上的一点，当小的周长最小则四边形46周长的最小值为（）A . 5>/5B . 10a/5C. 105/3D.例13 :如图，/。8=60° ,点P是N/O8内的定点且OP= 6 ,

8、若点M、动点,贝整心利周长的最小值是（）力 .弛B.巫C. 6D.:22UMA5G/V分别是射线04。8上异于点。的第14题图第13题图例14 :如图，N408的边OB与x轴正半轴重合，点户是04上的一动点，点N( 3,0 )是08上的一定点，点M是O/V的中点，zAO8=30° ,要使PM+PN最小,则点P的坐标为.例15 :如图,已知正比例函数y=kx (公>0 )的图像与x轴相交所成的锐角为70°,定点力的坐标为(0,4) , P为y轴上的一个动点，M /V为函数片kx ( k>0 )的图像上的两个动点，则/M+例Q+/W的最小值为第15题图例16 :如图

9、，在平面直角坐标系中，矩形的顶点8在原点，点4。在坐懒由上，点。的坐标为(6,4),E为。的中点，点只Q为8U边上两个动点，且PQ=2 ,要使四边形/QQF的周长最小，则点户的坐示应为例17 :如图，矩形力8。中，/。=2 , /8=4 ,力。为对角线，E、尸分别为边AB、。上的动点，且万，力。于点例，连接4； CR求/aGF的最小值.例18 :如图，正方形ABCD的面积是12 , MBE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,求PD + PE的最小值。例19 :如图，已知SBC为等腰直角三角形，AC=BC=4 , nBCD=151 P为CD上的动点，求|24-尸目的最大

10、值。巩固练习练习1 ：如图，在之ABC中，AC=BC=2 , nACB-90。，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。练习2 ：如图，点C的坐标为（3, y ），当SBC的周长最短时，求y的值。A (3, 0)B (2, 0)练习3 :如图，正方形ABCD中，AB-7 , M是DC上的一点，且DM-3 , N是AC上的一动点，求- 的 最小值与最大值。练习4 :如图，nAOB=30° , /AOB内有一定点P ,且OP=10 ,在0A上有一点Q , 0B上有一点R。若SQR周长最小，则最小周长是多少？练习5 :如图，zMON=40°r P为nMON内一

11、定点，A为0M上的点，B为ON上的点，当WAB的周长取最小值时：(1)找到A、B点，保留作图痕迹;(2 )求此时/APB等于多少度。如果nMON= 6 , zAPB又等于多少度?M练习6 :如图，四边形ABCD中，zBAD=110° r nB=nD=90° ,在BC、CD上分别找一点M、N，使"MN周长最小，并求此时nAMN+nANM的度数。练习7 :如图，在大轴上找一点C ,在y轴上找一点D ,使AD+CD + BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。 A (1, 3)B (3, 1)练习8 :如图nMON=201A、B分别为射线OM、ON上两定点，且0A=2,0B=4 ,点P、Q分别为射线0M、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？练习9 :在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在工轴正半轴上，点C在)，轴正半轴上，且0A=6 ,0C=4 , D为0C中点，点E、F在线段0A上，点E在点F左侧，EF=