第2节全等三角形的应用

1、第二节全等三角形的应用、课标导航课标内容课标要求目标层次全等三角形的性质和判定能熟练运用全等的性质和判定进行推理并解决某些问题能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题二、核心纲要1.证明线段相等的方法(1)等量代换.(2)面积法：若两个三角形面积相等，底等则高等(或高等则底等)(3)证明两条线段所在的两个三角形全等.2 .证明角相等的方法(1)对顶角相等.(2)同角(等角)的余角(补角)相等.(3)利用平行线的性质进行证明.(4)证明两个角所在的两个三角形全等.3 .证明两条线段的位置关系(平行和垂直)的方法(1)平行：利用平行线的判定进行证明.(2)垂直：垂直的定义.证明平行或垂直通常要进行导

2、角，遇到在三角形里导角时，我们可以考虑证明两个三角形全等.4 .证明三角形全等的思维方法(1)可以从结论出发，需要证明哪两个三角形全等.(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等.(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等.(4)有的问题一次全等不能解决问题，可能考虑二次全等.(5)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.5 .添加辅助线构造全等三角形的常用方法我们要学会从已知条件或所要证的结论出发，寻找恰当的辅助线(1)直接连接法：连接已知点构造全等三角形.(2)延长法：延长已知边构造全等三角形.(3)作高：作高构造全等三角形.(4)作平行线：

3、引平行线构造全等三角形.(5)取中点：取某条线段的中点构造全等三角形.6 .能够应用全等三角形解决实际问题解题规律：生活问题抽象成数学问题结合数学知识 解决问题7 .常见的几何模型本节重点讲解：一类模型，五个方法.三、全能突破1 .要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在 AB的垂线BF上取两点C、D,使CD = BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上，如图 12-2-1所示，可以得到 AEDCAABC,所以ED=AB,因此测得 ED的长就是 AB的长，判定 EDC 那BC的理由是 （）.A. SASB.ASAADD. HL2.如图 12-2-2 所示，AB / CDAC /

4、DB ,BC交于点OAE± BC于点E, DF垂直BC于点F,那么图中全等的三角形有（）对.A. 5B.C. 7D. 83.如图12-2-3所示，某三角形材料断裂成I,II ,出三块，现要配置与原材料一样的三角形材料,应该用材料4.如图12-2-4所示，有两个长度相同的浴梯（即 BC= EF）,左边滑梯的高度 AC与右边汾梯水平方 向的长度 DF相等，贝U/ ABC+Z DFE=度.5.如图12-2-5所示，AB = AC, EB = EC, AE的延长线交 BC于点D,试证明：BD=CD.6 .已知：如图 12-2-6 所示，DEXAC, BFXAC, AD=CB, DE=BF.求

5、证：ABDC.Aa7 .已知：如图 12-2-7 所示，AB=AD, AE=AC,求证：BO= DO.8.如图12-2-8所示，公园里有一条Z"字形道路 ABCD,其中AB/CD,在AB, BC, CD三段路旁各有一个小石凳巳M, F,且BE=CF, M是BC的中点.试判断三个石凳巳M, F是否恰好在一条直线上？为什么?D图 12-2-89.如图12-2-9所示，D为4ABC边BC上任意一点，F、E分别为AB、AC的中点， 连接DF并延长至点 M ,使MF=FD ,连接DE并延长至点 N ,使EN = DE ,连接MN，试判断 MN与BC的位置关系，并证明你的结论.10.如图 12-

6、2-10能力提升所示,M ABC 中，AB = AC ,现想利用证三角形全等证明/B=ZC,则图中所添加的辅助线应是11 .如图 12-2-11 所示，AB=AC, BD=DC,若艺 B=35°,则/ C=.12 .如图 12-2-12 所示，在 4ABC 中，DB = DC , CD± AB 于点 D, BE 平分/ ABC ,且 BEX AC 于 点E与CD相交于点F, DHBC于点H,交BE于点G,下列结论： AD+CF=BD;GD=FD;/AF;其中正确的是13 .如图12-2-13 (a), (b), (c)所示，点 E, D分别是正ABC、正四边形 ABCM、正

7、五边形ABCMN中以 C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD, DB交AE于P点.(1)在图12-2-13 (a)中，求/ APD的度数.(2)在图12-2-13 (b)中，/APD的度数为 ,图12-2-13 (c)中，/ APD的度数为 .(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况.若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.14.如图 12-2-14 所示,AB/CD, AD/BC,求证：AB = CD.15 .如图12-2-15所示，在 RtAABC中，/ A=90° ,点D是斜边 BC上一点，且 BD=BA ,过点 D作BC的垂线，交 AC于点E,求证：A

8、E= DE.图 12-2-1516 .(1)如图 12-2-16 所示，AC 与 BD 相交于点 O, AC=DB, AB=DC,求证：/ B=/C.(2)如图 12-2-17 所示，AC= DB ,乙 B=Z. C,求证：AB = CD.18 .如图12-2-19 (a), E, F分别为线段 AC上的两个动点，且 DE LAC于点E, BFAC于点F,若 AB=CD, AF=CE, BD 交 AC 于点 M.(1)求证：MB = MD , ME= MF .(2)当E, F两点移动到图12-2-19 (b)所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给 予证明 者不成立，请说明理

9、由.(a)(b)KI 12-2-1919 .如图 12-2-20 所示，在 RtAABC 中，乙 C= 90 °, AC= BC , D 是斜边 AB 上任一点，AE ± CD于E, BF，CD交CD的延长线于点 F, CHAB于点H,交AE于点G.(1)直接写出EF, AE和BF之间的关系；(2)探究BD与CG之间的数量关系，并证明.20 .我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下，它们会全等？(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)对于这两个三角形均为

10、锐角三角形，它们也全等，可证明如下：如图 12-2-21 所示，4ABC , A1 B1 C1 均为锐角三角形， AB=A1B1 , BC=B1C1 , / C= / C1 .求证：ABC04A1B1C1 .证明：分别过点 B, B1 作 BDLCA 于点 D, B1D1，CA1 于点 D1 . / BDC = /B1D1C1= 90 :CC1在4BCD 和B1C1D1 , BDCB1D1GBC B1C1 ABCD B1C1D1 (AAS ). BD = Bq.(请你将上述证明过程补充完整)(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论.圉 12 2-2121. (2011浙江

11、)如图12-2-22所示，点 D, E分别在 AB, AC上.(1)已知，BD=CE, CD=BE,求证：AB =AC;(2)分别将BD=CE"记为，"CD = BE"记为，"AB=AC”记为.添加条件、，以为结论构成命题1,添加条件、，以为结论构成命题2.命题1是命题2的 命题，命题2是 命题(选择真"或假”填入空格)图 12-2-2222. (2010 南宁)如图 12-2-23 所示，已知 RtAABC RtAADE , / ABC= / ADE= 90°, BC 与DE相交于点F,连接CD, EB.(1)图中还有几对全等三角形

12、，请你一一列举；(2)求证：CF= EF.图 12-2-2323. (1)如图12-2-24 (a)所示，以4ABC的边AB , AC为边分别向外作正方形 ABDE和正方 形ACFG，连接EG,试判断4ABC与4AEG面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如图 12-2-24 (b)所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形 大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米?24. 如图12-2-25所示，已知 4ABC中，乙8=乙C, AB =AC=10厘米，BC = 8厘米，点 D为AB 的中点.(1)

13、如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C 点向A点运动.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与4CQP是否全等，请说明理由. 全等？(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点尸以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边上相遇？图 12-2-2525.如图12-2-26所示，CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB. E, F分别是直线 CD上两点,且/ BEC=Z CFA=Z a.(1)若直线CD经过/ BCA的内部，且 巳F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 12-2-26 (a)所示，若/ BCA = 90 ； =90 ；贝U BE CF