高一数学必修四基本公式总结

1、高一数学必修四基本公式总结平方关系：sinA2 时 8sA2 a= 11 + tanA2 秆 secA2 a1 + cotA2 后 cscA2 a 积的关系：sin a =tan a x cos a cos a =cot a x sin a tan a =sin a x sec a cot a =cos a X csc a sec a =tan a x csc a csc a =sec a x cot a 倒数关系：tan a-cotlasin a-csclacos a-see 1商的关系：sin a/cosetan 后sec a/csc a cos a /sin f cot y csc a

2、/sec a 同角三角函数关系六角形记忆法构造以 "上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。( 1 )倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；( 2 )商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积) 。由此，可得商数关系式。( 3 )平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。直角三角形ABC 中 ,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边,余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos

3、( a + B )=cos a - -cos 也 sin Bcos(优 B )=cos a - cos B +sin a sin Bsin( a ± B )=sin a cos B ± cos a sin Btan( a + B )=(tan a +tan-检”(1 tan 0 )tan(a B )=(tan -tan 0 )/(1+tan a tan 0 ) 三角和的三角函数：sin( a + B + 丫 )=sin a - cos B cos 丫 +cos a sin 0 cos -s+cos a sincos B sinsin 丫 cos( a+B+Y)=cos a

4、- cos-coscos ；sin 0 -ssinay- cos B -ssinay sin B - cos Y tan( a + B + 丫)=(tan a +tan -t+tan y tan B ta-tan )/(1 tanan B - ta-tan 丫 - tan a )辅助角公式：Asin a +Bcosa =(A2+B2)A(1/2)sin(,阿sint=B/(A2+B0A("2)cost=A/(A2+B2)A(1/2)tant=B/AAsin o-Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( -t) ,a tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a

5、 - cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a )=cos2( - sin2( a )=2cos2f1=1>2sin2( a)tan(2 a)=2tan 口-断2( a)三倍角公式：sin(3 a )=3sin-4sin3( a 尸4sin a sin(60+ a->sin(60cos(3 a )=4cos3( -3cos a =4cos a - cos(60+ a )cos(60tan(3 a 尸tan a - tan(兀 /3+a) -atan(兀 /3半角公式：sin( a/2)= ±-C(sia )/2)cos( a /2)= ±V

6、 (1+cos a )/2)tan( a/2)= 土高位 a )/(1+cos a )=sin a /(1+cos-co9=O/sin a降幕公式sin2( a )=(10s(2 a )/2=versin(2 a )/2cos2( a)=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2tan2( a)=(1os(2 a )/(1+COs(2 a)万能公式：sin a=2tan( a/2)/1+tan2( a/2)cos a =4tan2( a /2)/1+tan2( a /2)tan a =2tan( a /2)/an2( a /2)积化和差公式：sin a-cosB=(1sin(a

7、+fB)+sin(acos asinB=(1/2)sin(-sin(+4jB)cos a-cosB=(1/2)cos(a+ 0 )+cos(asin asir-(1/2)cos( a+cos(优 0 )和差化积公式：sin a +sin 0 =2sin( a + 0 )/2cos)/2 asin -sin 0 =2cos( a + 0 )/2sin()/2 acos a +cos B =2cos( a + 0 )/2cos()/2 acos a-cos B =2sin( a + 0 )/2sin0 )/2Jx推导公式tan a +cot a =2/sin2 a tan 0-cot a -2co

8、t2 a 1+cos2 a =2cos2 a1-cos2 a =2sin2 a 1+sin a =(sin a/2+cos a/2)2其他：sin a +sin( a +2 兀 /n)+sin(a +2 兀 *2/n)+sin(a +2 兀 *3/n)+ +Si)/n=0 +2 兀 *(ncos a +cos( a +2 兀 /n)+cos( a +2 兀 *2/n)+cos( a +2 兀 *3/n)+ +cosp)/n+=0Tt *(n以及sin2( a )+sin22 冗«/3)+sin2(a +2 兀 /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan

9、(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx (积化和差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx= 右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证明 :左边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=

10、cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx= 右边等式得证诱导公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k tt+ a) = sin acos (2k Tt+ a) = cos atan (2k 兀+ a) = tan acot (2k Tt+ a) = cot a公式二：设a为任意角，冗+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (九+ a) = sin acos (九+ a) = cos atan

11、 (九+ a) = tan acot (九+ a) = cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a) = sin acos ( a) = cos atan ( a) = - tan acot ( a) = co cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a与a的三角函数值之间的关系：sin（九一a)=sin acos（九一a)=一 cos atan（九一a)tan acot（九一a)=一 cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2a与a的三角函数值之间的关系：sin （2 九一a） = sin acos （2 九一a） = cos atan （2 九一a）

12、 = tan acot （2 九 一 a） = cot a公式六：九/2 ±及3冗/2 ±屈a的三角函数值之间的关系：sin （九 /4 a） = cos acos （九 /4 a） = sin atan （九 /4 a） = cot acot （九 /4 a） = tan asin （九 /2- a） = cos acos （九 /2- a） = sin atan （九 /2- a） = cot acot （九 /2- a） = tan asin （3 冗/2+a） = cos acos （ 3 九 /4 a） = sin atan （3 兀 /2+ a） = cot a

13、cot （3 兀 /2+ a） = tan asin （3 冗/2 a） = cos acos （3 九 /2- a） = sin atan （3 兀 /2 a） = cot acot （3 兀 /2 a） = tan a（以上kC Z）正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （其中 R 为外接圆的半径）余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bc cosA角A的对边于斜边的比叫做角 A的正弦，记作sinA ,即sinA二角A的对边/斜边斜边与邻边夹

14、角 asin=y/r无论y>x或y&x无论 a 多大多小可以任意大小正弦的最大值为 1 最小值为 -1三角恒等式对于任意非直角三角形中,如三角形ABC, 总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明 :已知(A+B)=( 兀-C)所以 tan(A+B)=tan( bC)JM(tanA+tanB)/(1- tanAtanB)=(tan 光tanC)/(1+tan 兀 tanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k 兀/2 土Zk的个三角函数值，当k是偶数时，得到 ”的同名函数值，

15、即函数名不改变；当k是奇数时，得到 a相应的余函数值，即 sin - cos;cos - sin;tan - cot,cot -tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把“看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角 k 360° +(akCZ), -a、180。士,a360°-a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 “一全正；二正弦；三为切；四余弦 ” 这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ ”；第

16、二象限内只有正弦是“ ” ，其余全部是“ ” ；第三象限内切函数是“ ” ，弦函数是“ ” ；第四象限内只有余弦是“ ” ，其余全部是“ ” 类似地，我们同样也可以求证：当a+B+丫 =n：r(nZ)时，总有tan a +tan B +tan 丫 =tan a tan B tan 丫向量计算设 a= (x， y)， b=(x' ， y') 。1 、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 。

17、2、向量的减法如果 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=-b ， b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为 0AB-AC=CB. 即 “共同起点，指向被减”a=（x,y） b=（x',y'） 则 a-b=（x-x',y-y'）.4、数乘向量实数人和向量a的乘积是一个向量，记作 入冬且I X al = I XI -I a I o当入0时，入a与a同方向；当入 0时，入a与a反方向；当人=0寸，入a=0方向任意。当a=0时,对于任意实数 %都有入a=0注：按定义知，如果 入a=0那么入=瞰a=0o实数人叫做向量a的系数，乘数向量 入a的几何意义就是将表示向量a的

18、有向 线段伸长或压缩。当I XI 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入0） 上伸长为原来的I婕倍；当I XI 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入0）上缩短为原来的I XI倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入a） b=入（a b）= （a 入b）向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+ n ）a=入a+ n a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b尸入a+入b.数乘向量的消去律： 如果实数入wfL "=入,b那么a=b o 如果aw。且入a= 1?UB么入=业 3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为a, b，且a, b 0, nt定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a b。若a、b不共线，a b=|a| |b| cosa, b；若 a、b 共线，a b=+- I a I I b I 0 向量的数量积的坐标表示：a b=x x'+y y'。向量的数量积的运算率