题型积分的几何意义

1、题型6 积分的几何意义求面积例15. 求曲线及直线所围成的平面图形的面积.解:由图可知, 平面图形的面积= (3xlnx)+(3x) = 指点: （1）思想 等量变换 （2）方法 割补法 （3）拓展 此题可变 （4）解释 请说明割补的过程例16. 如图,阴影部分面积总和为 ( D ) （A） （B） （C） （D）指点：（1）关注 各选择支的不同 （2）理解 正确理解定积分的几何意义 （3）感悟 只有深刻地理解，才有正确的选择题型7 定积分的物理意义 变速运动的路程例17已知自由落体的速度为则落体从所走过的路程为 ( C ) 解：指点：（1）理解 正确理解定积分的物理意义 （2）感悟 只有深刻

2、地理解，才有正确的选择例18一辆汽车的速度-时间曲线如图,则该汽车在这1行驶的路程是 . 指点：（1）理解 正确理解定积分的几何与物理意义 （2）感悟 只有深刻地理解，才有正确的运用 （3）关注 物理量的单位换算 （4）拓展 此题可变 变力所作的功例19一物体按规律x = ct2 直线运动, 所受的阻力与速度的平方成正比, 计算物体从x =0到x = a时, 克服阻力所作的功.解：先求出物体的运动速度, 再求物体所受的力.位于x处时物体的速度v = x = 2ct = 2c= 2,所受阻力为F = k4cx = 4ck x, 故克服力所做的功为W = = 2a2kc指点：（1）理解 正确理解定

3、积分的物理意义 （2）感悟 只有深刻地理解，才有正确的运用 （3）关注 物理量的换算 （4）拓展 此题可变题型8 定积分的计算例20 计算 (1) (2) (3)解: (1) (2) ; (3) .指点:（1）关注 导函数与原函数的关系 （2）警戒 防止思维的惯性的定势 （3）拓展 此题可变题型9 定积分的综合应用例21设是二次函数,方程有两个相等的实根,且.(1) 求的表达式;(2) 若直线把的图象与两坐标轴所围成图形二等分,求的值.解: (1) 因为,所以设。又方程有两个相等的实根, 所以，.(2) 依题意: ， ， ， 指点：（1）方法 待定系数法 （2）关注 导函数与原函数的关系 （3

4、）技巧 先配方再积分较简便例22.如图,直线分抛物线与轴所围图形为面积相等的两部分,求的值。解：解得， 指点：（1）多解 此题可多解 （2）感悟 方法决定效果例22已知二次函数, 满足且的最小值是.（1）求的解析式;（2）设直线,若直线与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是, 直线与的图象所围成封闭图形的面积是,设,当取最小值时, 求的值.（3）已知, 求证: .解: （1）由二次函数图象的对称性, 可设, 又故（2）据题意, 直线与的图象的交点坐标为,由定积分的几何意义知=，而令或(不合题意,舍去)当故当时,有最小值.（3） 的最小值为 + 得: 又 由均值不等式和知:故例23如图所示，已知曲线与曲线交于点、，直线与曲线、分别相交于点、，连结.（1）写出曲边四边形 （阴影部分）的面积与的函数关系式；（2）求函数在区间上的最大值. 解：（1）由得点 又由已知得 故 （2），令，即，解得或 ，应舍去.若即时，.在区间上单调递增,的最大值是. 若 即时,当