第六章 定积分及其应用

1、教学内容（含时间安排）板书或旁注第六章 定积分及其应用要求：理解定积分的概念及定义。理解定积分的存在定理。重点： 理解定积分的定义。难点：定积分定义：和的极限的理解。第一节 定积分的概念（2课时）一、定积分问题举例1曲边梯形的面积问题提出 我们知道，在平面几何中已解决了求三角形、梯形、矩形等规则图形的面积问题，那么任意曲线所围成的平面图形的面积如何计算呢？由任意曲线所围成的平面图形总可以用一些互相垂直的直线把它分成若干个“曲边梯形”和若干个矩形，矩形的面积可求出，曲边梯形面积如何求？ 设在区间上连续，由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，求曲边梯形的面积分析 由初等数学知道

2、，矩形的面积=高底 曲边梯形高是变化的，不能直接利用上式计算，由于曲边梯形的高在区间上是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小，近似地看作不变的因此采用分割、近似、求和、取极限的方法，确定曲边梯形的面积（1）分割在区间中任意插入个分点将区间分成个小区间、，其小区间的长度记为（），过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个小的曲边梯形，其面积为（）；（2）求近似值（代替）在每个小区间上任取一点，用以为底，为高的小矩形的面积近似代替第个小曲边梯形的面积，即 （）（3）求和 以这个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值，即 ，（4）取极限（求精确值）易从图中看出，当区间中的分点愈多，每个

3、小区间长度愈小，这种近似程度愈高，因此当分点无限增多且无限减小时，即当最大小区间之长时，取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积 上面确定曲边梯形面积所用的方法中的四个步骤，可用“分、粗、和、精”四个字加以概括2变速直线运动的路线 设某物体做变速直线运动，已知速度是时间上的连续函数，且，计算在时间内物体所经过的路程分析 若物体做的是匀速直线运动，路程=速度时间； 若物体做的是变速直线运动，公式路程=速度时间不能解决问题，此时遇到的问题同曲边梯形面积的求法类似（1）分在时间间隔内任意插入个分点，将分成个小段、 、，各小段时间长度为，；相应地，在各段时间内物体所经过的路程依次为，（2）粗在每个时间上任

4、取一点，以时的速度来近似代替时间上各个时刻的速度，便得到路程的近似值，即 （），（3）和（4）精记，则在时间上所走的路程为二、定积分定义 定义 设函数在区间上有界，（1） 在区间中任意插入个分点，将区间分成个小区间、，各个小区间长度为（）；（2）在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积 （）；（3）作和；（4）记，如果不论区间怎样分法，以及小区间上点 怎样取法，极限唯一存在，这时我们称这个极限值为函数在区间上的定积分，记作即 其中称被积函数，称被积表达式，称积分变量，称积分下限，称积分上限，称积分区间和式称为函数的积分和式，如果函数在区间上的定积分存在，我们就说函数在区间上可积说明（

5、1）对于区间的任何分法，不论在中怎样取法，和式的极限唯一存在，即区间的分法，点在中的取法与极限是无关的（2）当时，反之不然；（3）定积分只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即 （4）定积分与不定积分的区别，不定积分（一族函数），定积分（数值）；（5）规定 ，从而三、定积分存在定理 定理1 设函数在区间上连续，则函数在区间上可积 定理2 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则函数在区间上可积 由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积物体以变速（）做直线运动，从时刻到时刻，所经过的路程 四、定积分的几何意义及物理意义1几何意义（1）当函数，时，定积分在几何上表示由曲线，两直线与轴

6、所围成的曲边梯形的面积；（2）当函数，时，由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形位于轴下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；（3）在区间上，函数既有正又有负时，函数图形某些部分在轴上方，而某些部分在轴下方，则是介于轴、函数图形及两直线之间的各部分面积的代数和 由定积分的几何意义可知， 2物理意义 设物体做变速直线运动，在时刻的速度为，则物体在时间间隔内经过的路程为 作业 习题6.1第二节 定积分的基本性质（1课时）要求：了解定积分的性质。重点：定积分中的估值性质，积分中值定理。难点：积分中值定理本节中假设所述函数定积分是存在的性质1说明 性质1对于任意有限个函数都是成立的性质2 （是常

7、数）性质3 若把积分区间分成两部分，则 注意 无论相对位置如何，总有等式成立性质4 如果在区间上，则性质5 如果在区间上， ，则推论1 如果在区间上，则 推论2 性质6 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则例1 估计的值解 求函数在区间上的最值，因为 ，（或令，所以在区间上单调减少，即有），所以函数在区间上单调减少，故，因此 ，故 性质7（定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立（）连续函数在区间上平均值为几何解释 在区间上至少存在一点，使得以区间为底，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积作业 习题6.2第三节 微积分基本

8、定理和公式（1课时）要求：理解上限是变量的定积分是上限的函数，而且这个函数的导数就是被积函数, 掌握牛顿莱布尼兹公式。重点：变上限函数的性质及应用,牛顿莱布尼兹公式的应用难点：变上限函数的概念。一、积分上限函数及其导数设函数在上连续，为区间上任取一点，在区间上函数仍是连续的，于是存在这里，即表示定积分的上限，又表示积分变量在中变化，为了不致混淆，可写成若固定，定积分的值随变化而变化，所以这个积分是的函数，因为是积分上限，所以称为积分上限函数记作 （）现在我们看具有哪些性质,它是否可导？ 若，设获得增量，使，则的增量，增量比为 ， 当时，所以 ，即 定理1 如果函数在上连续，则可导，且. 这定理

9、说，函数的导数存在，并且等于被积函数说明若，取，可证；若，取，可证例1积分上限函数导数问题，计算下列各题（1）求；（2）求解 （1）； （2）例2积分上限是某函数的上限函数导数问题（1）若，求，其中可导解 令因为 所以 （2）求 解 （3）求解 定理2 如果函数在区间上连续，则函数就是被积函数在区间上的原函数这个定理的重要意义有两点：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的；（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分三、牛顿莱布尼兹公式（简称公式）因为，所以由于的原函数之差是常数，可利用前面求不定积分的方法求出的某一个原函数，就有因为，得，于是又，

10、所以定理3 如果是连续函数在区间上的一个原函数，则，或记 这个公式称牛顿莱布尼兹公式，通常也称做微积分基本公式例3解 例4解例5解例6已知函数，求 解 例7汽车以每小时36速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解 首先算出从开始刹车到停车经过的时间 当时，所以刹车后汽车减速行驶，其速度为，当汽车停止时，故，得于是在这段时间内汽车所走过的距离为即，刹车后汽车需走过才停止作业 习题6.3第四节 定积分的计算（2课时）要求：掌握定积分的换元积分法和分部积分法。并能熟练计算定积分。重点：选择适当变量代换，换元同时换限，判别用分部积分法计算的题型，并能

11、熟练计算。难点：用换元法证题，分部积分法与换元法混合使用。例1求定积分解例2定积分解例3求定积分解 例4计算定积分 解 通过不定积分的换元法，求出被积函数的原函数，然后用公式令，则，,于是 ,所以 这样计算较烦，原因是用代换之后，求得原函数的表达式，还要将还原成的表示式 如果令，由于当时，对应；当时，对应，那么 ，即 这表明计算定积分时，换元可同时换积分限，这样可简化计算，因此为了简化定积分计算，引出定积分的换元积分法定理 设函数在区间上连续，而函数满足条件：（1）；（2）在（或）上具有连续导数，且其值域不超出，则有换元积分公式 应用公式时需注意（1）用变量把原变量代换成新变量时，积分限也要换

12、成对应于新变量的积分限，即换元必同时换限；（2）求出函数的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再要把变换成原来变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入中，然后相减即可例5求解 方法1 令，当时，；当时，则 方法2 例6解 方法1方法2 此种方法是换元积分公式反过来的使用，即例7计算解 由于而 ，所以 练习：，例8求解 对于第一项，所以 例9设函数，计算解例10证明（1）若在上连续且为偶函数，则， （2）若在上连续且为奇函数，则证明 因为 对于第一项 于是 （1）若为偶函数，则，从而 ， （2）若为奇函数，则，从而 例如：计算定积分定积分的分部积分法这是定积分的分部积分公式注意 这里的与的选

13、择及适用于分部积分法的积分同不定积分一样例11计算定积分解 设；则，于是 例12计算定积分解 设，则，于是 例13计算定积分解 ，设则，于是 作业 习题6.4第七节 广义积分（1课时）要求：理解广义积分的定义，明确求广义积分的基本思想使用定积分计算。重点：根据广义积分的定义计算广义积分。难点：广义积分的计算。问题提出 前面引进定积分的概念时，均假设积分区间是有限区间且被积函数在积分区间上连续或仅有有限个第一类间断点，这些积分属于通常意义积分范围常义积分，现在我们将定积分作两种推广（1）积分区间为无穷区间；（2）积分区间有限，但被积函数为无界函数这种类型的积分称广义积分一、无穷区间的广义积分引例

14、 考察位于曲线之下，轴之上，之间面积当增大，面积也增大，但始终有界 且面积 面积自然是图中阴影部分向右无限延伸时的部分又如 对曲线，考查同样问题于是 ，即当向右无限延伸时，相应的面积无限增大 综上所述，研究上述问题时，都要讨论变上限积分的极限问题，从而引出广义积分定义1 （1）设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分记作即 或称广义积分收敛，若上述极限不存在，称广义积分发散，此时不再表示数值 （2）设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分记作即 此时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，称广义积分发散（3）设函数在区间

15、上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两个广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分记作即 此时称广义积分收敛，否则称广义积分发散说明（1）若上面两个极限有一个不存在，就说广义积分发散；（2）收敛的广义积分仍具有常义积分所具有的性质；（3）换元积分法，分部积分法仍可使用例1计算解 这个广义积分的几何意义是，当，时，虽然图中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值，在几何意义上表示位于曲线的下方、轴上方的图形面积例2计算广义积分（为常数，且）解 设，于是 注意 例3证明广义积分（），当时收敛，当时发散 证明 当时， 当时，因此，当时，广义积分收敛，其值为；当时，广义积分发散作业 习题6.4第六

16、节 定积分的应用（4课时）要求：正确理解定积分的元素法，建立定积分元素法的思想；掌握用定积分表示一些几何量与物理量的方法，熟练地应用定积分元素法求平面曲线所围成的图形，会用元素法求旋转体的体积，会求一些简单的已知平行截面面积的立体体积，能用元素法求解变力做功。重点：定积分的元素法，平面图形面积的计算，求旋转体的体积，做功问题。难点：理解“以直代曲，以不变代替”变化的原则是等价无穷小的替换，曲线是由极坐标方程表示时求其面积，平行截面面积是已知的立体的体积。一、定积分微元法我们回忆定积分定义中“分割、代替、求和、取极限”的四个步骤，主要的是第二步,这一步要确定的近似值，从而使得在实用应用中，为了简

17、便起见，省略下标，用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，这样，取小区间的左端点为，以点处函数值为高，为底的矩形的面积为的近似值，即，（称面积元素）记 ，于是得，则 结合曲边梯形面积的计算及定积分的定义可知，用定积分计算的量具有如下特点，（1）所求量与一个变量的变化区间有关；（2）所求量对于区间具有可加性，即如果把区间分成若干部分区间，则相应地分成若干部分量，且等于所有部分量之和；（3）部分量的近似值可表示为通常写出量的积分表达式的步骤（1）根据问题的具体情况，选取一个变量，如为积分变量，并确定它的变化区间；（2）设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间，并记作，求出相应于这个小区间的部分量的近

18、似值，如果能近似地表示为区间上的一个连续函数在处的值与的积，就把称为量的元素，且记为，即 注意：（3）以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得这就是所求量的积分表达式，这个方法通常称定积分的微元法二、平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形面积的计算前面我们知道由曲线（）及直线（）与轴所围成的曲边梯形的面积元素为,面积为 ，其中是直角坐标下的面积元素若平面图形由曲线，（），直线所围成，则面积元素为面积为 下面应用定积分元素法计算一些平面图形面积例1计算由两条抛物线：，所围成的图形的面积解 （1）先画出图形，见右图，为了具体定出图形所在范围，求出它们的交点，由，得交点及； （2）取横坐标为

19、积分变量，它的变化区间为，在区间上任取一个小区间，相应地这窄条面积近似为，则面积元素 ；（3）以面积元素为被积式，在区间上作定积分，即得所求面积为例2求由曲线及所围成图形的面积解（1）画出图形，求出交点（）； （2）取为积分变量，它的变化区间为，当时，面积元素为；当时，面积元素为（3）说明 若画不出图形，可这样计算一般地由曲线， 及直线所围图形面积为同理由曲线， 及直线所围图形面积为例3计算由曲线与直线所围图形的面积解 画出图形，见右图， 求出交点，解方程组，得,，若选横坐标为积分变量，则的变化范围为，设想把分为个小区间，从中任选一小区间，从图中看出，若小区间位于内，则与它相应的面积元素（）；

20、若小区间位于内，则与它相应的面积元素（）故所求面积 若选纵坐标为积分变量，则的变化范围为区间，从中任选小区间，与其对应的面积元素为，于是所求面积为 说明 比较两种解法可看到，积分变量选择适当，可使计算简便，一般来说，在选择积分变量时应综合考虑下列因素，（1）较少地分割区域；（2）被积函数的原函数较易求得；（3）积分上、下限较简单确定注意 在计算面积时，要注意恰当利用对称性例4求椭圆所围成图形的面积解 因为这椭圆关于两坐标轴对称，所以利用椭圆参数方程，应用定积分换元法，令，则，当时，；当时， 于是 一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程给出时，如果满足，且在（或）上具有连续导数，连续，则由曲边梯形的

21、面积公式及定积分换元法可得曲边梯形面积为例5求摆线 的第一拱与轴所围图形的面积解（用递推公式）2、极坐标系下平面图形面积的计算某些平面图形，用极坐标方程表示比较方便1)补充极坐标知识设平面上点的直角坐标为，该点到原点的距离为称为极径，与轴正向的夹角为，称为极角，这样点的位置可以由量来确定，称为点的极坐标，记为直角坐标与极坐标的关系：，几种常用方程的极坐标方程：直角坐标方程 极坐标方程， （常数），（过原点的直线）， （常数，称过原点的直线为射线）， ， 2)在极坐标系下平面图形的面积设由曲线及射线围成的图形（称曲边扇形），计算它的面积（这里在上连续，且） 取极角为积分变量，它的变化区间为，相应

22、于任一小区间的窄曲边扇形的面积可用半径为，中心角为的圆扇形的面积来近似代替，从而得曲边扇形的面积元素 以此为被积式，在闭区间上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为例6求心脏线（）所围成图形的面积解（用递推公式）注意：，例7求由圆和双纽线所围成图形的公共部分的面积解 从图中看出，求出第一卦限面积即可 求交点 ，因为，所以两曲线在第一卦限交点为（）于是 说明 用定积分计算平面图形面积的一般方法，（1）画出平面图形，求出某些边界点的坐标；（2）选取积分变量，求出面积元素；（3）代入公式计算积分三、旋转体的体积旋转体就是由平面图形绕这平面一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫旋转轴，圆柱、圆锥、圆台球体可

23、以分别看成是矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体，所以它们都叫旋转体 上述旋转体都可看作是由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体现在用定积分的元素法计算其体积取横坐标为积分变量，它的变化区间为，在上任取区间，相应地有小曲边梯形旋转而成的小旋转体的体积，可以用以为底半径，为高的扁圆柱体的体积近似代替 ，称体积元素，以为被积表达式，在闭区间上作定积分，便得所求旋转体的体积例8直角三角形角顶点的坐标分别为，它绕轴旋转得一圆锥，求其体积 解 过原点及点的直线方程为，取横坐标为积分变量，它的变化区间为，在上任取小区间，有体积元素

24、 于是，所求圆柱体的体积为 例9求圆绕轴旋转一周所成圆环的体积解 圆的方程表示为， 于是 说明 若由曲线，直线，（）及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成旋转体的体积为例10设空间体是由，所围曲边梯形绕轴旋转所得的立体，求体积 解 取横坐标为积分变量，的变化区间为，在区间上任取一小区间，与这小区间相对应的曲边梯形中的窄条形绕轴旋转一周所得到的立体，可以近似看作是一个圆柱形薄壳，其内半径为，高为，厚为，这圆柱形薄壳的体积元素为（长×宽×高），以为被积式，在区间上作定积分，即得所求体积2、平行截面面积为已知的立体的体积一立体位于过且垂直于轴的两个平面之间，对于任一，对应有确定地

25、截面，其面积为，其中是的已知的连续函数，求这个立体的体积 取为积分变量，它的变化区间为，在区间上任取小区间，相应地有该立体的一小薄片立体，其体积用底面积为、高为的薄柱体的体积近似代替薄片体积， 其中称体积元素，以为被积式，在区间上作定积分，便得到所求立体的体积为 例11一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这圆柱楔的体积解 取这平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，则有底圆的方程为立体中过点（）且垂直于轴的截面是一个直角三角形，这截面的面积为 于是，所求圆柱楔的体积为四、变力沿直线所作的功 从初中物理学中知道，一个与物体位移方向一致的常力，将物体自

26、数轴上点移动到点所作之功为如果力的大小随物体的位置而变化，则功将如何计算呢？设力是的连续函数，讨论物体在力作用下，沿直线从移动到时所作的功用元素法解决该问题 取为积分变量，的变化区间为，在区间上任取区间小区间，因为是连续函数，所以在区间上变化不大，因此物体在力作用下从运动到所作的功近似值为， 称功元素，以为被积式，从到作定积分，便得所求功1电场力作功例12把一个带电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为 （为常数），当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所作的功解 这个问题中电场力是变的，即，取为积分变量，它的变化区间为,在区间内任取小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，即功元素为，于是所求的功为说明 在计算静电场中某点的电位时，要考虑将单位正电荷从该点处移动到无穷远点处时电场力所作的功为2气体膨胀所作的功的问